Vektorrechnung

Wie der Name schon verrät, rechnest du in der Vektorrechnung mit Vektoren. Vektoren nutzt man, um anzugeben, um welche Distanz und in welche Richtung ein Punkt verschoben wird. Dabei bezeichnet ein Vektor nicht nur eine einzelne Verschiebung, sondern die Menge aller Pfeile, die folgende drei Bedingungen erfüllen:

1. Sie zeigen in dieselbe Richtung.
2. Sie verlaufen parallel zueinander.
3. Sie sind exakt gleich lang.

Meist wirst du die Vektorrechnung im zwei-, noch häufiger im dreidimensionalen Raum R3${\mathbb{R}}^3$ anwenden. Dazu nutzt du das dreidimensionale Koordinatensystem, das aus einer x-Achse, einer y-Achse und einer z-Achse besteht. Daher bestehen Vektoren im dreidimensionalen Raum auch aus drei Koordinaten: x$x$, y$y$ und z$z$.

Mit Vektoren kannst du auch rechnen. Dafür gelten bestimmte Rechenregeln, die aber nicht sehr schwierig sind. Die wichtigsten stellen wir dir gleich vor. Wenn du erst einen allgemeinen Überblick haben möchtest, lies dir unsere ausführliche Erklärung über Vektoren durch!

Vektoren kannst du addieren und subtrahieren. Das ist gar nicht schwierig. Statt zwei Zahlen addierst bzw. subtrahierst du eben vier oder sechs Zahlen, und zwar so:

a⃗ +b⃗ =(a1+b1a2+b2)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_1+b_1\\ a_2+b_2\end{array}\right)$

a⃗ −b⃗ =(a1−b1a2−b2)$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_1-b_1\\ a_2-b_2\end{array}\right)$

Lass uns dazu ein Beispiel ansehen, dann wird dir das Vorgehen bestimmt sehr schnell klar. Wir wollen folgende zwei Vektoren addieren:

a⃗ =(24)$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$ und b⃗ =(31)$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$

Wir schreiben also:

a⃗ +b⃗ =(24)+(31)=(2+34+1)=(55)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2+3\\ 4+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 5\end{array}\right)$

Einfach, oder? Beim Subtrahieren funktioniert das genauso. Bilden wir die Differenz aus diesen zwei Vektoren:

a⃗ =(−23)$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)$ und b⃗ =(52)$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)$

Wir rechnen:

a⃗ −b⃗ =(−23)−(52)=(−2−53−2)=(−71)$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2-5\\ 3-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-7\\ 1\end{array}\right)$

Geometrisch kannst du dir die Addition oder Subtraktion in der Vektorrechnung so vorstellen: Jeder Vektor hat einen Startpunkt und einen Endpunkt. Wenn du nun den Vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ nimmst und an seinen Endpunkt (seine „Spitze“) den Startpunkt (den „Fuß“) von Vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ „klebst“, so kannst du zwischen dem Startpunkt von Vektor a⃗ $\overrightarrow{a}$ und dem Endpunkt von Vektor b⃗ $\overrightarrow{b}$ einen neuen Vektor zeichnen. Dieser Vektor ist der Verbindungsvektor, der aus der Vektoraddition entsteht. Das funktioniert übrigens auch, wenn du mehr als zwei Vektoren addierst (oder subtrahierst).

In der Vektorrechnung tauchen nicht nur Vektoren, sondern auch ganz „normale“ (reelle) Zahlen auf. Um diese von den Zahlen zu unterscheiden, die innerhalb der Vektoren geschrieben werden, nennt man sie Skalare. Du kannst dir aber einfach merken, dass ein solcher Skalar eine reelle Zahl ist. 

Mit den Skalaren kann man Vektoren problemlos multiplizieren. Dadurch

• werden die Vektoren länger („gestreckt“), wenn der Skalar größer als 1$1$ ist, 
• werden die Vektoren kürzer („gestaucht“), wenn der Skalar kleiner als 1$1$ ist,
• ändern die Vektoren ihre Richtung, wenn der Skalar negativ ist.

Beispiel:

a⃗ ⋅2⟹$\overrightarrow{a}\cdot 2⟹$ Der Vektor wird doppelt so lang.

a⃗ ⋅0.5⟹$\overrightarrow{a}\cdot 0.5⟹$ Der Vektor wird halb so lang.

a⃗ ⋅(−3)⟹$\overrightarrow{a}\cdot (-3)⟹$ Der Vektor wird dreimal so lang und zeigt in die Gegenrichtung.

Die skalare Multiplikation ist ganz einfach. Du multiplizierst einfach jede Komponente deines gegebenen Vektors mit dem Skalar (den wir hier k$k$ nennen). Wir zeigen dir das einmal an einem Vektor im dreidimensionalen Raum, also mit drei Komponenten.

Mathematisch schreiben wir:

k⋅a⃗ =k⋅⎛⎝⎜a1a2a3⎞⎠⎟=⎛⎝⎜k⋅a1k⋅a2k⋅a3⎞⎠⎟$k\cdot \overrightarrow{a}=k\cdot \left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k\cdot a_1\\ k\cdot a_2\\ k\cdot a_3\end{array}\right)$

Beispiel:

3⋅⎛⎝⎜412⎞⎠⎟=⎛⎝⎜3⋅43⋅13⋅2⎞⎠⎟=⎛⎝⎜1236⎞⎠⎟$3\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot 4\\ 3\cdot 1\\ 3\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 3\\ 6\end{array}\right)$

Das Skalarprodukt hat zwar einen ganz ähnlichen Namen wie die skalare Multiplikation, verwechseln solltest du die beiden jedoch nicht. Das Skalarprodukt heißt so, weil du als Ergebnis einen Skalar – eine einzelne reelle Zahl – erhältst, wenn du zwei (oder mehr) Vektoren miteinander multiplizierst. Das Ergebnis des Skalarprodukts ist spannend, denn es zeigt dir, ob die beiden Vektoren, deren Skalarprodukt du bildest, senkrecht zueinander stehen.

Zum Glück ist das Skalarprodukt trotzdem ganz einfach zu berechnen. Dazu multiplizierst du einfach die Komponenten der beiden Vektoren, die sich auf derselben Ebene befinden, und addierst anschließend die Ergebnisse. Mathematisch sieht das so aus:

a⃗ ⋅b⃗ =⎛⎝⎜a1a2a3⎞⎠⎟∘⎛⎝⎜b1b2b3⎞⎠⎟=a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$

Beispiel:

a⃗ ⋅b⃗ =⎛⎝⎜−233⎞⎠⎟∘⎛⎝⎜6−48⎞⎠⎟=−2⋅6+3⋅(−4)+3⋅8=−12+(−12)+24=−12−12+24=0$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ 3\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}6\\ -4\\ 8\end{array}\right)=-2\cdot 6+3\cdot (-4)+3\cdot 8=-12+(-12)+24=-12-12+24=0$

Wie du erkennen kannst, ist das Skalarprodukt dieser zwei Vektoren gleich Null. Das bedeutet: Sie stehen senkrecht zueinander.

Mathematisch kannst du schreiben:

a⃗ ⊥b⃗ $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$

Zuletzt wollen wir uns noch das Kreuzprodukt ansehen, das auch Vektorprodukt genannt wird. Dieses verknüpft zwei Vektoren, und zwar so, dass der entstehende neue Vektor senkrecht zu den beiden Ausgangsvektoren steht. Das Kreuzprodukt berechnest du nach folgender Formel:

⎛⎝⎜a1a2a3⎞⎠⎟×⎛⎝⎜b1b2b3⎞⎠⎟=⎛⎝⎜a2⋅b3−a3⋅b2a3⋅b1−a1⋅b3a1⋅b2−a2⋅b1⎞⎠⎟$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2\\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3\\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1\end{array}\right)$

Das mag auf den ersten Blick etwas kompliziert aussehen. Man kann hier jedoch gut das „über Kreuz“-Muster erkennen, von dem das Kreuzprodukt seinen Namen hat. Schauen wir uns dazu noch ein Beispiel an.

Beispiel:

⎛⎝⎜5−23⎞⎠⎟×⎛⎝⎜46−1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜(−2)⋅(−1)−3⋅63⋅4−5⋅(−1)5⋅6−(−2)⋅4⎞⎠⎟=⎛⎝⎜2−1812−(−5)30−(−8)⎞⎠⎟=⎛⎝⎜−161738⎞⎠⎟$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(-2)\cdot (-1)-3\cdot 6\\ 3\cdot 4-5\cdot (-1)\\ 5\cdot 6-(-2)\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2-18\\ 12-(-5)\\ 30-(-8)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16\\ 17\\ 38\end{array}\right)$

Fertig! Du hast ein Kreuzprodukt berechnet. Der Vektor, den du errechnet hast, steht senkrecht zu deinen ursprünglichen Vektoren ⎛⎝⎜5−23⎞⎠⎟$\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 3\end{array}\right)$ und ⎛⎝⎜46−1⎞⎠⎟$\left(\begin{array}{c}4\\ 6\\ -1\end{array}\right)$.

Das sind die wichtigsten Arten, mit Vektoren zu rechnen. In unserer Übersicht zum Thema Vektoren findest du viele weitere Themen, zu denen du online Aufgaben lösen und so dein Wissen vertiefen kannst.