Mathematik – Volumen einer Kugel berechnen

Wie viel Luft passt eigentlich in einen Fußball, und wie viel Eis kriege ich für mein Geld? Solche Fragen kannst du beantworten, wenn du das Volumen einer Kugel berechnen kannst. Vermutlich brauchst du eher die Formel für den Matheunterricht, aber auch dabei helfen wir dir natürlich. Wie immer findest du hier viele Beispiele und einfache Schritt-für-Schritt-Erklärungen. 

Was ist überhaupt eine Kugel? Eine Kugel ist ein geometrischer Körper – wie ein Würfel oder eine Pyramide. Im Gegensatz zu diesen hat sie aber weder Ecken noch Kanten und auch nur eine einzige Fläche. Du kannst dir vorstellen, dass ein Kreis um seine Mittelachse rotiert und dadurch dreidimensional wird. So entsteht eine Kugel. 

Diese Fachbegriffe helfen dir bei deinen Berechnungen:

• Mittelpunkt: Jede Kugel hat einen Mittelpunkt. Von diesem Punkt sind alle Punkte auf der Oberfläche der Kugel genau gleich weit entfernt, haben also den gleichen Abstand zum Mittelpunkt. 
• Radius: Wenn du von einem beliebigen Punkt auf der Kugeloberfläche eine gerade Linie zum Mittelpunkt ziehst, erhältst du den Radius (r)$(r)$.
• Durchmesser: Der Durchmesser (d)$(d)$ einer Kugel beginnt an einem beliebigen Punkt auf der Oberfläche, geht dann gerade durch den Mittelpunkt und weiter zum gegenüberliegenden Punkt auf der Kugeloberfläche. Er verbindet also gegenüberliegende Punkte. Er ist genau doppelt so lang wie der Radius.
• Umfang: Der Umfang einer Kugel ist eine Kreislinie. Wenn du auf der Höhe des Mittelpunkts einmal um die Kugel herumfährst, erhältst du den Umfang.
• Pi: Die Kreiszahl Pi (π)$(\pi )$ ist eine Zahl mit unendlich vielen Stellen. Du brauchst sie häufig zum Berechnen von runden Formen - bei Kreisen und Kugeln. Da sie unendlich viele Stellen hat, müssen wir sie runden. Im Unterricht reicht es meist, wenn du mit π≈3,14$\pi \approx 3,14$ rechnest.

Am einfachsten ist es, das Volumen einer Kugel mit dem Radius zu berechnen. Dafür brauchst du diese Formel:

VKugel=43⋅r3⋅π$V_{Kugel}=\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot \pi$

Du siehst, dass du für die Berechnung der Kreiszahl Pi (π)$(\pi )$ und den Radius (r)$(r)$ benötigst.

Beispiel:

Gegeben ist eine Kugel mit dem Radius r=4cm$r=4cm$. Berechne das Volumen der Kugel. 

Schritt-für-Schritt-Anleitung: Kugelvolumen berechnen

Zuerst solltest du immer noch einmal die Formel aufschreiben, damit du sie vor Augen hast:

VKugel=43⋅r3⋅π$V_{Kugel}=\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot \pi$

Dann setzt du die bekannten Werte in die Formel ein. Wir müssen jetzt das "ungefähr"-Zeichen (≈) nutzen, da wir Pi auf 3,14 gerundet haben:

VKugel≈43⋅(4cm)3⋅3,14$V_{Kugel}\approx \frac{4}{3}\cdot (4cm{)}^3\cdot 3,14$

Tipp: Schreibe die Länge und Einheit (4 cm) in Klammern, denn die Potenz „hoch drei“ gilt für beides. 

Jetzt kannst du ausrechnen:

VKugel≈43⋅(4cm)3⋅3,14≈43⋅64cm3⋅3,14≈267,95cm3$V_{Kugel}\approx \frac{4}{3}\cdot (4cm{)}^3\cdot 3,14\approx \frac{4}{3}\cdot 64c{m}^3\cdot 3,14\approx 267,95c{m}^3$

Die Kugel hat ein Volumen von ungefähr 267,95cm3$267,95c{m}^3$.

Profi-Tipp für das Berechnen des Kugelvolumens: In einer Klassenarbeit kannst du dein Ergebnis relativ leicht im Kopf überprüfen. Eine Kugel hat nämlich ungefähr halb so viel an Volumen wie ein Würfel, der als Kantenlänge den Durchmesser der Kugel hat. In unserem Beispiel hat die Kugel einen Radius von 4 cm, also einen Durchmesser von 8 cm. Ein Würfel mit einer Kantenlänge von 8 cm hätte dann ein Volumen von:

VolumenWürfel=8cm⋅8cm⋅8cm=512cm3$Volume{n}_{Würfel}=8cm\cdot 8cm\cdot 8cm=512c{m}^3$

Das ist ungefähr das Doppelte von unserem Ergebnis 267,95cm3$267,95c{m}^3$. Wir haben also richtig gerechnet.

Wenn du das Volumen einer Kugel ausgerechnet hast, ist es ganz leicht, das Volumen der Halbkugel zu ermitteln – du teilst das Ergebnis einfach durch zwei. 

Für unser Beispiel oben sieht das so aus:

VolumenKugel≈267,95cm3$Volume{n}_{Kugel}\approx 267,95c{m}^3$

VolumenKugel≈267,95cm32≈133,98cm3$Volume{n}_{Kugel}\approx \frac{267,95c{m}^3}{2}\approx 133,98c{m}^3$

Du kannst verschiedene Formeln zur Berechnung des Kugelvolumens nutzen, je nachdem, was du gegeben hast. Schauen wir uns dazu auch wieder Beispiele an.

Volumen einer Kugel aus dem Durchmesser berechnen

Du weißt, dass der Durchmesser doppelt so lang ist wie der Radius, also:

d=2r$d=2r$

Daher kannst du das Volumen einer Kugel auch aus dem Durchmesser berechnen. Die Formel für das Volumen der Kugel sieht dann so aus:

VKugel=43⋅r3⋅π$V_{Kugel}=\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot \pi$

VKugel=43⋅(12d)3⋅π$V_{Kugel}=\frac{4}{3}\cdot (\frac{1}{2}d{)}^3\cdot \pi$

Ansonsten funktioniert die Methode zum Berechnen des Kugelvolumens aber genau wie oben. 

Außerdem kannst du die Formel so umstellen, dass du den Durchmesser oder den Radius aus dem Volumen der Kugel berechnen kannst. Wenn du also das Volumen gegeben hast, sieht deine umgestellte Formel so aus:

rKugel=34⋅VKugelπ−−−−−−−√3$r_{Kugel}=\sqrt[3]{\frac{3}{4}\cdot \frac{V_{Kugel}}{\pi }}$

Wenn du den Durchmesser errechnen möchtest, müsstest du das Ergebnis dann noch mal zwei nehmen, da er ja doppelt so lang ist wie der Radius.

Volumen einer Kugel aus dem Umfang berechnen

Erinnerst du dich, wie man den Umfang (U)$(U)$ eines Kreises berechnet? Die Formel dafür lautet:

UKreis=2⋅pi⋅r$U_{Kreis}=2\cdot pi\cdot r$

Wenn du also den Umfang einer Kugel gegeben hast – er entspricht dem Umfang des Kreises auf der Höhe des Mittelpunkts –, dann kannst du daraus den Radius und daraus wiederum das Kugelvolumen berechnen. 

Beispiel:

Eine Kugel hat einen Umfang von 30cm. Wie groß ist das Volumen?

Wir stellen zuerst die Formel für den Umfang nach r$r$ um, damit wir den Radius herausfinden:

U=2⋅π⋅r$U=2\cdot \pi \cdot r$

r=U2⋅π$r=\frac{U}{2\cdot \pi }$

Jetzt setzen wir die Werte für den Umfang und für Pi ein:

r≈30cm2⋅3,14≈4,78cm$r\approx \frac{30cm}{2\cdot 3,14}\approx 4,78cm$

Da wir jetzt den Radius kennen, können wir wie bereits geübt das Volumen der Kugel berechnen:

VKugel=43⋅r3⋅π$V_{Kugel}=\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot \pi$

VKugel≈43⋅(4,78cm)3⋅3,14≈457,25cm3$V_{Kugel}\approx \frac{4}{3}\cdot (4,78cm{)}^3\cdot 3,14\approx 457,25c{m}^3$

Du kannst auch umgekehrt vorgehen: Wenn du das Volumen der Kugel gegeben hast, kannst du daraus den Umfang berechnen. Dazu rechnest du erst den Radius aus und setzt diesen Wert dann in die Formel für den Umfang des Kreises ein. 

Mathe ist manchmal ganz schön theoretisch. Deshalb bekommst du hier ein paar unterhaltsame Beispiele für die Berechnung des Kugelvolumens – und zwar als Textaufgaben, denn diese werden dir in der Schule häufiger begegnen.

Beispiel 1: Party-Luftballons

Aufgabe: 

Für eine Party werden Wasserballons mit Wasser gefüllt. Es sind insgesamt 25 Stück. Sie sind komplett rund und haben einen Durchmesser von jeweils 15 cm. Wie viel Wasser brauchst du, um sie zu füllen?

Hier müssen wir das Volumen der "Kugeln", also Ballons, ausrechnen. Wir kennen den Durchmesser d=15cm$d=15cm$ und wissen daher, dass der Radius r=7,5cm$r=7,5cm$ sein muss.

Wir können daher gleich in die Formel einsetzen:

VKugel=43⋅r3⋅π$V_{Kugel}=\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot \pi$

VKugel≈43⋅(7,5cm)3⋅3,14≈43⋅421,875cm3⋅3,14≈1.766,25cm3$V_{K}ugel\approx \frac{4}{3}\cdot (7,5cm{)}^3\cdot 3,14\approx \frac{4}{3}\cdot 421,875c{m}^3\cdot 3,14\approx 1.766,25c{m}^3$

Das entspricht ungefähr 44,16dm3$44,16d{m}^3$ oder Litern - also ganz schön viel Wasser!

Beispiel 2: Zahngold verstecken

Aufgabe:

Onkel Hatti möchte sein gemahlenes Zahngold in Weihnachtskugeln verstecken, um es vor Dieben zu schützen. Die Kugeln haben einen Radius von 3,5 cm. Er hat 1dm³$1dm³$ Gold. Wie viele Kugeln braucht er, um alles sicher zu verstauen?

Wir berechnen zuerst, wie viel Volumen eine der Weihnachtskugeln hat:

VKugel=43⋅r3⋅π$V_{Kugel}=\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot \pi$

VKugel≈43⋅(3,5cm)3⋅3,14≈43⋅42,875cm3⋅3,14≈179,5cm3$V_{Kugel}\approx \frac{4}{3}\cdot (3,5cm{)}^3\cdot 3,14\approx \frac{4}{3}\cdot 42,875c{m}^3\cdot 3,14\approx 179,5c{m}^3$

Verstecken sollen wir 1dm3$1d{m}^3$ Gold. Das entspricht 1.000cm3$1.000c{m}^3$. Wir müssen also rechnen:

1000cm3179,5cm3≈5,57$\frac{1000c{m}^3}{179,5c{m}^3}\approx 5,57$

Eine halbe Kugel wird Onkel Hatti nicht viel weiterhelfen, daher runden wir unser Ergebnis und stellen fest: Onkel Hatti braucht 6 Kugeln, um sein Gold sicher zu verstecken. 

(Falls du dich fragst, wie schlecht Onkel Hatti mit seinen Zähnen umgegangen sein muss oder was er noch getan hat, um an so viel Zahngold zu kommen – ja, wir auch!)

Du kannst das Volumen einer Kugel mit dieser Formel berechnen:

VKugel=43⋅r3⋅π$V_{Kugel}=\frac{4}{3}\cdot r^3\cdot \pi$

• Dazu brauchst du den Radius und die Kreiszahl Pi. 
• Du kannst die Formel auch umstellen, um aus dem Volumen der Kugel den Radius zu berechnen. 
• Es ist ebenfalls möglich, das Kugelvolumen aus dem Umfang zu berechnen. Dazu musst du die Formel für den Umfang (U=2⋅π⋅r)$(U=2\cdot \pi \cdot r)$ nach r$r$ umstellen und so den Radius berechnen. Danach kannst du wieder die übliche Formel für das Kugelvolumen nutzen.