Betrag (Länge) eines Vektors
Wenn Du wissen willst, was der Betrag eines Vektors ist, dann bist Du hier genau richtig. Schau Dir das Video an oder steig direkt in den Text ein.
Was ist der Betrag eines Vektors?
Ein Vektor bezeichnet eine Verschiebung um eine bestimmte Länge und in einer bestimmten Richtung im zwei- oder dreidimensionalen Raum. Wenn du darüber mehr erfahren willst, hol dir auf unserer Seite zum Thema Vektoren gern das Grundwissen dazu ab. Was hat es nun aber mit dem Betrag eines Vektors auf sich? Das ist ganz einfach.
Der Betrag eines Vektors ist die Länge eines Vektors.
Der Betrag eines Vektors →v heißt |→v|.
Es ist gar nicht schwer, den Betrag bzw. die Länge eines Vektors zu berechnen. Dazu gibt es nämlich eine einfache Formel.
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Formel für den Betrag eines Vektors
Die Formel zum Berechnen des Betrags für einen Vektor →v=(v1v2) im zweidimensionalen Raum lautet:
|→v|=√v21+v22
Im dreidimensionalen Raum sieht das für den Vektor →v=(v1v2v3) so aus:
|→v|=√v21+v22+v23
Du musst also die einzelnen Komponenten eines Vektors jeweils quadrieren, dann miteinander multiplizieren und zuletzt die Wurzel ziehen. So erhältst du den Betrag des Vektors.
Schauen wir uns dazu doch gleich ein paar Beispiele an.
Beispiel 1: Betrag eines Vektors im zweidimensionalen Raum
Im zweidimensionalen Raum, also in einer Ebene, haben Vektoren nur zwei Komponenten, da es auch im Koordinatensystem nur eine x- und eine y-Koordinate geben kann. Berechnen wir also den Betrag für folgenden Vektor:
→v=(34)
Die Formel, mit der wir den Betrag bzw. die Länge berechnen, lautet:
|→v|=√v21+v22
Wir setzen ein:
|→v|=√32+42
Und nun können wir den Betrag berechnen:
|→v|=√9+16
|→v|=√25
|→v|=5
Nun weißt du: Die Länge des Vektors →v=(34) ist 5.
Beispiel 2: Betrag eines Vektors im dreidimensionalen Raum
Berechnen wir den Betrag dieses Vektors:
→v=(247)
Hier noch einmal die Formel für den Betrag im dreidimensionalen Raum:
|→v|=√v21+v22+v23
Wir setzen ein:
|→v|=√22+42+72
|→v|=√4+16+49
|→v|=√69
Wenn das Ziehen der Wurzel keine glatte Zahl ergibt, ist es manchmal sinnvoller, mit der Wurzel selbst weiterzurechnen. Wenn du aber das Endergebnis brauchst, rundest du es einfach:
|→v|=√69≈8,31
Fertig!
Was du über den Betrag noch wissen solltest
Den Betrag brauchst du meist vor allem, um den Einheitsvektor zu berechnen. Das ist ein normierter Vektor, mit dessen Hilfe du bestimmte Strecken im Raum abtragen kannst. Der normierte Einheitsvektor hat immer exakt die Länge 1.
Verwechsle den Einheitsvektor nicht mit dem Nullvektor. Der Nullvektor hat immer den Betrag 0, er hat also keine Länge. Der Nullvektor wird so geschrieben: →v0=(00) im zweidimensionalen Raum oder →v0=(000) im dreidimensionalen Raum.
Es gibt übrigens keine Vektoren mit negativer Länge. Das kannst du auch an der Berechnung des Betrags erkennen: Da du alle Komponenten zunächst quadrierst und dann die Wurzel ziehst, musst du zwingend ein positives Ergebnis (oder im Falle des Nullvektors die Länge 0) erhalten.
In der Vektorrechnung hast du verschiedene Möglichkeiten, mit Vektoren und auch mit Beträgen zu rechnen. Dafür ist es gut, ein paar Regeln für das Rechnen mit Beträgen zu kennen:
- Vektoren addieren: Wenn du zwei Vektoren addierst, entsteht eine neue Länge (ein neuer Betrag). Diese kann niemals größer sein als die Summe aus den Beträgen der einzelnen Vektoren.
- skalare Multiplikation von Vektoren: Du kannst einen Vektor mit einem Skalar k multiplizieren und anschließend den Betrag berechnen – oder zuerst den Betrag des Vektors berechnen und dann diesen mit dem Skalar multiplizieren. Das Ergebnis bleibt dasselbe.
- Gegenvektoren: Da Beträge niemals negativ sein können, hat ein Vektor immer exakt die gleiche Länge wie sein Gegenvektor. Denn wenn du jeweils die Komponenten eines Vektors und des Gegenvektors quadrierst, addierst und daraus die Wurzel ziehst, erhältst du zwingend dasselbe Ergebnis.
Herleitung der Formel für den Betrag
Ein Vektor im zweidimensionalen Raum stellt eine Verschiebung entlang der x-Achse und eine Verschiebung entlang der y-Achse dar. Hier kannst du das gut erkennen:
Es findet eine Verschiebung um 3 entlang der x-Achse und um 4 entlang der y-Achse statt. Wie du siehst, entsteht dadurch ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem der Vektor →a die Hypotenuse und die Verschiebungen die Katheten darstellen. Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras.
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
a2+b2=c2
Das bedeutet, dass wir die Länge der Hypotenuse (c) – also den Betrag des Vektors – berechnen können, indem wir die Längen der anderen beiden Seiten des Dreiecks (a und b) quadrieren, addieren und schließlich die Wurzel daraus ziehen. Und genau das tun wir, wenn wir den Betrag berechnen:
→v2=→v21+→v22
|→v|=√v21+v22
Der Satz des Pythagoras bildet also die Grundlage dafür. Wie du bereits weißt, funktioniert das aber nicht nur im zwei-, sondern auch im dreidimensionalen Raum. Hier noch einmal die leicht angepasste Formel:
|→v|=√v21+v22+v33
Super! Nun weißt du, wie du den Betrag eines Vektors berechnen kannst.
Was kann der Betrag eines Vektors nicht sein?