Mathematik – Klammern auflösen

Du sollst in Mathe Aufgaben mit Klammern lösen? Hier erfährst du, wie du Klammern auflösen kannst. Wir zeigen dir alle wichtigen Regeln mit Beispielen – mit und ohne x in der Gleichung. 

Du kennst bestimmt die Regel „Punkt- vor Strichrechnung“. Das bedeutet, dass du in Gleichungen immer zuerst die Mal- und Geteilt-Rechnungen durchführst (Multiplikation und Division), bevor du plus und minus rechnest (Addition und Subtraktion). 

Aber manchmal ist es wichtig, dass wir doch plus und minus zuerst berechnen. Dann setzen wir Klammern, um das deutlich zu machen.

Beispiel:

\( (12 - 5) \cdot 2 = ? \)

Hier müssen wir zuerst die Klammer ausrechnen, denn Klammern haben immer Vorrang (das ist eine der wichtigen Klammerregeln in Mathe). Wir rechnen also \( 12 – 5 \) zuerst. 

\( (12 - 5) \cdot 2 = 7 \cdot 2 = 14 \)

Schauen wir uns an, was ohne die Klammern passiert wäre:

\( 12 - 5 \cdot 2 = ? \)

Da Punkt- vor Strichrechnung gilt, müssen wir nun zuerst \( 5 \cdot 2 \) ausrechnen:

\( 12 - 5 \cdot 2 = 12 - 10 = 2 \)

Du siehst: Die Klammern in Mathe entscheiden über das Ergebnis. Deshalb sind sie wichtig. Manchmal können oder wollen wir sie jedoch nicht zuerst ausrechnen. Dann ist es nützlich, die Klammern aufzulösen. Genau das schauen wir uns jetzt genauer an, und zwar für verschiedene Fälle:

• Plus vor der Klammer auflösen
  
• Minus vor der Klammer auflösen
  
• Faktor vor der Klammer auflösen
  
• Klammern ausmultiplizieren
  
• Klammern mit Potenzen ausrechnen

Manchmal steht vor einer Klammer ein Summand mit einem Pluszeichen:

\( 3 + (7 + 2) = ? \)

In diesem Fall gilt das Assoziativgesetz. Es besagt, dass du in der Addition und Subtraktion Klammern vertauschen oder sogar ganz weglassen darfst, um zu vereinfachen. Du dürftest also auch schreiben:

\( (3 + 7) + 2 = ? \)

Oder einfach:

\( 3 + 7 + 2 = ? \)

Das Ergebnis ist immer dasselbe, nämlich 12. Du kannst dir vorstellen, dass vor der Klammer mit einem Pluszeichen davor – unsichtbar – der Faktor 1 steht:

\( 3 + (7 + 2) = ? \)

\( 3 + 1 \cdot (7 + 2) = ? \)

Und wenn du die Klammer mit 1 malnimmst, erhältst du ja genau den Inhalt der Klammer – nur eben ohne die Klammern. 

Dabei spielt es übrigens keine Rolle, welche Rechenart in der Klammer steht. Wenn in der Klammer minus gerechnet wird, ändert sich dadurch nichts. Und weil du mal oder geteilt ohnehin zuerst rechnen müsstest (Punkt- vor Strichrechnung!), brauchst du auch in diesem Fall die Klammer nicht:

\( 3 + (7 \cdot 2) = 3 + 7 \cdot 2 \)

Plusklammerregel

Wenn vor der Klammer ein Plus steht, kannst du die Klammern einfach weglassen. 

Plus und minus vor der Klammer sind nicht das Gleiche. Während du bei Plus-Gleichungen mit Klammern die Klammern einfach weglassen kannst, musst du bei einer Minusklammer alle Vorzeichen in der Klammer umdrehen.

Beispiel: 

\( 15 - (7 + 3) = ? \)

Du gehst nun so vor: Lasse die Klammer weg und drehe die Vorzeichen innerhalb der Klammern um. Das sieht dann so aus:

\( 15 - 7 - 3 = 5 \)

Die Regel gilt auch bei Klammern, die mehr Terme enthalten:

\( 15 - (7 + 3 - 2 + 8 - 5) = ? \)

Wir lassen die Klammer weg und drehen alle Vorzeichen in der Klammer um:

\( 15 - 7 - 3 + 2 - 8 + 5 = 4 \)

Der Grund ist, dass du dir auch hier vor der Klammer wieder einen – unsichtbaren – Faktor vorstellen kannst, diesmal aber -1. Du musst also alle Terme in der Klammer mit -1 malnehmen, und dabei ändern sich nicht die Zahlen, wohl aber die Vorzeichen.

Minusklammerregel

Wenn du eine Minusklammer auflösen möchtest – also wenn vor der Klammer ein Minus steht –, dann lässt du die Klammern weg und änderst alle Vorzeichen innerhalb der Klammer.

Schauen wir uns die Klammerrechnung mit Faktoren an. So sieht es aus, wenn vor der Klammer ein Faktor steht:

\( 3(4 + 5) = ? \)

Du kannst dir zwischen dem Faktor (3) und der Klammer einen Malpunkt denken:

\( 3 \cdot (4 + 5) = ? \)

Er wird aber oft nicht geschrieben. Damit ist eigentlich schon klar, was zu tun ist: Du musst nun diesen Faktor mit jedem Term in der Klammer multiplizieren. Du rechnest also in unserem Beispiel \( 3 \cdot 4 plus 3 \cdot 5 \). Das sieht dann so aus:

\( 3 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 = 12 + 15 = 27 \)

Das gleiche Ergebnis bekommst du, wenn du zuerst die Klammer ausrechnest:

\( 3 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 9 = 27 \)

Was du hier anwendest, ist übrigens das Distributivgesetz. Dabei musst du auf das Vorzeichen achten. Wenn der Faktor vor der Klammer ein negatives Vorzeichen hat, musst du auch alle Terme in der Klammer mit diesem negativen Vorzeichen multiplizieren, um die Aufgabe zu lösen: 

\( -3 \cdot (4 + 5) = -3 \cdot 4 + (-3) \cdot 5 = -12 + (-15) = - 27 \)

Klammerregel für einen Faktor vor der Klammer 

Ein Faktor vor der Klammer wird mit jedem Term in der Klammer multipliziert.

Übrigens: Wenn du Klammern mit dem Faktor \( x \) auflösen sollst, funktioniert das ganz genauso. Du multiplizierst ihn einfach mit jedem Term in der Klammer.

Du kannst es auch genau umgekehrt machen und aus einer Summe oder Differenz Faktoren ausklammern. Dazu ziehst du aus jedem Term den gleichen Faktor heraus und schreibst ihn vor die Klammer.

Beispiel:

\( 12 + 14 8 - 6 = ? \)

Da alle diese Zahlen durch 2 teilbar sind, kannst du bequem die Zahl 2 ausklammern. Die Zahlen in der Klammer teilst du dazu alle durch 2:

\( 2 \cdot (6 +74 - 3) = ? \)

Rechne einmal nach! Du wirst sehen, dass das Ergebnis dasselbe ist. 

Wie löst man Klammern auf, wenn es gleich mehrere sind? Das funktioniert ähnlich wie beim Multiplizieren mit einem Faktor vor der Klammer. Du musst aber darauf achten, dass du jeden Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer multiplizierst.

Beispiel:

\( (5 + 3) \cdot (7 - 2) = ? \)

Wir rechnen also:

\( (5 + 5) \cdot (7 - 2) = ? \)

\( 5 \cdot 7 \)

\( 5 \cdot (-2) \)

\( 3 \cdot 7 \)

\( 3 \cdot (-2) \)

So sieht die Lösung der Klammerrechnung aus:

\( (5 + 3) \cdot (7 - 2) = 5 \cdot 7 + 5 \cdot (-2) + 3 \cdot 7 + 3 \cdot (-2) = 35 -10 +21 - 6 = 40 \)

Wie du siehst, musst du hier auch die Vorzeichen immer mitnehmen! 

Und was, wenn du mehr als zwei Klammern multiplizieren sollst? Dann kannst du vereinfachen, indem du zuerst zwei Klammern ausmultiplizierst und um das Ergebnis wieder eine Klammer schreibst. Dann multiplizierst du diese Klammer mit einer der verbleibenden und so weiter – bis du alle Klammern gelöst hast.

Regel zum Ausmultiplizieren von Klammern

Multipliziere jeden Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer.

Manchmal tauchen beim Rechnen mit Klammern sogar mehrere ineinander verschachtelte Klammern auf:

\( [(4 - 2)] \cdot (3 + 5)] \cdot 2 = ? \)

Du hast hier zwei innere (runde) Klammern und eine äußere (eckige) Klammer. Hier gilt die Regel: Die inneren Klammern werden immer zuerst aufgelöst. 

Du nutzt also das Ausmultiplizieren für die beiden inneren Klammern, wie du es gerade gelernt hast, und nimmst am Ende alles mal 2. So sieht die Lösung aus:

\( [(4 - 2) \cdot (3 + 5)] \cdot 2 = ? \)

\( [4 \cdot 3 + 4 \cdot 5 - 2 \cdot 3 - 2 \cdot 5] \cdot 2 = ? \)

\( [12 + 20 - 6 -10] \cdot 2 = ? \)

\( [16] \cdot 2 = 32 \)

Nicht immer werden in Mathe runde und eckige Klammern unterschieden. Wenn du verschachtelte runde Klammern vor dir hast, gehst du für die Lösung genauso vor. Du musst nur immer zuerst die Terme ausmultiplizieren, die in den inneren Klammern stehen. 

Regel, um innere und äußere Klammern auszumultiplizieren

Beginne immer mit den inneren Klammern und löse erst zum Schluss die äußere Klammer auf.

So sieht eine Klammer mit einer Potenz aus:

\( (5 - 3)^2 = ? \)

Eigentlich steht dort nichts anderes als:

\( (5 - 3) \cdot (5 - 3) = ? \)

Daher brauchst du keine weiteren Klammerregeln, um Klammern mit Potenzen aufzulösen. Du kannst einfach ausmultiplizieren, wie du es bereits gelernt hast:

\( (5 - 3) \cdot (5 - 3) = 5 \cdot 5 + 5 \cdot (-3) - 3 \cdot 5 -3 \cdot (-3) \)

\( = 25 - 15 - 15 + 9 \)

\( = 25 - 30 + 9 \)

\( = 4 \)

In diesem Fall wäre es natürlich sehr viel einfacher, einfach zuerst die Klammer selbst auszurechnen und dann das Ergebnis zu potenzieren:

\( (5 - 3)^2 = 2^2 = 4 \)

Du siehst aber, dass du auf beiden Wegen zum gleichen Ergebnis kommst. 

Gerade wenn du Klammern mit \( x \) auflösen sollst, sind in diesem Fall auch die Binomischen Formeln nützlich. 

Beispiel:

\( (5 - x)^2 = ? \)

Jetzt kannst du nicht zuerst die Klammer auflösen. Du kannst aber die zweite Binomische Formel anwenden. Sie lautet:

\( 8a - b)^2 0 a^2 - 2ab + b^2 \)

In unserem Fall ist \( a = 5 \) und \( b = x \). Daher können wir schreiben:

\( (5 - x)^2 = 5^2 - 2 \cdot (5x) + x^2 = 25 - 10x + x^2 \)

Wenn du die Klammern aber wie gewohnt ausmultiplizierst, erhältst du dasselbe Ergebnis. Wähle einfach, welcher Weg dir leichter fällt. 

Plus vor der Klammer auflösen

Klammerregel: Wenn vor der Klammer ein Plus steht, kannst du die Klammern einfach weglassen.
Beispiel: \( 3 + (7 + 2) = 3 + 7 + 2 \)

Minus vor der Klammer auflösen

Klamerregel: Wenn du eine Minusklammer auflösen möchtest - also wenn vor der Klammer ein Minus steht -, dann lässt du die Klammern weg und änderst alle Vorzeichen innerhalb der Klammer.
Beispiel: \( 15 - (7 + 3) = 15 - 7 - 3 \)

Faktor vor der Klammer auflösen

Klamerregel: Ein Faktor vor der Klammer wird mit jedem Term in der Klammer multipliziert.
Beispiel: \( 3 \cdot (4 + 5) = 3 \cdot 4 + 3 \cdot 5 \)

Klammern ausmultiplizieren

Klamerregel: Multipliziere jeden Term der ersten Klammer mit jedem Term der zweiten Klammer.
Beispiel: \( (5 + 3) \cdot (7 - 2) = 5 \cdot 7 + 5 \cdot (-2) + 3 \cdot 7 + 3 \cdot (-2) \)

Innere und äußere Klammer auflösen

Klamerregel: Beginne immer mit den inneren Klammern und köse erst zum Schluss die äußere Klammer auf.
Beispiel:  \( [(4 - 2) \cdot (3 +5)] \cdot 2 = [4 \dot 3 + 4 \cdot 5 - 2 \cdot 3 - 2 \cdot 5] \cdot 2 \)

Klammern mit Potenzen lösen

Klamerregel: Löse die Klammern wie gewohnt auf oder wende die Binomischen Formeln an. Beim Auflösen von Klammern mit \( x \) sind die Binomischen Formen oft sinnvoller.
Beispiel: \( (5 - 3)^2 = (5 - 3) \cdot (5 -3) \)