Kreuzprodukt – online lernen
Das Kreuzprodukt oder auch Vektorprodukt ist eine Art der Multiplikation zwischen zwei Vektoren. Mit Hilfe des Vektorproduktes kannst z.B. einen zu zwei Vektoren orthoganonalen (rechtwinkligen) Vektor schnell berechnen.
Vektorprodukt / Kreuzprodukt
Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt zweier Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) ist ein Vektor \(\vec{n}\),
der zu \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) senkrecht steht:
\(\quad \vec{n}=\vec{a}\times \vec{b}=\pmatrix{a_{1}\\a_{2}\\a_{3}}\times \pmatrix{b_{1}\\b_{2}\\b_{3}}=\pmatrix{a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}\)
Der Betrag \(|\vec{n}|\) des Kreuzprodukts entspricht der Fläche \(A_{P}=|\vec{n}|\) des von den Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Parallelogramms.
Skizze:
Beispielaufgabe:
Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren \(\vec{a}=\pmatrix{4\\2\\1}\) und \(\vec{b}=\pmatrix{0\\-3\\10}\).
Bestimme damit auch den Flächeninhalt des Parallelogramms, welches von den beiden Vektoren aufgespannt wird.
Lösung:
\(\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}= \pmatrix{4\\2\\1}\times \pmatrix{0\\-3\\10}=\pmatrix{2\cdot 10-1\cdot (-3)\\1\cdot 0-4\cdot 10\\4\cdot (-3)-2\cdot 0}=\pmatrix{23\\-40\\-12}\)
\(A_{p}=|\vec{n}|=\sqrt{23^{2}+(-40)^{2}+(-12)^{2}}=\sqrt{2273}\approx 47{,}68\text{ FE}\)
Vektorprodukt Kreuzprodukt
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 1105
Vektorprodukt / Kreuzprodukt
Schwierigkeitsgrad 1
Arbeitsblatt-Nr. 7029
Schwierigkeitsgrad 2
Arbeitsblatt-Nr. 7030
Vektoren
Vektorprodukt / Kreuzprodukt
Schwierigkeitsgrad 1 / Serie 01
Aufgabe 1
Berechne das Vektorprodukt / Kreuzprodukt.
| a) | \[ \begin{pmatrix}2\\ -1 \\\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\\ 3 \\\ -1 \end{pmatrix} = \] | b) | \[ \begin{pmatrix}5\\\ -3 \\\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}6\\\ -2 \\\ 1 \end{pmatrix} = \] | c) | \[ \begin{pmatrix}7\\\ 0 \\\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3\\\ -4 \\\ 0 \end{pmatrix} = \] |
| d) | \[ \begin{pmatrix}3\\\ -5 \\\ 7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}6\\\ 8 \\\ 3 \end{pmatrix} = \] | e) | \[ \begin{pmatrix}1\\\ -1 \\\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0\\\ 0 \\\ 1 \end{pmatrix} = \] | f) | \[ \begin{pmatrix}1\\\ -2 \\\ 7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3\\\ -2 \\\ 1 \end{pmatrix} = \] |
| g) | \[ \begin{pmatrix}9\\\ -3 \\\ 6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}-4\\\ -8 \\\ 12 \end{pmatrix} = \] | h) | \[ \begin{pmatrix}0\\\ -3 \\\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}6\\\ 0 \\\ 1 \end{pmatrix} = \] |
Aufgabe 2
Ermittle das Vektorprodukt / Kreuzprodukt und weise nach, dass \[\vec{a} \times \vec{b}\] senkrecht auf \[\vec{a}\] und \[\vec{b}\] steht.
(Tipp: Nutze zum Beweis das Skalarprodukt!)
| a) | \[\vec{a} = \begin{pmatrix}2 \\\ -3 \\\ 2 \end{pmatrix}\] ; \[\vec{b} = \begin{pmatrix}1 \\\ -5 \\\ -1 \end{pmatrix}\] | b) | \[\vec{a} = \begin{pmatrix}3 \\\ -4 \\\ 6 \end{pmatrix}\] ; \[\vec{b} = \begin{pmatrix}4 \\\ 7 \\\ -8 \end{pmatrix}\] | c) | \[\vec{a} = \begin{pmatrix}13 \\\ 6 \\\ -7 \end{pmatrix}\] ; \[\vec{b} = \begin{pmatrix}3 \\\ 0 \\\ 8 \end{pmatrix}\] |
| d) | \[\vec{a} = \begin{pmatrix}4 \\\ -4 \\\ 2 \end{pmatrix}\] ; \[\vec{b} = \begin{pmatrix}-3 \\\ 0 \\\ 0 \end{pmatrix}\] | e) | \[\vec{a} = \begin{pmatrix}8 \\\ 2 \\\ 2 \end{pmatrix}\] ; \[\vec{b} = \begin{pmatrix}1 \\\ 4 \\\ -5 \end{pmatrix}\] | f) | \[\vec{a} = \begin{pmatrix}3 \\\ -3 \\\ 1 \end{pmatrix}\] ; \[\vec{b} = \begin{pmatrix}-6 \\\ -2 \\\ 7 \end{pmatrix}\] |
