Einheitsvektor
Wenn Du wissen willst, was der Einheitsvektor ist, dann bist Du hier genau richtig. Schau Dir das Video an oder steig direkt in den Text ein
Was ist der Einheitsvektor?
Der Einheitsvektor kommt in der Vektorrechnung häufig vor. Er ist – wie der Name schon verrät – ebenfalls ein Vektor, allerdings mit einer bestimmten Eigenschaft: Er hat immer exakt die Länge 1. Es handelt sich dabei also um einen Spezialfall unter den Vektoren. Jeder Vektor hat einen Einheitsvektor, den du berechnen kannst.
Davon gibt es nur eine Ausnahme: den Nullvektor \(\vec{0}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\).
Mit Einheitsvektoren kann man zum Beispiel die Richtung im zwei- oder dreidimensionalen Raum angeben, wenn die Länge keine Rolle spielt. Man benutzt ihn außerdem zum Abtragen vorgegebener Längen – dazu erfährst du weiter unten mehr.
Die Schreibweise für den Einheitsvektor sieht so aus:
\(\vec{e}_v\)
Man spricht: „Einheitsvektor von Vektor v“
Wie kannst du nun den Einheitsvektor berechnen? Dazu schauen wir uns jetzt ein Beispiel an.
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Den Einheitsvektor berechnen
Um den Einheitsvektor zu bestimmen, kannst du folgende Formel nutzen:
\(\vec{e}_v=\frac{1}{\lvert \vec{v}\rvert}\cdot \vec{v}\)
Das bedeutet: Um den Einheitsvektor zu berechnen, teilst du den ursprünglichen Vektor durch seinen Betrag. Das ist sinnvoll, schließlich willst du den Einheitsvektor berechnen, der ja per Definition genau die Länge \(1\) hat. Teilst du also einen Vektor durch seine Länge, erhältst du logischerweise immer die Länge \(1\). Jetzt weißt du auch, warum dieses Vorgehen für den Nullvektor nicht funktioniert – durch Null darfst du nämlich nicht teilen.
Was ist der Betrag eines Vektors? Der Betrag eines Vektors zeigt seine Länge an. Du kannst ihn auf folgende Weise berechnen:
\(\lvert \vec{v}\rvert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\)
Beispiel:
Den Betrag des Vektors \(\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}\) berechnest du so:
\(\lvert \vec{v}\rvert=\sqrt{(2)^2+(-1)^2+(4)^2}\)
\(\lvert \vec{v}\rvert=\sqrt{4+1+16}\)
\(\lvert \vec{v}\rvert=\sqrt{21}\)
Da du jetzt den Betrag berechnen kannst, können wir zu unserer ursprünglichen Formel zurückkehren:
\(\vec{e}_v=\frac{1}{\lvert\vec{v}\rvert}\cdot \vec v\)
Rechnen wir dazu zwei Beispiele.
Beispiel 1: Einheitsvektor im zweidimensionalen Raum
Im zweidimensionalen Raum hat das Koordinatensystem nur zwei Achsen: die x-Achse und die y-Achse. Somit hat auch dein Vektor nur zwei Ebenen. Unsere Aufgabe könnte daher zum Beispiel lauten:
Berechne den Einheitsvektor des Vektors \(\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\).
Wir berechnen zunächst den Betrag des Vektors:
\(\lvert\vec{v}\rvert=\sqrt{v_1^2+v_2^2}\)
\(\lvert\vec{v}\rvert=\sqrt{(3)^2+(-4)^2}\)
\(\lvert\vec{v}\rvert=\sqrt{9+16}\)
\(\lvert\vec{v}\rvert=\sqrt{25}\)
\(\lvert\vec{v}\rvert=5\)
Nun können wir den Betrag in unsere Formel für den Einheitsvektor einsetzen:
\(\vec{e}_v=\frac{1}{\lvert\vec{v}\rvert}\cdot \vec{v}\)
\(\vec{e}_v=\frac{1}{5}\cdot \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\)
\(\vec{e}_v=\begin{pmatrix}\frac{3}{5}\\\frac{-4}{5}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}6\\-0{,}8\end{pmatrix}\)
Fertig! Du hast nun den Einheitsvektor berechnet.
Beispiel 2: Einheitsvektor im dreidimensionalen Raum
Rechnen wir noch eine Aufgabe im dreidimensionalen Raum. Dort hat das Koordinatensystem drei Achsen: eine x-Achse, eine y-Achse und eine z-Achse. Deine Aufgabe lautet:
Berechne den Einheitsvektor des Vektors \(\begin{pmatrix}3\\-4\\12\end{pmatrix}\).
Wieder berechnen wir zunächst den Betrag:
\(\lvert \vec v\rvert=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\)
\(\lvert \vec v\rvert=\sqrt{(3)^2+(-4)^2+(12)^2}\)
\(\lvert \vec v\rvert=\sqrt{9+16+144}\)
\(\lvert \vec v\rvert=\sqrt{169}\)
\(\lvert \vec v\rvert=13\)
Als Nächstes setzen wir den Betrag in unsere Formel ein, um den Einheitsvektor zu berechnen:
\(\vec {e}_v=\frac{1}{\lvert \vec{v}\rvert}\cdot \vec{v}\)
\(\vec {e}_v=\frac{1}{13}\cdot \begin{pmatrix}3\\-4\\12\end{pmatrix}\)
\(\vec {e}_v=\begin{pmatrix}\frac{3}{13}\\\frac{-4}{13}\\\frac{12}{13}\end{pmatrix}\approx=\begin{pmatrix}0{,}23\\-0{,}31\\0{,}92\end{pmatrix}\)
Fertig!
Anwendung: So nutzt du den Einheitsvektor
Oft stößt du auf Aufgaben, die beispielsweise so lauten:
Gegeben sei der Punkt \(P_1(-3|5)\). Trage \(6\) Einheiten in Richtung \(\vec{v}\) mit dem Vektor \(\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\) ab und ermittle \(P_2\).
Das bedeutet, dass du die Richtung des angegebenen Vektors nutzt, um vom gegebenen Punkt \(P_1(-3|5)\) nun sechs Einheiten (mit der Länge \(1\)) in diese Richtung zu gehen. Du kannst dann bestimmen, an welchem Punkt du auf diese Weise landest.
Dafür musst du zunächst wieder den Einheitsvektor berechnen. Das haben wir im Beispiel oben schon getan, und so wissen wir bereits, wie er lautet:
\(\vec{e}_v=\begin{pmatrix}\frac{3}{5}\\\frac{-4}{5}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}6\\-0{,}8\end{pmatrix}\)
Nun gehst du von dem gegebenen Punkt \(P_1(-3|5)\) aus und trägst 6-mal (für \(6\) Einheiten) den Einheitsvektor zu deinem gegebenen Vektor \(\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\) ab. So erhältst du den Punkt \(P_2\). Wir rechnen dazu:
\(\vec{P}_2=\vec{P}_1+n\cdot\vec{e}_v\)
\(n\) steht hier für die Menge der Einheiten, die du abtragen sollst. Wir setzen ein:
\(\vec{P}_2=\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}+6\cdot\begin{pmatrix}0{,}6\\-0{,}8\end{pmatrix}\)
\(\vec{P}_2=\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3{,}6\\-4{,}8\end{pmatrix}\)
\(\vec{P}_2=\begin{pmatrix}3+3{,}6\\-4-(4{,}8)\end{pmatrix}\)
\(\vec{P}_2=\begin{pmatrix}6{,}6\\-8{,}8\end{pmatrix}\)
Lösung: Du erreichst nach dem 6-maligen Abtragen des Einheitsvektors den Punkt \(P_2(6{,}8|–8{,}8)\).
Was weißt du über die Länge des Einheitsvektors?