Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit

Die lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit verrät uns mehr darüber, wie sich zwei Vektoren im Vektorraum zueinander verhalten. Gerade im dreidimensionalen Vektorraum ist es nicht so einfach, die Vektoren grafisch so darzustellen, dass du ihre Lage zueinander leicht erkennen kannst. Mit einigen einfachen Rechnungen kannst du aber herausfinden, ob sie komplanar sind – das bedeutet, ob sie auf der gleichen Ebene im Vektorraum liegen.

Linear abhängige Vektoren im zweidimensionalen Raum:

Linear unabhängige Vektoren im zweidimensionalen Raum:

Linear abhängige und unabhängige Vektoren im dreidimensionalen Raum:

Vektoren können sowohl im zwei- als auch im dreidimensionalen Raum linear abhängig oder linear unabhängig sein. Rechnerisch gilt:

• im zweidimensionalen Raum: Vektoren sind linear abhängig, wenn sie in die gleiche Richtung zeigen. Das heißt, jeder der Vektoren lässt sich mithilfe der skalaren Multiplikation als ein Vielfaches der anderen Vektoren darstellen.
• im dreidimensionalen Raum: Vektoren sind linear abhängig, wenn einer der Vektoren sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. 

Berechnen wir dazu ein paar Beispiele!

Prüfen wir anhand eines Beispiels, ob die Vektoren 

→a=(−25)

und

→b=(4−10)

linear abhängig sind. Wir müssten in diesem Fall also einen Skalar k (eine reelle Zahl) finden, für die folgende Aussage wahr wird: 

→a=k⋅→b

Umgekehrt kannst du ebenso gut ermitteln, ob →b=k⋅→a gilt.

Wenn wir das lineare Gleichungssystem aufstellen, sieht es so aus:

(I)  −2=k⋅4

(II) 5=k⋅(−10)

Die Gleichung (I) können wir sehr leicht auflösen, indem wir durch −4 teilen, und erhalten k=−0,5. Setzen wir das in die zweite Gleichung ein, um unser Ergebnis zu überprüfen:

5=(−0,5)⋅(−10)

5=5

Somit haben wir eine mögliche Lösung für k gefunden. Unsere beiden Vektoren sind also linear abhängig. 

Gegeben seien für ein Beispiel im dreidimensionalen Raum folgende Vektoren:

→a=(246)

→b=(267)

→c=(204)

Sind diese drei Vektoren linear abhängig? Wenn es so ist, dann muss eine Linearkombination möglich sein. Es muss also gelten:

→a=k1⋅→b+k2⋅→c

Das lineare Gleichungssystem sieht dann so aus:

(I)   2=k1⋅2+k2⋅2

(II)  4=k1⋅6+k2⋅0

(III) 6=k1⋅7+k2⋅4

Aus Gleichung (II) können wir ohne große Mühe ablesen, dass k1=46 bzw. 23 ist. Diese Lösung können wir nun in (I) einsetzen, um k2 zu berechnen: 

2=23⋅2+k2⋅2

2=43+2k2∣−43

23=2k2∣÷2

k2=13

Setzen wir nun k1 und k2 in Gleichung (III) ein, um unsere Lösung zu überprüfen:

6=23⋅7+13⋅4

6=143+43

6=183

6=6

Prima! Wir konnten berechnen, dass unsere Vektoren linear abhängig sind, sich also auf derselben Ebene im Vektorraum befinden. 

Wann sind Vektoren linear unabhängig? Die Definition kennst du bereits, aber wie sieht das mathematisch aus? Du findest lineare Unabhängigkeit heraus, wenn du ein Gleichungssystem aufstellst, das sich als nicht lösbar herausstellt. 

Schau dir zum Beispiel diese beiden Vektoren an:

→a=(35)

→b=(67)

Unser Gleichungssystem sieht hier so aus:

(I)  3=k⋅6

(II) 5=k⋅7

Aus Gleichung (I) erkennen wir schnell, dass k=36 bzw. 12 gelten muss. Zur Kontrolle setzen wir das in Gleichung (II) ein:

5=12⋅7

5=3,5

Du stößt hier auf einen Widerspruch. Das bedeutet – sofern du richtig gerechnet hast –, dass für diese zwei Vektoren keine lineare Abhängigkeit besteht. Sie sind also linear unabhängig. Im dreidimensionalen Raum funktioniert das Verfahren ganz genauso: Auch dort wirst du bei linearer Unabhängigkeit auf einen unlösbaren Widerspruch in der Rechnung stoßen, denn es gibt schlicht keine Skalare, die die Bedingungen erfüllen könnten.

Theoretisch kannst du beliebig viele Vektoren auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit zueinander prüfen. Daher bietet es sich an, auch eine allgemeingültige Formel zu haben, auf die du immer zurückgreifen kannst. Diese lautet: 

→0=∑ni=1kivi

Das ist gar nicht so kompliziert, wie es auf den ersten Blick aussieht. Es bedeutet lediglich: Wenn du die Summe aus den zu prüfenden Vektoren – gegebenenfalls per skalarer Multiplikation mit den Skalaren k – bildest, dann muss die Summe aller dieser Vektoren den Nullvektor ergeben. Oder anders ausgedrückt: Der Nullvektor kann als Linearkombination aller anderen Vektoren dargestellt werden. 

Für die oben genannte Formel gibt es eine wichtige Einschränkung. Denn: Natürlich erhältst du immer den Nullvektor, wenn du einfach alle Vektoren mit dem Skalar 0 multiplizierst. Man nennt das die „triviale Lösung“. Uns interessiert aber die nicht-triviale Lösung: Lässt sich der Nullvektor auch dann als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen, wenn wir k=0 ausschließen? Deshalb ergänzen wir die allgemeine Formel von oben noch um folgenden Zusatz:

→0=∑ni=1kivi

ki∈R,ki≠0

Man sagt: Wir schließen Lösungen aus, bei denen alle Koeffizienten gleich Null sind. 

So können wir sicher sein: Sofern wir eine Lösung finden, handelt es sich um eine nicht-triviale Lösung. 

Du weißt bereits, dass du mithilfe des linearen Gleichungssystems berechnen kannst, ob eine lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit vorliegt. Es gibt noch ein paar andere Verfahren, mit denen du das überprüfen kannst. 

Das Errechnen der Determinante

Mithilfe der Determinante kannst du insbesondere bei Vektoren im zweidimensionalen Raum sehr schnell herausfinden, ob diese komplanar sind. Du berechnest sie so:

Gegeben seien die Vektoren: →a=(a1a2) und →b=(b1b2).

Dann berechnest du die Determinante auf folgende Weise:

det=a1⋅b2−a2⋅b1

Beispiel:

Wir prüfen die Determinante anhand unserer Vektoren aus dem Beispiel von oben:

→a=(−25)

→b=(4−10)

Wir setzen in die Formel ein:

det=a1⋅b2−a2⋅b1

det=−2⋅(−10)−5⋅4

det=10−10

det=0

Wie du siehst, ist die Determinante hier gleich Null. Dieses alternative Verfahren zeigt also, dass die beiden Vektoren linear abhängig sind. 

Auch für Vektoren im dreidimensionalen Raum kannst du dieses Verfahren nutzen. Die Determinante berechnest du dann folgendermaßen:

→a=(a1a2a3)

→b=(b1b2b3)

→c=(c1c2c3)

det=a1⋅b2⋅c3+a2⋅b3⋅c1+a3⋅b1⋅c2−a3⋅b2⋅c1−a1⋅b3⋅c2−a2⋅b1⋅c3

Das Gaußsche Eliminationsverfahren

Wenn du mit mehr als drei Vektoren rechnest, ist das Rechnen mit dem linearen Gleichungssystem recht aufwendig. Das Gaußsche Eliminationsverfahren kann dir dann helfen, lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit zwischen Vektoren effizienter zu bestimmen. Dazu musst du die Matrix aus den Werten deiner Vektoren bilden.

Gegeben seien die Vektoren:

→a=(124)

→b=(315)

→c=(7−17)

So sieht die Matrix aus:

(13721−1457)

Dein Ziel ist es nun, mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens Nullzeilen oder Nullspalten zu bilden. Dafür darfst du Zeilen 

• vertauschen
• addieren
• subtrahieren
• mit einer Zahl multiplizieren
• durch eine Zahl dividieren

Kannst du auf diese Weise durch Umformen eine Nullspalte oder Nullzeile erreichen, dann bedeutet das, dass die Vektoren linear abhängig sind. In unserem Beispiel können wir folgendermaßen umformen:

(13721−1457)

Wir multiplizieren die erste Zeile mit 4:

(4122821−1457)

Wir multiplizieren die zweite Zeile mit 2:

(4122842−2457)

Wir subtrahieren: Zeile 1 – Zeile 2:

(4122801030457)

Wir subtrahieren Zeile 1 – Zeile 3:

(41228010300721)

Wir multiplizieren die zweite Zeile mit 7 und die dritte Zeile mit 10:

(41228070210070210)

Und schließlich subtrahieren wir Zeile 2 – Zeile 3:

(41228070210000)

Nun haben wir in der dritten Zeile eine Nullzeile erreicht. Somit haben wir gezeigt, dass die drei Vektoren untereinander linear abhängig sind. 

Wozu ist es nützlich zu zeigen, ob Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind? Du kannst damit überprüfen, ob die Vektoren, die du gegeben hast, ausreichen, um den gewünschten Vektorraum aufzuspannen. Was bedeutet das? Um einen dreidimensionalen Vektorraum aufzuspannen, brauchst du drei Vektoren, die voneinander linear unabhängig sind – die also nicht auf derselben Ebene liegen. Denn sonst hättest du möglicherweise drei Vektoren, die alle in dieselbe Richtung zeigen oder vielleicht einen zweidimensionalen Raum aufspannen, jedoch nicht für einen dreidimensionalen Raum genügen. 

Du brauchst für einen Raum Rn also immer genau n linear unabhängige Vektoren: für R2 sind es zwei, für R3 drei linear unabhängige Vektoren. Das bedeutet auch: Wenn du in einem Raum Rn mehr als n Vektoren hast, dann können diese nicht mehr linear unabhängig voneinander sein – sie lassen sich durch Linearkombination voneinander darstellen. 

Möchtest du noch mehr über Vektoren erfahren? Dann schau dir unsere Aufgaben, Beispiele und Erklärungen zum gesamten Thema Vektoren an.