Skalarprodukt – online lernen

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet sich wie folgt:

→a⋅→b=(a1a2a3)⋅(b1b2b3)=a1b1+a2b2+a3b3

Man muss also einfach die beiden Komponenten der zwei Vektoren, die in der gleichen Zeile stehen, jeweils miteinander multiplizieren und diese Ergebnisse dann alle aufaddieren. Das Ergebnis dieser Summe ergibt dann eine Zahl (den Skalar), diese ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren Null, so sind sie senkrecht (orthogonal) zueinander:

→a⋅→b=0⇔→a⊥→b

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Herleitung:

Man betrachtet die drei Vektoren

→a=(a1a2a3);→b=(b1b2b3);→c=(c1c2c3)

mit dem Winkel γ

zwischen den Vektoren →a und →b, die das rechts abgebildete Dreieck aufspannen.

Mit dem Kosinussatz gilt darin dann

|→c|2=|→a|2+|→b|2−2|→a||→b|⋅cos(γ)

Der Vektor →c

lässt sich aber ausdrücken als

→c=→a−→b=(a1−b1a2−b2a3−b3)

.

Setzt man dies in die linke Seite der Kosinussatz-Gleichung ein und rechnet diese aus, erhält man
==(a1−b1)2+(a2−b2)2+(a3−b3)2=(a21−2a1b1+b21)+(a22−2a2b2+b22)+(a23−2a3b3+b23)=(a21+a22+a23)+(b21+b22+b23)−2a1b1−2a2b2−2a3b3=|→a|2+|→b|2−2(a1b1+a2b2+a3b3)

Somit kann man |→a|2

und |→b|2 auf beiden Seiten der Gleichung subtrahieren und erhält damit
−2(a1b1+a2b2+a3b3)=−2|→a||→b|⋅cos(γ)∣:(−2)a1b1+a2b2+a3b3=|→a||→b|⋅cos(γ)

Da das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren →a

und →b definiert ist durch

→a⋅→b:=|→a||→b|⋅cos(γ)

,

ergibt sich damit die am Anfang eingeführte Berechnung

→a⋅→b=a1b1+a2b2+a3b3

.

Sind →a und →b orthogonal zueinander, gilt somit γ=90∘ und cos(90∘)=0. Daraus folgt dann auch →a⋅→b=0

.
Wenn →a⋅→b=0 gilt, muss auch cos(γ)=0 gelten, was nur für γ=90∘ der Fall ist.
Also sind →a und →b genau dann orthogonal zueinander, wenn →a⋅→b=0 gilt.

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Beispielaufgaben:

Beispiel 1)

Untersuche, ob →a=(713−1) senkrecht auf →b=(011140) oder auf →c=(7−310) steht.

Lösung:

Berechne die beiden Skalarprodukte

→a⋅→b=(713−1)⋅(011140)=7⋅0+13⋅11+(−1)⋅140=143−140=3≠0

⇒→a⊥̸→b

→a⋅→c=(713−1)⋅(7−310)=7⋅7+13⋅(−3)+(−1)⋅10=49−39−10=0

⇒→a⊥→c

Beispiel 2)

Wie muss der Parameter c gewählt werden, damit die Vektoren →a=(8−88) und →b=(c1c) senkrecht zueinander sind?

Lösung:

Berechne das Skalarprodukt

→a⋅→b=(8−88)⋅(c1c)=8c−8+8c=16c−8.

Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss
→a⋅→b=0 gelten.
Das ist der Fall, wenn 16c−8=0⇔c=12.