Mathematik – Höhe im Dreieck berechnen

Zuerst müssen wir genau wissen, was die Höhe überhaupt ist. Für die Höhe im Dreieck gilt:

• Sie steht senkrecht auf einer Seite und reicht bis zum gegenüberliegenden Eckpunkt.
• Da es im Dreieck drei Seiten gibt, gibt es auch drei Höhen.
• Die Höhe wird benannt nach der Seite, auf der sie senkrecht steht. Es gibt also die Höhen ha$h_a$, hb$h_b$ und hc$h_c$.

Tipp: In manchen Dreiecken musst du eine Seite verlängern, damit du die Höhe einzeichnen kannst, weil der gegenüberliegende Eckpunkt zu weit rechts oder links liegt. Das macht aber nichts – die oben genannte Definition gilt trotzdem.

Wir zeigen dir, wie du die Höhe für ein allgemeines Dreieck berechnen kannst. Es gibt auch Sonderfälle wie das gleichseitige Dreieck, in denen die Berechnung einfacher ist. Schau dir dazu gern noch einmal unsere Seite zu den Dreiecksarten an.

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du mit dieser Formel:

A=12⋅g⋅h$A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$

h kennst du schon – das ist die Höhe. g steht für die Grundseite (deren Höhe du berechnen willst). Hier kann also die Seite a, b oder c gemeint sein. Du kannst die Formel entsprechend auch so schreiben:

A=12⋅a⋅ha$A=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a$ (und analog auch für die Seiten b und c)

Wenn du den Flächeninhalt kennst, kannst du die Formel umstellen, um die Höhe eines Dreiecks zu berechnen:

h=2Ag$h=\frac{2A}{g}$

Beispiel:

Berechne die Höhe hb$h_b$ in einem Dreieck mit der Seitenlänge b = 4cm und dem Flächeninhalt A = 16cm².

Rechnung:

h=2Ag=2∗16cm²4cm=8cm$h=\frac{2A}{g}=\frac{2\ast 16cm²}{4cm}=8cm$ 

Die Höhe, die senkrecht zur Seite b steht, ist 8cm lang. 

Aber wie kann man die Höhe eines Dreiecks berechnen, wenn der Flächeninhalt unbekannt ist? Das schauen wir uns als Nächstes an. 

Im rechtwinkligen Dreieck gilt, dass die Höhe ha$h_a$ genauso lang ist wie die Seite b. Und die Höhe hb$h_b$ ist genauso lang wie die Seite a. An diesem Bild kannst du das gut erkennen: 

Du siehst: Wenn du zum Beispiel eine Senkrechte zur Seite b einzeichnen willst, die durch den Eckpunkt B geht, dann entspricht das genau der Seite a. Deshalb musst du die Höhen ha$h_a$ und hb$h_b$ im rechtwinkligen Dreieck überhaupt nicht extra berechnen, wenn du die Seitenlängen kennst. Nur die Höhe hc$h_c$ entspricht keiner Seite. 

Die Seite c ist im rechtwinkligen Dreieck immer die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Sie heißt auch Hypotenuse. 

Im rechtwinkligen Dreieck kannst du die Höhe hc$h_c$ mit Winkeln berechnen, denn es gilt:

sin(α)=GegenkatheteHypotenuse=ac$\sin (\alpha )=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{a}{c}$

Und:

sin(β)=GegenkatheteHypotenuse=bc$\sin (\beta )=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{b}{c}$

Das allein hilft uns noch nicht weiter, aber: Wenn wir jetzt die Höhe hc$h_c$ einzeichnen – schau einmal in der Zeichnung oben nach –, dann erhalten wir zwei rechtwinklige Teil-Dreiecke. Diese beiden Teil-Dreiecke haben jetzt jeweils die Höhe hc$h_c$ als eine Seite. Wir schauen uns hier das linke Teil-Dreieck an:

Jetzt kannst du für dieses Dreieck mit dieser Formel die Höhe berechnen:

sin(α)=GegenkatheteHypotenuse=hcc$\sin (\alpha )=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{h_c}{c}$

Die Seite c im Teil-Dreieck ist aber genauso lang wie die Seite b im ursprünglichen (gesamten) Dreieck. Auf das ganze Dreieck bezogen, kannst du deshalb schreiben:

sin(α)=hcb$\sin (\alpha )=\frac{h_c}{b}$

Das kannst du nach hc$h_c$ umstellen:

hc=b∗sin(α)$h_c=b\ast \sin (\alpha )$

Tipp: Wenn du das kompliziert findest, schau dir unsere Seite zum Sinussatz an. Dort erklären wir es dir ganz genau. 

Die oben gezeigte Formel kannst du für jede Seite aufstellen und umstellen. Wir ersparen dir hier die Arbeit und verraten dir einfach alle Formeln. Zum Berechnen der Höhe im Dreieck gibt es sogar jeweils zwei Formeln für jede Höhe:

Für die Höhe der Seite a:

ha=b∗sin(γ)$h_a=b\ast sin(\gamma )$

ha=c∗sin(β)$h_a=c\ast sin(\beta )$

Für die Höhe der Seite b:

hb=a∗sin(γ)$h_b=a\ast sin(\gamma )$

hb=c∗sin(α)$h_b=c\ast sin(\alpha )$

Für die Höhe der Seite c:

hc=a∗sin(β)$h_c=a\ast sin(\beta )$

hc=b∗sin(α)$h_c=b\ast sin(\alpha )$

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen a = 6cm, b = 8cm und c = 10cm. Außerdem kennst du den Winkel β≈53,13∘$\beta \approx 53,{13}^{\circ }$. Wie lang ist die Höhe ha$h_a$?

Wenn du jetzt gut aufgepasst hast, bemerkst du: Diese Höhe musst du gar nicht berechnen! Denn sie entspricht der Seitenlänge b, also 8 cm (denn wir haben ein rechtwinkliges Dreieck). 

Wir können aber die Höhe hc$h_c$ berechnen. Dazu benutzen wir den Sinussatz. Da wir die Seite a und den Winkel β$\beta$ kennen, verwenden wir diese Formel: 

hc=a∗sin(β)$h_c=a\ast \sin (\beta )$

Wir setzen unsere Werte ein:

hc≈6cm∗sin(53,13)≈4,8cm$h_c\approx 6cm\ast \sin (53,13)\approx 4,8cm$

Fertig! 

Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a = 7cm. Berechne die Höhe.

Vielleicht denkst du, dass du zu wenig Angaben hast, um in diesem Dreieck die Höhe zu berechnen. Aber: Da es sich um ein gleichseitiges Dreieck handelt, sind alle Seiten gleich lang – du kennst also alle drei Seitenlängen. Außerdem sind im gleichseitigen Dreieck auch alle Winkel gleich groß. Sie haben nämlich alle 60 Grad. 

Daher kannst du rechnen: 

ha=b∗sin(γ)=7cm∗sin(60)≈6,06cm$h_a=b\ast \sin (\gamma )=7cm\ast \sin (60)\approx 6,06cm$ 

Übrigens: Auch alle drei Höhen sind im gleichseitigen Dreieck gleich! 

Im gleichschenkligen Dreieck kannst du die Höhe berechnen, wie du es bereits gelernt hast – mit dem Sinussatz. Da aber zwei Schenkel gleich lang sind (also zwei Seiten), hast du noch eine weitere Möglichkeit. Mit dieser Formel kannst du die Höhe hc$h_c$ im gleichschenkligen Dreieck berechnen, wenn du die Länge eines Schenkels und die Länge der Basis (Seite c) kennst:

hc=12∗4a2−c2−−−−−−−√$h_c=\frac{1}{2}\ast \sqrt{4a^2-c^2}$

Beispiel:

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen a = 4cm und c = 3cm. Wie lang ist die Höhe hc$h_c$?

Rechnung:

hc=12⋅4⋅(4cm)2−(3cm)2−−−−−−−−−−−−−−−−√=12⋅28−−√≈3,71cm$h_c=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{4\cdot (4\text{cm}{)}^2-(3\text{cm}{)}^2}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{28}\approx 3,71\text{cm}$

Zuletzt hast du auch noch eine Möglichkeit, die Höhe zu berechnen, wenn im Dreieck alle drei Seiten bekannt sind. Dazu berechnest du zuerst eine Strecke s. Sie ergibt sich aus den drei bekannten Seiten und du brauchst das Ergebnis für den nächsten Schritt:

s=12⋅(a+b+c)$s=\frac{1}{2}\cdot (a+b+c)$

Danach wendest du folgende Formel an:

ha=2a⋅s⋅(s−a)⋅(s−b)⋅(s−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$h_a=\frac{2}{a}\cdot \sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}$

Für die anderen Höhen sehen die Formeln fast genauso aus:

hb=2b⋅s⋅(s−a)⋅(s−b)⋅(s−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$h_b=\frac{2}{b}\cdot \sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}$

hc=2c⋅s⋅(s−a)⋅(s−b)⋅(s−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$h_c=\frac{2}{c}\cdot \sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}$

Beispiel:

Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 4cm, b = 8cm und c = 10cm. Berechne die Höhe hc$h_c$.

Rechnung:

Wir berechnen zuerst s:

s=12⋅(4cm+8cm+10cm)=11cm$s=\frac{1}{2}\cdot (4\text{cm}+8\text{cm}+10\text{cm})=11\text{cm}$

Jetzt wenden wir die Formel an:

hc=2c⋅s⋅(s−a)⋅(s−b)⋅(s−c)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$h_c=\frac{2}{c}\cdot \sqrt{s\cdot (s-a)\cdot (s-b)\cdot (s-c)}$

hc=210cm⋅(11cm)⋅(11cm−4cm)⋅(11cm−8cm)⋅(11cm−10cm)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$h_c=\frac{2}{10\text{cm}}\cdot \sqrt{(11\text{cm})\cdot (11\text{cm}-4\text{cm})\cdot (11\text{cm}-8\text{cm})\cdot (11\text{cm}-10\text{cm})}$

hc=210cm⋅(11cm)⋅(7cm)⋅(3cm)⋅(1cm)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$h_c=\frac{2}{10\text{cm}}\cdot \sqrt{(11\text{cm})\cdot (7\text{cm})\cdot (3\text{cm})\cdot (1\text{cm})}$

hc=210cm⋅(11cm)⋅21cm3−−−−−−−−−−−−−√$h_c=\frac{2}{10\text{cm}}\cdot \sqrt{(11\text{cm})\cdot 21{\text{cm}}^3}$

hc=210cm⋅231cm4−−−−−−√$h_c=\frac{2}{10\text{cm}}\cdot \sqrt{231{\text{cm}}^4}$

hc≈210cm⋅15,2cm2≈3,04cm$h_c\approx \frac{2}{10\text{cm}}\cdot 15,2{\text{cm}}^2\approx 3,04\text{cm}$

Fertig! 

Tipp: Diese Formel kannst du auch verwenden, um eine fehlende Seitenlänge im Dreieck mit der Höhe zu berechnen!

• Die Höhe im Dreieck steht senkrecht auf einer Seite und reicht bis zum gegenüberliegenden Eckpunkt. Jedes Dreieck hat drei Höhen, eine für jede Seite.
• Du kannst die Höhe mit dem Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen, indem du die Flächenformel umstellst: h=2Ag$h=\frac{2A}{g}$              
• Im rechtwinkligen Dreieck ist die Höhe ha$h_a$ genauso lang wie die Seite b und die Höhe hb$h_b$ ist genauso lang wie die Seite a. Somit musst du nur die Höhe der Seite c berechnen. 
• In allen Dreiecken, auch im allgemeinen Dreieck, kannst du die Höhe mit dem Sinussatz berechnen. 
• Im gleichschenkligen Dreieck gilt außerdem noch eine weitere Formel: hc=12⋅4∗a2−c2−−−−−−−−√$h_c=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{4\ast a^2-c^2}$