Punkt ~ Gerade Abstand – online lernen

Abstand Punkt – Gerade
Extremwertbedingung

Bei der Berechnung des Abstandes eines Punktes A von einer Geraden g:x⃗ =p⃗ +t⋅u⃗ $g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{u}$ mit der Extremwertmethode braucht man einen grafikfähigen Taschenrechner (GTR).

Vorgehensweise:

1. Bestimme den allgemeinen Geradenpunkt Pt$P_t$.
2. Berechne den Verbindungsvektor APt→$\overrightarrow{A{P}_t}$.
3. Der gesuchte Vektor APt→$\overrightarrow{A{P}_t}$ ist der Kürzeste. Bestimme |APt→|$|\overrightarrow{A{P}_t}|$
   
4. Berechne mit dem GTR das Minimum der Funktion d(t)=|APt→|$d(t)=|\overrightarrow{A{P}_t}|$
   

Beispielaufgabe:

Bestimme den Abstand von A(5,5,5)$A(5,5,5)$ zu g:x⃗ =⎛⎝⎜7−67⎞⎠⎟+t⋅⎛⎝⎜3−41⎞⎠⎟$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}7\\ -6\\ 7\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 1\end{array}\right)$.

Abstand Punkt – Gerade
Hilfsebene

Mit den folgenden Schritten kann man den Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen:

1. Konstruiere eine Hilfsebene H$H$, die A$A$ enthält und orthogonal zu g$g$ verläuft (u⃗ =n⃗ H)$(\overrightarrow{u}={\overrightarrow{n}}_H)$.
2. Bestimme den Schnittpunkt L$L$ von g$g$ und H$H$.
3. Berechne den Verbindungsvektor AL→$\overrightarrow{AL}$.
4. d(A;g)=d(A;L)=|AL→|$d(A;g)=d(A;L)=|\overrightarrow{AL}|$
   

Beispielaufgabe:

Bestimme den Abstand von A(0,3,−2)$A(0,3,-2)$ zu g:x⃗ =⎛⎝⎜1−31⎞⎠⎟+t⋅⎛⎝⎜202⎞⎠⎟$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ -3\\ 1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ .

Abstand Punkt –Gerade
Orthogonalitätsbedingung

Um den Abstand eines Punktes A$A$ von einer Geraden g$g$ zu bestimmen, kann man folgendes Schema verfolgen:

1. Bestimme den allgemeinen Geradenpunkt Pt$P_t$.
2. Berechne den Verbindungsvektor AP→t${\overrightarrow{AP}}_t$.
3. Der gesuchte Vektor AP→t${\overrightarrow{AP}}_t$ steht senkrecht auf dem Richtungsvektor u⃗ $\overrightarrow{u}$. Es muss also gelten: AP→t⋅u⃗ =0${\overrightarrow{AP}}_t\cdot \overrightarrow{u}=0$.
4. Die Gleichung aus 3. nach t$t$ auflösen und in den allgemeinen Vektor AP→t${\overrightarrow{AP}}_t$ einsetzen.
5. d(A;g)=|AP→t|$d(A;g)=|{\overrightarrow{AP}}_t|$
   

Beispielaufgabe:

Berechne d(A;g).A(−8,11,10),g:x⃗ =(−4,0,5)+t⋅(−8,4,1)$d(A;g).A(-8,11,10),g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}-4,0,5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-8,4,1\end{array}\right)$