Durchschnitt berechnen – online lernen

Mittelwerte

Modus

Der Modus ist derjenige Wert einer Gruppe von Werten, der am häufigsten auftaucht. Das Besondere am Modus ist, dass er auch für Datengruppen angegeben werden kann, für die weder der Median noch das arithmetische Mittel bestimmt werden können.

Beispiel: Gib den Modus der folgenden Datengruppe an: 

6,7,7,8,5,8,10,6,8,7,9,8,5

Die 8 ist in der Gruppe am häufigsten vorhanden, der Modus ist also xD=8. 

Quartile

In einer Gruppe von Daten, die sich der Größe nach ordnen lassen (Rangliste), sind die Quartiledie Werte, die die Gruppe in vier gleich große Gruppen unterteilen.

2,4,4,5,5,6,6,6,7,8,8,10,10

q₁= 4,5 q₂= 6 q₃= 8

Das mittlere Quartil kennt man besser als Median. Das erste Quartil nennt man auch das untere Quartil q_uund das dritte Quartil das obere Quartil q_o. Das untere und obere Quartil bestimmt man genau wie Median.

Zuerst ordnet man die Daten aufsteigend. Für das untere Quartil nimmt man die untere Hälfte, in unserem Beispiel oben also die Daten

2,4,4,5,5,6

Wäre die Anzahl dieser Werte ungerade, könnten wir direkt den zentralen Wert als unteres Quartil ablesen. Da dies aber eine gerade Anzahl an Werten ist, müssen wir wie beim Median die beiden zentralen Werte nehmen – die 4 und die 5 – und deren Durchschnitt berechnen:

4+52=4,5=q1

In der oberen Hälfte der Daten bestimmen wir als zentrale Werte die beiden Achten. Deren Durchschnitt ist natürlich wieder die 8, wir können das obere Quartil also als solches ablesen: q₃= 8.

Beispiel: Gib Median, oberes und unteres Quartil der folgenden Datengruppe an:

6,7,7,8,5,8,10,6,5,9,8,7,9,8,5

• Zuerst müssen die Werte geordnet werden: 5,5,5,6,6,7,7,7,8,8,8,8,9,9,10
• Nun können die Quartile bestimmt werden: q_u= 6, z = 7 und q_o= 8.

Quartilsabstand

Der Quartilsabstand ist die Differenz oder der Unterschied zwischen oberem Quartil qo (auch q3) und unterem Quartil qu (auch q1).

Quartilsabstand=qo−qu 

Damit man den Quartilsabstand bestimmen kann, muss man also zuerst die Quartile bestimmen.

Beispiel: Gib den Quartilsabstand der folgenden Datengruppe an: 6,7,7,8,5,8,10,6,5,9,8,7,9,8,5

• Zuerst müssen die Werte geordnet werden: 5,5,5,6,6,7,7,7,8,8,8,8,9,9,10
• Nun können die Quartile bestimmt werden: qu=6 und qo=8
• Quartilsabstand: 8−6=2

Spannweite

Die Spannweite ist die Differenz zwischen größtem und kleinstem Wert einer Gruppe von Daten, die sich der Größe nach anordnen lassen:

Spannweite=xmax−xmin

Beispiel: Gib die Spannweite der folgenden Datengruppe an: 6,7,7,8,5,8,10,6,5,9,8,7,9,8,5.

Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel ¯xarithm (der Durchschnitt) ist der Quotient aus der Summe aller Werte der Datenreihe und der Anzahl der Werte. Es gilt für n Werte:  ¯xarithm=x1+x2+...+xnn

Alternative Schreibweisen dieser Formel: 

¯xarithm=1n (x1+x2+...+xn)

¯xarithm=1n⋅∑ni=1xi

Beispiel: Bestimme das arithmetische Mittel folgender Datenreihen: 

90,111,93,30,180,120,100,44,43 

¯xarithm=90+111+93+30+180+120+100+44+439=90,11

3,4,−1,17,100,32,−5,0,11,9

¯xarithm=3+4+(−1)+17+100+32+(−5)+0+11+910=17

Mittelwerte

In der Statistik sind Mittelwerte allgemein solche Werte, die benutzt werden, um die Mitte einer Datenreihe wiederzugeben.

Es gibt unterschiedliche Mittelwerte. Einige sind:

• Das arithmetische Mittel (auch Durchschnitt genannt)
  Hier wird die Summe aller Werte gebildet und durch die Anzahl der Werte geteilt.
• Der Zentralwert oder Median
  Die n Werte müssen hier geordnet werden. Der Median ist der Wert, der in der Mitte (bei n2) steht.
• Das geometrische Mittel
  Hier wird das Produkt der n Werte gebildet und anschließend die n-te Wurzel gezogen.
• Das harmonische Mittel
  Hier teilt man die Anzahl n der Werte durch die Summe der Kehrwerte der einzelnen Werte.

Es gibt noch viele andere Mittelwerte, die hier genannten sind nur die Wichtigsten. Nähere Beschreibungen der einzelnen Mittelwerte findet man in anderen Wikis.