Übungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung – online lernen

Wahrscheinlichkeiten

Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Art Prognose, die ein Urteil über bestimmte Versuche oder Experimente liefern kann. Bekannte Beispiele sind der Würfel oder die Münze. Bei einer fairen Münze beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Seite oben liegt, immer

. Bei einem fairen Würfel ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Zahl 16$\frac{1}{6}$.

Man kann dies auch mathematisch erfassen. Zur Beschreibung braucht es folgende Begriffe:

Ergebnismenge Ω$\mathrm{\Omega }$:
Die Ergebnismenge Ω$\mathrm{\Omega }$ ist die Beschreibung aller möglichen Ergebnisse. Ω$\mathrm{\Omega }$ ist der letzte Buchstabe des griechischen Alphabets und steht häufig stellvertretend für das „Große Ganze“ oder „Alles“.
Bei der Münze wäre Ω={Kopf, Zahl}$\mathrm{\Omega }=\{\text{Kopf, Zahl}\}$ und |Ω|=2$|\mathrm{\Omega }|=2$, da die Menge Ω$\mathrm{\Omega }$ zwei Ergebnisse beinhaltet. Man sagt „Die Mächtigkeit der Menge Ω$\mathrm{\Omega }$ beträgt 2$2$“.
Beim Würfel wäre Ω={Eins, Zwei, Drei, Vier, Fünf, Sechs}$\mathrm{\Omega }=\{\text{Eins, Zwei, Drei, Vier, Fünf, Sechs}\}$ und |Ω|=6$|\mathrm{\Omega }|=6$.

Ereignismenge E$E$:
Die Ereignismenge E$E$ beschreibt einen Anteil der Ergebnismenge, die einen bestimmten Ausgang des Experiments vorhersagt. Wettet man zum Beispiel bei der Münze auf Ek={Kopf}$E_k=\{\text{Kopf}\}$, dann ist |Ek|=1$|E_k|=1$.
Wettet man beim Würfel auf E<2=Zahl kleiner als 3={Eins, Zwei}$E_{<2}=\text{Zahl kleiner als 3}=\{\text{Eins, Zwei}\}$, beträgt |E<2|=2$|E_{<2}|=2$.

Wahrscheinlichkeit:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet man, indem man die Mächtigkeit der Ereignismenge durch die Mächtigkeit der Ergebnismenge teilt. Für die Münze erhält man:

Möchte man beim Würfeln eine Zahl kleiner als drei erhalten, so gilt: 

Man muss also vor der Berechnung der Wahrscheinlichkeit nur feststellen, wie groß E$E$ und Ω$\mathrm{\Omega }$ sind.