Kreuzprodukt – online lernen

Vektorprodukt / Kreuzprodukt

Das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt zweier Vektoren a⃗ $\overrightarrow{a}$ und b⃗ $\overrightarrow{b}$ ist ein Vektor n⃗ $\overrightarrow{n}$,
der zu a⃗ $\overrightarrow{a}$ und b⃗ $\overrightarrow{b}$ senkrecht steht:

n⃗ =a⃗ ×b⃗ =⎛⎝⎜a1a2a3⎞⎠⎟×⎛⎝⎜b1b2b3⎞⎠⎟=⎛⎝⎜a2b3−a3b2a3b1−a1b3a1b2−a2b1⎞⎠⎟$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right)$

Der Betrag |n⃗ |$|\overrightarrow{n}|$ des Kreuzprodukts entspricht der Fläche AP=|n⃗ |$A_P=|\overrightarrow{n}|$ des von den Vektoren a⃗ $\overrightarrow{a}$ und b⃗ $\overrightarrow{b}$ aufgespannten Parallelogramms.

Skizze:

Beispielaufgabe:

Berechne das Kreuzprodukt der Vektoren a⃗ =⎛⎝⎜421⎞⎠⎟$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ und b⃗ =⎛⎝⎜0−310⎞⎠⎟$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 10\end{array}\right)$.
Bestimme damit auch den Flächeninhalt des Parallelogramms, welches von den beiden Vektoren aufgespannt wird.

Lösung:

n⃗ =a⃗ ×b⃗ =⎛⎝⎜421⎞⎠⎟×⎛⎝⎜0−310⎞⎠⎟=⎛⎝⎜2⋅10−1⋅(−3)1⋅0−4⋅104⋅(−3)−2⋅0⎞⎠⎟=⎛⎝⎜23−40−12⎞⎠⎟$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\cdot 10-1\cdot (-3)\\ 1\cdot 0-4\cdot 10\\ 4\cdot (-3)-2\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}23\\ -40\\ -12\end{array}\right)$

Ap=|n⃗ |=232+(−40)2+(−12)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=2273−−−−√≈47,68 FE$A_p=|\overrightarrow{n}|=\sqrt{{23}^2+(-40{)}^2+(-12{)}^2}=\sqrt{2273}\approx 47,68\text{ FE}$