Relative Häufigkeit berechnen – online lernen

Absolute und relative Häufigkeiten

In einer Stichprobe hat jeder Datenwert eine absolute Häufigkeit H1$H_1$. Sie gibt einfach an, wie oft ein Wert in der Stichprobe vorkommt.

In der Datengruppe 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 7, 9 hat der Wert 3 die Häufigkeit 2, weil er zweimal vorkommt, der Wert 4 hat die Häufigkeit 3, weil er dreimal vorkommt. Alle anderen Werte kommen nur einmal vor und haben die Häufigkeit 1.

Die relative Häufigkeit h1$h_1$ eines Datenwerts ist die Häufigkeit in Bezug (Relation) auf die Gesamtanzahl der Datenwerte n. Sie ist einfach die absolute Häufigkeit geteilt durch die Gesamtanzahl: h1=H1n$h_1=\frac{H_1}{n}$.

Beispiel: Bestimmte die absoluten und relativen Häufigkeiten der folgenden Stichprobe: 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 9.

Totale Wahrscheinlichkeit

Theorem (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit): Sei Ω$\mathrm{\Omega }$ ein Ergebnisraum und seien B1,B2,....,Bi$B_1,B_2,....,B_i$ eine Zerlegung von Ω$\mathrm{\Omega }$, d.h. B1∪B2∪...∪Bi=Ω$B_1\cup B_2\cup ...\cup B_i=\mathrm{\Omega }$ und Bi∩Bj=Ø$B_i\cap B_j=Ø$ für i≠j$i\ne j$, dann gilt für jedes Ereignis A⊂Ω$A\subset \mathrm{\Omega }$: 

• P(A)=P(A|B1)⋅P(B1)+P(A|B2)⋅P(B2)+...+P(A|Bi)⋅P(Bi)$P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)+...+P(A|B_i)\cdot P(B_i)$

Beispiel: Gegeben seien 6 Urnen:

Man wählt eine zufällige Urne aus und zieht daraus eine Kugel. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es eine schwarze (wobei angenommen wird, dass die Wahrscheinlichkeit für alle Kugeln gleich ist)?

Anhand der Abbildung kann man sehen, dass es genauso viele schwarze wie blaue Kugeln gibt. Es liegt also nahe, dass die Wahrscheinlichkeit 12$\frac{1}{2}$ beträgt. Dies kann man mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit auch präzise berechnen.

Vorüberlegung:Wir legen folgende Ereignisse fest:

• Bj$B_j$: Die Kugel wird aus Urne j$j$ entnommen, wobei j=0,...,5$j=0,...,5$.
• A$A$: Es wird eine schwarze Kugel entnommen.

Wegen der Zufälligkeit in der Wahl der Urne gilt: P(Bj)=16$P(B_j)=\frac{1}{6}$ und P(A|Bj)=j5$P(A|B_j)=\frac{j}{5}$, da sich in Urne j$j$ eben genau j$j$ schwarze Kugeln befinden und es insgesamt 5 Kugeln pro Urne sind (siehe Abbildung).

Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit folgt nun:

P(A)=P(A|B1)⋅P(B1)+P(A|B2)⋅P(B2)+...+P(A|B5)⋅P(B5)$P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)+...+P(A|B_5)\cdot P(B_5)$

P(A)=15⋅16+25⋅16+...+55⋅16$P(A)=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{6}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{6}+...+\frac{5}{5}\cdot \frac{1}{6}$

P(A)=130⋅(0+1+2+3+4+5)=130⋅15=12$P(A)=\frac{1}{30}\cdot (0+1+2+3+4+5)=\frac{1}{30}\cdot 15=\frac{1}{2}$