Mathematik – Partielle Integration

Die partielle Integration verwirrt dich nur? Kein Wunder, die Formel sieht sehr unübersichtlich aus. Aber keine Sorge, wir erklären dir die partielle Integration mit Beispielen, sodass du sie auf jeden Fall verstehst und schon bald sicher anwenden kannst.

Statt „partielle Integration“ hast du in Mathe vielleicht schon den Begriff „partielles Integrieren“ oder „Produktintegration“ gehört. Der letzte Begriff ist ganz nützlich, denn er verrät uns, wozu wir die partielle Integration in Mathematik überhaupt brauchen:

• Es geht darum, dass wir integrieren (das Gegenstück zum Ableiten).
  
• Und es geht um Produkte.
  

Wenn du Funktionen ableitest, die aus einem Produkt bestehen (zwei Teilfunktionen als Faktoren haben), verwendest du dazu die Produktregel. Die Produktintegration ist das Gegenstück dazu: Du bildest das Integral einer Funktion, die aus einem Produkt besteht. Es geht also nicht um das Ableiten, sondern um das Aufleiten. 

Tipp: Lies unseren Artikel zu den Integrationsregeln, wenn du dein Wissen auffrischen möchtest.  

Manchmal stößt du beim Aufleiten auf Integrale, die du nicht ohne Weiteres berechnen kannst. Dann kann dir unter Umständen die partielle Integration helfen. „Partiell“ bedeutet, dass du erst einmal nur einen Teil der Funktion integrierst. Es bleibt dann ein Integral zurück, das hoffentlich einfacher zu berechnen ist, als das gesamte Integral es gewesen wäre. 

Die Formel für das partielle Integrieren sieht so aus:

∫f′(x)⋅g(x)dx=f(x)⋅g(x)−∫f(x)⋅g′(x)dx$\int f^{\prime }(x)\cdot g(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g^{\prime }(x)dx$

Lass dich nicht davon verwirren, dass die Formel auf den ersten Blick kompliziert aussieht. Wir gehen alles Schritt für Schritt durch. Lass uns zunächst schauen, was bei der partiellen Integration laut der Formel eigentlich passiert:

• Du hast eine Funktion gegeben, die aus zwei Teilfunktionen besteht. Wir nennen sie f′(x)$f^{\prime }(x)$ und g(x)$g(x)$. Sie ergeben zusammen ein Produkt. 
• Du sollst das Integral dieser Funktion bilden. Mit der Integrationsformel für die partielle Integration zerlegst du ein kompliziertes Integral so, dass es leichter zu berechnen ist.
• Rechts vom Gleichheitszeichen siehst du, dass nur noch ein Teil der Funktion ein Integral ist. Der vordere Teil ist schon „fertig“.
• Du musst für die partielle Integration eine der beiden Teilfunktionen (die Faktoren in deinem Produkt) aufleiten und die andere ableiten. 

Was super wichtig ist: Die Anwendung der Produktintegration ist nur dann sinnvoll, wenn du eine der beiden Teilfunktionen leicht aufzuleiten ist und die andere beim Ableiten vereinfacht wird. Wir wollen uns ja schließlich weniger Arbeit machen und nicht mehr! Merke dir daher gut:

Wenn du Funktionen integrieren sollst, die zwei Teilfunktionen im Produkt beinhalten, gehst du am besten so vor:

1. Identifiziere die beiden Teilfunktionen.
   
2. Entscheide, welche Funktion leicht aufzuleiten ist, und nenne sie f′(x)$f^{\prime }(x)$. Beachte den kleinen Strich! 
   
3. Die andere Funktion sollte beim Ableiten vereinfacht werden. Nenne sie g(x)$g(x)$.
   
4. Führe die Aufleitung bzw. Ableitung durch.
   
5. Setze alles in die Formel ein und du kannst das Integral berechnen. 
   

Das zeigen wir dir natürlich jetzt an einem Beispiel.

Die e-Funktion (die natürliche Exponentialfunktion) ist nicht nur besonders leicht abzuleiten, sondern auch leicht zu integrieren. Du kannst hier mehr über die Ableitung der e-Funktion nachlesen. Beim Integrieren der e-Funktion gilt:

f(x)=ex$f(x)=e^x$

Stammfunktion:

F(x)=ex+C$F(x)=e^x+C$

Hier nun ein Beispiel für eine Funktion, die wir mit der Integrationsregel „partielle Integration“ integrieren wollen:

∫x⋅exdx$\int x\cdot e^{x}dx$

Wir gehen wie oben erklärt Schritt für Schritt vor. 

Als Erstes identifizieren wir die zwei Teilfunktionen, die wir hier sehen. Wir erkennen die Funktion x und die Funktion ex$e^x$.

Jetzt müssen wir entscheiden, welche der beiden Funktionen wir integrieren und welche wir ableiten wollen. Die Funktion ex$e^x$ ist leicht zu integrieren und leicht abzuleiten, daher schauen wir uns auch die andere an: Die Funktion x$x$ wird beim Ableiten zu 1. Das ist super einfach! Also nehmen wir die Funktion ex$e^x$ zum Aufleiten und die Funktion x zum Ableiten. Wir benennen jetzt die beiden Teilfunktionen:

f′(x)=ex$f^{\prime }(x)=e^x$

g(x)=x$g(x)=x$

Jetzt müssen wir noch die Aufleitung f(x)$f(x)$ udnd ie Ableitung g′(x)$g^{\prime }(x)$ bilden:

f′(x)=ex$f^{\prime }(x)=e^x$

f(x)=ex$f(x)=e^x$

g(x)=x$g(x)=x$

g′(x)01$g^{\prime }(x)01$

Jetzt können wir das in unsere Formel einsetzen:

∫f′(x)⋅g(x)dx=f(x)⋅g(x)−∫f(x)⋅g′(x)dx$\int f^{\prime }(x)\cdot g(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g^{\prime }(x)dx$

∫ex⋅xdx=ex⋅x−∫ex⋅1$\int e^x\cdot xdx=e^x\cdot x-\int e^x\cdot 1$

Du siehst, dass jetzt nur noch der hintere Teil integriert werden muss. Das rechnen wir jetzt noch aus:

∫ex⋅xdx=ex⋅x−(ex+C)⋅1=ex⋅x−ex+C$\int e^x\cdot xdx=e^x\cdot x-(e^x+C)\cdot 1=e^x\cdot x-e^x+C$

Fertig!

Diese Tipps helfen dir, dich in der Integralrechnung mit der partiellen Integration besser zurechtzufinden:

• Prüfe vorab immer, ob du eine der Teilfunktionen leicht aufleiten kannst und ob die andere beim Ableiten einfacher wird. Ansonsten ist partielles Integrieren nicht der richtige Weg.
  
• Gibt es einen Faktor x$x$? Dann solltest du diesen zum Ableiten wählen, denn er verwandelt sich beim Ableiten in 1 und damit kannst du super rechnen!
  
• Funktionen, die sich zum Aufleiten eignen, sind Funktionen wie die e-Funktion (Aufleitung: ebenfalls ex$e^x$), die Sinusfunktion (Aufleitung: −coscos(x)+C$-\cos cos(x)+C$) und die Kosinusfunktion (Aufleitung: sinsin(x)+C$\sin sin(x)+C$).

Beispiel:

∫ln ln(x)dx=∫(1⋅ln ln(x))dx$\int \ln ln(x)dx=\int (1\cdot \ln ln(x))dx$

Wir wählen die Funktion 1 zum Aufleiten und die Funktion ln(x)$ln(x)$ zum Ableiten. Wir leiten 1 auf und erhalten x$x$. Außerdem leiten wir ln(x)$ln(x)$ ab und erhalten 1x$\frac{1}{x}$.

Wir setzen ein:

∫f′(x)⋅g(x)dx=f(x)⋅g(x)−∫f(x)⋅g′(x)dx$\int f^{\prime }(x)\cdot g(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g^{\prime }(x)dx$

∫(1⋅ln ln(x))dx?x⋅ln ln(x)−∫x⋅1x=x⋅ln ln(x)−∫1dx$\int (1\cdot \ln ln(x))dx?x\cdot \ln ln(x)-\int x\cdot \frac{1}{x}=x\cdot \ln ln(x)-\int 1dx$

Das verbliebene Integral können wir ganz leicht aufleiten (zu x+C)$(zux+C)$ und dann erhalten wir: 

=x⋅ln ln(x)−x+C$=x\cdot \ln ln(x)-x+C$

Manchmal führst du eine partielle Integration durch und hast danach immer noch ein Integral in deiner Gleichung, das du nicht einfach ausrechnen kannst. Dann musst du diesen Teil noch einmal partiell integrieren. Für die mehrfache partielle Integration gelten dieselben Regeln.

Beispiel:

∫sin sin(x)⋅x2dx$\int \sin sin(x)\cdot x^{2}dx$

Wir haben hier die Teilfunktionen sin(x)$sin(x)$ und x2$x^2$. Da die Sinusfunktion leicht aufzuleiten ist und dabei auch nicht kompliziert wird, wählen wir sie als f′(x)$f^{\prime }(x)$. Die Funktion x2$x^2$ leiten wir ab, denn dadurch wird sie einfacher. Wir nennen sie g(x)$g(x)$. Jetzt bilden wir noch die Aufleitung von f′(x)$f^{\prime }(x)$ und die Ableitung von g(x)$g(x)$:

f′(x)0sin(x)$f^{\prime }(x)0sin(x)$

f(x)=−cos(x)$f(x)=-cos(x)$

g(x)=x2$g(x)=x^2$

g′(x)=2x$g^{\prime }(x)=2x$

Wir führen die erste partielle Integration durch:

∫f′(x)⋅g(x)dx=f(x)⋅g(x)−∫f(x)⋅g′(x)dx$\int f^{\prime }(x)\cdot g(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g^{\prime }(x)dx$

∫sin sin(x)⋅x2dx=−cos cos(x)⋅x2−∫−cos cos(x)⋅2xdx$\int \sin sin(x)\cdot x^{2}dx=-\cos cos(x)\cdot x^2-\int -\cos cos(x)\cdot 2xdx$

Hier treffen zwei Minuszeichen aufeinander, daher ändern wir noch das Vorzeichen:

∫sin sin(x)⋅x2dx=−cos cos(x)⋅x2+∫cos cos(x)⋅2xdx$\int \sin sin(x)\cdot x^{2}dx=-\cos cos(x)\cdot x^2+\int \cos cos(x)\cdot 2xdx$

Jetzt haben wir genau den Fall, dass wir das verbleibende Integral noch immer nicht leicht ausrechnen können. Deshalb schnappen wir uns jetzt nur diesen rot gefärbten Teil und führen einfach noch eine partielle Ableitung durch:

∫cos cos(x)⋅2xdx$\int \cos cos(x)\cdot 2xdx$

Wir haben jetzt die Teilfunktionen cos(x)$cos(x)$ und 2x$2x$. Wir wählen als f′(x)=cos(x)$f^{\prime }(x)=cos(x)$, denn diese Funktion wird beim Aufleiten nicht schwieriger. Dafür wird 2x$2x$ beim Ableiten einfacher und wir wählen daher g(x)=2x$g(x)=2x$.

Wir bilden die benötigte Aufleitung und Ableitung:

f′(x)0cos(x)$f^{\prime }(x)0cos(x)$

f(x)=sin sin(x)+C$f(x)=\sin sin(x)+C$

g(x)=2x$g(x)=2x$

g′(x)=2$g^{\prime }(x)=2$

Das setzen wir jetzt wie gewohnt in die Formel ein:

∫f′(x)⋅g(x)dx=f(x)⋅g(x)−∫f(x)⋅g′(x)dx$\int f^{\prime }(x)\cdot g(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g^{\prime }(x)dx$

cos cos(x)⋅2xdx=sin sin(x)⋅2x−(−cos cos(x))⋅2+C=sin(x)⋅2x+2⋅cos(x)+C$\cos cos(x)\cdot 2xdx=\sin sin(x)\cdot 2x-(-\cos cos(x))\cdot 2+C=sin(x)\cdot 2x+2\cdot cos(x)+C$

Das ist unser Ergebnis für den roten Teil, den wir oben nicht direkt integrieren konnten. Wir müssen ihn jetzt wieder einsetzen:

∫sin sin(x)⋅x2dx=−cos cos(x)⋅x2+∫cos cos(x)⋅2xdx$\int \sin sin(x)\cdot x^{2}dx=-\cos cos(x)\cdot x^2+\int \cos cos(x)\cdot 2xdx$

∫sin sin(x)⋅x2dx=−cos cos(x)⋅x2+sin(x)⋅2x+2⋅cos(x)+C$\int \sin sin(x)\cdot x^{2}dx=-\cos cos(x)\cdot x^2+sin(x)\cdot 2x+2\cdot cos(x)+C$

Geschafft! Jetzt bist du wirklich fit in partieller Integration.

• Die partielle Integration ist ein Verfahren, mit dem du eine Funktion, die aus mehreren Faktoren (Teilfunktionen) besteht, integrieren kannst.
  
• Dabei solltest du eine Teilfunktion finden, die du leicht aufleiten kannst, und eine Teilfunktion, die beim Ableiten einfacher wird.
  
• Du integrierst die Funktion dann zunächst nur teilweise, in der Hoffnung, dass ein Integral übrigbleibt, das du leichter berechnen kannst.
  

Die Formel für die partielle Integration lautet: 

∫f′(x)⋅g(x)dx=f(x)⋅g(x)−∫f(x)⋅g′(x)dx$\int f^{\prime }(x)\cdot g(x)dx=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g^{\prime }(x)dx$

Die partielle Integration ist aber nicht immer der richtige Weg. Wenn deine Funktion dadurch nur komplizierter wird, musst du ein anderes Verfahren wählen. 

Was versteht man unter partieller Integration?

Partielle Integration wird auch Produktintegration genannt. Dieses Verfahren hilft dir, eine Funktion zu integrieren, die aus einem Produkt aus zwei Teilfunktionen besteht. Du integrierst dann nur teilweise, um so die Berechnung des Integrals zu vereinfachen.

Wann muss man partiell integrieren und wann die Substitution anwenden?

Beide Vorgehen helfen dir, ein Integral leichter zu berechnen. Partielle Integration ist sinnvoll, wenn du eine Teilfunktion leicht aufleiten kannst und die andere beim Ableiten vereinfacht wird. Wenn das nicht möglich ist, hilft dir partielles Integrieren nicht weiter. Dann kannst du es mit der Integration durch Substitution versuchen.

Wann brauche ich die Produktregel und wann die partielle Integration?

Die Produktregel brauchst du, wenn du eine Funktion, die aus einem Produkt besteht, ableiten sollst. Wenn du die Funktion stattdessen aufleiten (integrieren) sollst, kann die partielle Integration dir dabei helfen. 

Wie oft muss man partiell integrieren?

Wenn du nach dem partiellen Integrieren in deiner Gleichung noch immer ein Integral hast, das du nicht leicht berechnen kannst, dann ist es sinnvoll, noch einmal partiell zu integrieren. Aber aufgepasst: Das ist nur sinnvoll, wenn die Funktion, die du aufleitest, auch beim mehrfachen Aufleiten nicht komplizierter wird.