Skalarprodukt – online lernen

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet sich wie folgt:

a⃗ ⋅b⃗ =⎛⎝⎜a1a2a3⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜b1b2b3⎞⎠⎟=a1b1+a2b2+a3b3$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right)=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

Man muss also einfach die beiden Komponenten der zwei Vektoren, die in der gleichen Zeile stehen, jeweils miteinander multiplizieren und diese Ergebnisse dann alle aufaddieren. Das Ergebnis dieser Summe ergibt dann eine Zahl (den Skalar), diese ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

Ist das Skalarprodukt zweier Vektoren Null, so sind sie senkrecht (orthogonal) zueinander:

a⃗ ⋅b⃗ =0⇔a⃗ ⊥b⃗ $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\iff \overrightarrow{a}\mathrm{\perp }\overrightarrow{b}$

---

Herleitung:

Man betrachtet die drei Vektoren

mit dem Winkel

zwischen den Vektoren und , die das rechts abgebildete Dreieck aufspannen.

Mit dem Kosinussatz gilt darin dann

Der Vektor

lässt sich aber ausdrücken als

.

Setzt man dies in die linke Seite der Kosinussatz-Gleichung ein und rechnet diese aus, erhält man

Somit kann man

und auf beiden Seiten der Gleichung subtrahieren und erhält damit

Da das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren

und definiert ist durch

,

ergibt sich damit die am Anfang eingeführte Berechnung

.

Sind a⃗ $\overrightarrow{a}$ und b⃗ $\overrightarrow{b}$ orthogonal zueinander, gilt somit γ=90∘$\gamma ={90}^{\circ }$ und cos(90∘)=0$\cos \left({90}^{\circ }\right)=0$. Daraus folgt dann auch

.
Wenn  gilt, muss auch cos(γ)=0$\cos \left(\gamma \right)=0$ gelten, was nur für γ=90∘$\gamma ={90}^{\circ }$ der Fall ist.
Also sind a⃗ $\overrightarrow{a}$ und b⃗ $\overrightarrow{b}$ genau dann orthogonal zueinander, wenn  gilt.

---

Beispielaufgaben:

Beispiel 1)

Untersuche, ob a⃗ =⎛⎝⎜713−1⎞⎠⎟$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}7\\ 13\\ -1\end{array}\right)$ senkrecht auf b⃗ =⎛⎝⎜011140⎞⎠⎟$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ 140\end{array}\right)$ oder auf c⃗ =⎛⎝⎜7−310⎞⎠⎟$\overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}7\\ -3\\ 10\end{array}\right)$ steht.

Lösung:

Berechne die beiden Skalarprodukte

a⃗ ⋅b⃗ =⎛⎝⎜713−1⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜011140⎞⎠⎟=7⋅0+13⋅11+(−1)⋅140=143−140=3≠0$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}7\\ 13\\ -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 11\\ 140\end{array}\right)=7\cdot 0+13\cdot 11+(-1)\cdot 140=143-140=3\ne 0$

⇒a⃗ ⊥̸b⃗ $\Rightarrow \overrightarrow{a}\perp ̸\overrightarrow{b}$

a⃗ ⋅c⃗ =⎛⎝⎜713−1⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜7−310⎞⎠⎟=7⋅7+13⋅(−3)+(−1)⋅10=49−39−10=0$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=\left(\begin{array}{c}7\\ 13\\ -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -3\\ 10\end{array}\right)=7\cdot 7+13\cdot (-3)+(-1)\cdot 10=49-39-10=0$

⇒a⃗ ⊥c⃗ $\Rightarrow \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{c}$

Beispiel 2)

Wie muss der Parameter c$c$ gewählt werden, damit die Vektoren a⃗ =⎛⎝⎜8−88⎞⎠⎟$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 8\end{array}\right)$ und b⃗ =⎛⎝⎜c1c⎞⎠⎟$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}c\\ 1\\ c\end{array}\right)$ senkrecht zueinander sind?

Lösung:

Berechne das Skalarprodukt

a⃗ ⋅b⃗ =⎛⎝⎜8−88⎞⎠⎟⋅⎛⎝⎜c1c⎞⎠⎟=8c−8+8c=16c−8.$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}8\\ -8\\ 8\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}c\\ 1\\ c\end{array}\right)=8c-8+8c=16c-8.$

Damit die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind, muss
a⃗ ⋅b⃗ =0$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$ gelten.
Das ist der Fall, wenn 16c−8=0⇔c=12$16c-8=0\iff c=\frac{1}{2}$.