Linearkombination

Hinter diesem etwas sperrigen Begriff verstecken sich einfach nur verschiedene Möglichkeiten der Vektorrechnung. Wenn du Vektoren miteinander addierst, also eine Vektoraddition durchführst, dann erhältst du als Ergebnis einen neuen Vektor, die sogenannte Linearkombination. Du kannst zwei oder auch mehr Vektoren miteinander addieren, um eine Linearkombination zu erhalten.

Du hast aber noch eine weitere Möglichkeit. Die Linearkombination ist nämlich nicht nur auf die Vektoraddition beschränkt, sondern du kannst die einzelnen Vektoren, aus denen du die Linearkombination bilden möchtest, auch noch einer skalaren Multiplikation unterziehen. Auf diese Weise kannst du die einzelnen Vektoren strecken oder stauchen und sogar ihre Richtung verändern, um die gewünschte Linearkombination zu erhalten.

Sind Begriffe wie „skalare Multiplikation“ und „Vektoraddition“ noch Fremdwörter für dich? Dann schau dir unsere Erklärungen und Aufgaben zur Vektorrechnung an.

Wenn du aus zwei Vektoren →v1  und →v2  mithilfe der Vektoraddition einen neuen Vektor, die Linearkombination, bildest, so kannst du schreiben:

→v =→v1+→v2

Möchtest du für die Vektoren →v1  und →v2  außerdem noch eine skalare Multiplikation durchführen, brauchst du zusätzlich noch eine Variable für die Skalare (die reellen Zahlen), mit denen du multiplizieren möchtest. Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten. Manchmal wird dafür der griechische Buchstabe λ (sprich: Lamda) genutzt. Wir verwenden hier stattdessen den Buchstaben k. Hier steht k also für eine beliebige reelle Zahl. Dann kannst du schreiben:

→v =k1⋅→v1+k2⋅→v2

Du kannst aus beliebig vielen Vektoren eine Linearkombination bilden, zum Beispiel so: 

→v =k1⋅→v1+k2⋅→v2+k3⋅→v3+k4⋅→v4

Das kannst du auch mit einer allgemeingültigen Formel darstellen: 

→v =k1⋅→v1+k2⋅→v2⋅+...kn⋅→vn

Jetzt ist auch die Definition der Linearkombination nicht mehr schwer:

Schauen wir uns jetzt ein Beispiel dazu an.

Rechnen wir eine Aufgabe als Beispiel. Du hast zwei Vektoren gegeben: 

→a=(2−3)

→b=(41)

Deine Aufgabe ist es, daraus eine mögliche Linearkombination zu bilden. Die einfachste Lösung lautet:

→v=→a+→b

→v=(2−3)+(41)

→v=(2+4−3+1)

→v=(6−2)

Einfach, oder? Auf dieselbe Weise kannst du mithilfe der Vektoraddition auch eine Linearkombination aus drei oder mehr Vektoren berechnen. 

Wie erwähnt kannst du die einzelnen Vektoren aber auch noch mit reellen Zahlen – den Skalaren – multiplizieren.

Zum Beispiel so: 

→v=k1⋅→a+k2⋅→b

→v=5⋅(2−3)+3⋅(41)

→v=(5⋅2+3⋅45⋅(−3)+3⋅1)

→v=(22−11)

Geometrisch lässt sich die Linearkombination so darstellen:

Hier siehst du deutlich, wie aus den Vektoren →a und →b bzw. →a, →b und →c neue Vektoren, die Linearkombinationen (gekennzeichnet in Rot), entstehen.

Häufig wird die Aufgabe, die dir in der linearen Algebra begegnet, stattdessen lauten, eine bereits vorhandene Linearkombination mithilfe anderer gegebener Vektoren auszudrücken. Deine Aufgabe ist es dann also, die Skalare zu ermitteln, mit denen du diese Vektoren multiplizieren musst, um die Linearkombination zu finden. Das gelingt dir mithilfe der folgenden Anleitung:
 

1. Gleichung aufstellen
2. Lineares Gleichungssystem erstellen
3. Eine Gleichung nach k1 auflösen
4. Mithilfe von k1 eine weitere Gleichung nach k2 auflösen
5. k2 und ggf. k3 berechnen, sofern möglich
6. Probe machen

Klingt das noch kompliziert? Dann lass uns das an einem Beispiel genauer betrachten. 

Beispiel: 

Ermittle die Skalare k1 und k2 für die Vektoren →a und →b, um die Linearkombination →v zu bilden.
Gegeben seien:

→a=(22)

→b=(3−1)

→v=(91)

Gehen wir anhand dieser Vorgaben unsere Schritte durch.

Schritt 1: Gleichung aufstellen

Unsere Gleichung für die Linearkombination lautet:

(91)=k1⋅→a+k2⋅→b

(91)=k1⋅(22)+k2⋅(3−1)

Schritt 2: Lineares Gleichungssystem erstellen

Wir erstellen das lineare Gleichungssystem, das sich aus den gegebenen Vektoren ergibt:

(I)9=k1⋅2+k2⋅3

(II)1=k1⋅2+k2⋅(−1)

Schritt 3: Eine Gleichung nach k1 auflösen

Welche Gleichung wir zuerst nach k1 auflösen, ist grundsätzlich egal. Du kannst aber danach schauen, ob eine Gleichung möglicherweise leichter zu lösen ist, beispielsweise weil aufgrund einer Multiplikation mit Null eine Variable ganz wegfällt. In unserem Fall spielt es keine große Rolle. Wir können daher einfach die erste Gleichung verwenden: 

9=k1⋅2+k2⋅3∣−3k2

9−3k2=2k1∣÷2

9−3k22=k1

Wir haben nun eine Variable eliminiert und können k1 mithilfe von k2 ausdrücken. 

Schritt 4: Mithilfe von k1 eine weitere Gleichung nach k2 auflösen

Wir können jetzt k1=9−3k22 in die Gleichung (II) einsetzen, um k2 zu ermitteln:

1=k1⋅2+k2⋅(−1)

1=9−3k22⋅2+k2⋅(−1)

Den Bruch können wir kürzen:

1=9−3k2−k2

 1=9−4k2∣−9

−8=−4k2∣÷(−4)

k2=2

Super! Wir haben für k2=2 den Skalar, eine reelle Zahl, gefunden. Diese können wir nun in die Gleichung (I) einsetzen, um auch die reelle Zahl für k1 zu berechnen. 

Schritt 5: k2 und ggf. k3 berechnen, sofern möglich

Da wir mit Vektoren im zweidimensionalen Raum rechnen, müssen wir nur k2 bestimmen. Bei einer Rechnung mit Vektoren im dreidimensionalen Raum hättest du noch eine weitere Gleichung aufzulösen, das Prinzip bleibt aber dasselbe. 

Wir setzen also nun k2=2 in die Gleichung (I) ein und ermitteln so k1: 

9=k1⋅2+k2⋅3

9=2k1+2⋅3

9=2k1+6∣−6

3=2k1

k1=1,5

Nun haben wir erfolgreich sowohl k1=1,5 als auch k2=2 ermittelt.

Schritt 6: Probe machen

Um sicherzustellen, dass wir richtig gerechnet haben, können wir uns nun die ganz ursprüngliche Aufgabe noch einmal anschauen:

(91)=k1⋅→a+k2⋅→b

Wir setzen nun k1=1,5 und k2=2 ein und überprüfen, ob unsere Gleichung aufgeht:

(91)=1,5⋅(22)+2⋅(3−1)

(91)=(1,5⋅21,5⋅2)+(2⋅32⋅(−1))

(91)=(33)+(6−2)
  
 (91)=(3+63+(−2))

 (91)=(91)

Du siehst: Die Probe geht auf. Wir haben also richtig gerechnet!
Nun weißt du, wie du mit der Linearkombination rechnen kannst. Möchtest du noch mehr wissen oder deine Kenntnisse festigen? Dann schau dir unsere Aufgaben, Beispiele und Erklärungen zum gesamten Thema Vektoren an.