Winkel zwischen Vektoren berechnen

Wenn du zwei Vektoren in einem Koordinatensystem betrachtest, die zusammen einen Winkel bilden, so kannst du diesen Winkel auch mathematisch berechnen. Dabei ist es wichtig zu verstehen, dass zwischen zwei Vektoren zwei Winkel entstehen, wie du auf dieser Zeichnung erkennen kannst:

Es gibt also einen inneren Winkel θ (sprich: Theta), den die beiden Vektoren einschließen, und einen äußeren Winkel θ′ . Mit der Berechnung, die wir dir hier vorstellen, ermittelst du stets den spitzeren Winkel, also θ. Mithilfe einer Formel gelingt die Berechnung ganz leicht.

So sieht die Formel aus, mit der du den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen kannst:

Gesprochen heißt diese Formel: Der Cosinus des Winkels Theta ist gleich das Skalarprodukt von Vektor →a und Vektor →b geteilt durch den Betrag von →a mal den Betrag von →b.

Und daraus folgt:

θ=cos−1(→a∘→b|→a|⋅|→b|)

Das sieht auf den ersten Blick ein wenig kompliziert aus. Lass uns daher die verschiedenen Komponenten einmal aufschlüsseln:

• →a und →b sind die beiden Vektoren, deren Winkel du berechnen sollst. 
• Der runde Punkt ∘ zeigt dir an, dass du hier das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen sollst. 
• |→a| bedeutet, dass du die Länge bzw. den Betrag eines Vektors einsetzen sollst. 
• θ ist einfach der Name des Winkels, den du berechnen wirst. 
• cos steht für die Cosinus-Funktion. Du kannst den Wert problemlos mit deinem Taschenrechner berechnen.

Tipp: Wenn du noch unsicher bist, was ein Skalarprodukt oder der Betrag eines Vektors ist, klick auf die obenstehenden Links und vertiefe deine Kenntnisse. 

Schauen wir uns jetzt die genaue Anleitung für die Berechnung des Winkels an!

Diese Anleitung in vier Schritten hilft dir, Winkel zwischen Vektoren im Koordinatensystem zu berechnen:

1. Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
2. Berechne die Beträge der beiden Vektoren.
3. Setze alle Werte in die Formel ein.
4. Forme die Formel um und rechne aus.

Leichter wird das natürlich, wenn wir uns dazu ein paar Beispiele ansehen!

Hier eine Aufgabe als Beispiel für den zweidimensionalen Vektorraum R2. Gegeben seien die Vektoren:

→a=(15)

und

→b=(37)

Aufgabe: Berechne den Winkel zwischen beiden Vektoren im Koordinatensystem.

Schritt 1: Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren

Das Skalarprodukt der Vektoren berechnest du so:

(15)∘(37)=1⋅3+5⋅7=3+35=38

Schritt 2: Berechne die Beträge der beiden Vektoren

Der Betrag eines Vektors ist gleich der Länge des Vektors. In unserem Fall berechnest du die Beträge der Vektoren so:

|→a|=√12+52

|→a|=√1+25

|→a|=√26

|→b|=√32+72

|→b|=√9+49

|→b|=√58

Schritt 3: Setze alle Werte in die Formel ein

Die Formel zur Berechnung des Winkels lautet:

cosθ=→a∘→b|→a|⋅|→b|

Wir setzen ein:

cosθ=38√26⋅√58

Schritt 4: Forme die Formel um und rechne aus

Wir müssen die Formel nun noch so umstellen, dass wir den Winkel θ ausrechnen können. Die Formel sieht dann so aus: 

θ=cos−1(→a∘→b|→a|⋅|→b|)

Und für unsere Aufgabe bedeutet das:

θ=cos−1(38√26⋅√58)

Das kannst du übrigens nicht ohne Weiteres im Kopf ausrechnen – verwende nun also gern deinen Taschenrechner! Du erhältst folgendes Ergebnis:

θ=11,89°

Du hast erfolgreich den Winkel θ berechnet. Um auch den größeren Winkel θ′ zu berechnen, kannst du rechnen:

θ′=360°−θ

θ′≈360°−11,89°

θ′≈348,11°

Schauen wir uns noch ein Beispiel im dreidimensionalen Raum an.

Die Berechnung des Winkels erfolgt mit exakt denselben vier Schritten. Nehmen wir folgende Aufgabe:

Gegeben seien die Vektoren:

(3−2−1) und (432)

Schritt 1: Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren

(3−2−1)∘(432)=3⋅4+(−2)⋅3+(−1)⋅2=12−6−2=4

Schritt 2: Berechne die Beträge der beiden Vektoren

|→a|=√32+(−2)2+(−1)2

|→a|=√9+4+2

|→a|=√15

|→b|=√42+32+22

|→b|=√16+9+4

|→b|=√29

Schritt 3: Setze alle Werte in die Formel ein

Die Formel lautet:

cosθ=→a∘→b|→b|⋅|→a|

Wir setzen ein:

cosθ=4√15⋅√29

Schritt 4: Forme die Formel um und rechne aus

Wir stellen die Formel um:

θ=cos−1(4√15⋅√29)

Unser Endergebnis, berechnet mit dem Taschenrechner, lautet: 

θ≈78,5°

Wieder können wir auch den Winkel θ′ berechnen:

θ′=360°−θ

θ′≈360°−78,5°

θ′≈281,5°

Und das ist schon alles, was du über die Berechnung von Winkeln zwischen Vektoren wissen musst. Möchtest du mehr zum Thema Vektoren erfahren? Dann schau dir unsere umfangreichen Materialien rund um Vektoren an und löse online viele Beispielsaufgaben!