Mathematik – Distributivgesetz

Das Distributivgesetz gehört zu den wichtigen Rechengesetzen in Mathe. Du brauchst es vor allem, wenn du Klammern auflösen oder setzen möchtest. Hier zeigen wir dir Beispiele und Aufgaben zum Distributivgesetz und erklären dir Schritt für Schritt alle möglichen Fälle.

Die Rechengesetze Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz werden dir in Mathe immer wieder begegnen. Zum ersten Mal lernst du das Distributivgesetz in Klasse 5 oder 6 kennen. Später wirst du mit dem Distributivgesetz Wurzeln ausklammern oder Aufgaben mit Variablen lösen – es ist also sehr wichtig! Auf dieser Seite erklären wir dir das Distributivgesetz ganz ausführlich.

So sieht das Distributivgesetz als Formel aus:

Sieht kompliziert aus? Schauen wir uns gleich ein Beispiel zum Distributivgesetz an, dann wird es klarer:

Rechnen wir das einmal aus:

Die Definition des Distributivgesetzes in Worten ist:

Tipp: Das Distributivgesetz heißt auch Verteilungsgesetz. Damit kannst du dir merken, wie du es anwendest: Du verteilst sozusagen die Multiplikation vor der Klammer gleichmäßig über die beiden Summanden in der Klammer.

Du kannst also mit dem Distributivgesetz Klammern auflösen – oder auch Zahlen ausklammern. Beides zeigen wir dir jetzt. Im Folgenden findest du viele Übungen mit Lösungen zum Distributivgesetz.

In der Grundschule wendest du das Distributivgesetz zum Ausmultiplizieren an. Hier noch einmal ein Beispiel dazu:

Hier hast du zwei Möglichkeiten, das Ergebnis zu berechnen.

1. Du wendest das Distributivgesetz an:
   6⋅(3+5)=6⋅3+6⋅5=18+30=48$$6\cdot (3+5)=6\cdot 3+6\cdot 5=18+30=48$$
2. Du rechnest zuerst die Klammer aus:
   6⋅(3+5)=6⋅8=48$$6\cdot (3+5)=6\cdot 8=48$$

Mit beiden Wegen kommst du zum richtigen Ergebnis.

Distributivgesetz anschaulich erklärt

Unser Beispiel oben kannst du dir im echten Lebens so vorstellen: Du hast 48 Sammelkarten und möchtest diese gleichmäßig an deine 6 Freunde verteilen.

Jetzt hast du zwei Möglichkeiten:

1. Du kannst heute jedem deiner 6 Freunde 3 Karten schenken und morgen dann noch einmal 5. Dann hast du insgesamt
   6⋅3+6⋅5=48$$6\cdot 3+6\cdot 5=48$$
    Karten verschenkt.
2. Du kannst auch sofort heute die Karten von heute und morgen auf einmal verschenken, also
   6⋅(3+5)=48$$6\cdot (3+5)=48$$
   .
   Das Distributivgesetz hilft dir, Mengen zu verteilen – daher der Name Verteilungsgesetz.

Du kannst auch Aufgaben mit dem Distributivgesetz lösen, wenn in der Klammer nicht eine Summe, sondern eine Differenz steht.

Beispiel: Distributivgesetz mit minus in der Klammer

Du siehst: Das Vorgehen ist dasselbe. Das Distributivgesetz gilt bei Addition und Subtraktion (in der Klammer).

Du darfst das Distributivgesetz auch anwenden, wenn der Faktor nicht vor, sondern hinter der Klammer steht (wenn die Klammer also zuerst kommt):

Das ist erlaubt, weil die Zahl vor der Klammer und die Klammer selbst zwei Faktoren eines Produkts sind – und die Faktoren eines Produkts darfst du vertauschen. Es ist also egal, welcher Faktor zuerst kommt.

Vor der Klammer oder in der Klammer können negative Zahlen vorkommen. Das Distributivgesetz funktioniert trotzdem. Du musst nur darauf achten, die Vorzeichen beim Rechnen immer mitzunehmen.

Es kann auch vorkommen, dass vor der Klammer nur ein Minus (ohne Zahl) steht. Dann kannst du dir denken, dass davor eine unsichtbare –1 steht, mit der du die Klammer multiplizierst – du musst dann alle Vorzeichen tauschen.

So wendest du das Distributivgesetz mit minus vor der Klammer an:

Was passiert, wenn in deinen Übungen zum Distributivgesetz Brüche vorkommen? Gar nichts – du musst dann nur mit einem Bruch (anstatt mit einer ganzen Zahl) malnehmen.

So sieht das aus:

Du gehst also genauso vor, wie du es schon gelernt hast.

Bisher haben wir dir für die Multiplikation das Distributivgesetz erklärt. Du kannst das Distributivgesetz aber auch für Division anwenden.

Du verteilst also die Division genauso, wie du es vorher mit der Multiplikation gemacht hast:

Aber Vorsicht: Hier musst du aufpassen! Du darfst das Distributivgesetz für Aufgaben mit Division nur anwenden, wenn der Divisor (die Zahl, durch die du teilst) hinter der Klammer steht. Das ist anders als bei der Multiplikation, wo du die Faktoren vertauschen darfst. In der Division gilt das nicht!

Übrigens: Wie bei der Multiplikation darfst du das Distributivgesetz auch in Übungen mit Differenzen in der Klammer oder mit negativen Zahlen anwenden.

Die Beispiele zum Distributivgesetz, die wir bisher angesehen haben, scheinen dir vielleicht nicht so sinnvoll. Immerhin ist es in den meisten Fällen leichter, einfach die Klammer zuerst auszurechnen, anstatt komplizierte Rechengesetze wie das Distributivgesetz anzuwenden.

Das hast du recht! Später wirst du in der Schule das Distributivgesetz mit Variablen anwenden. Da gibt es dann Übungen, in denen du die Klammer eben nicht einfach ausrechnen kannst und für die solche Rechengesetze dann sehr nützlich sind.

Aber schon jetzt gibt es ein paar Fälle, in denen das Distributivgesetz auch mit Zahlen hilfreich ist.

Beispiel:

Wenn du das im Kopf rechnen möchtest, hilft dir das Distributivgesetz. Damit kannst du nämlich aus einem der Faktoren eine Summe bilden – zwei Summanden, die du leichter mit dem anderen Faktor malnehmen kannst.

Etwa so:

Jetzt kannst du das Distributivgesetz anwenden und leichter im Kopf rechnen:

Cool, oder?

Auch zum Ausklammern brauchst du das Distributivgesetz in Mathe. Du wendest es dabei sozusagen umgekehrt an:

Das ist besonders dann nützlich, wenn du in der Klammer eine Summe bilden kannst, mit der du leichter rechnen kannst.

Beispiel:

Das ist nicht so leicht im Kopf zu rechnen, oder? Aber schau dir an, was passiert, wenn wir mit dem Distributivgesetz ausklammern:

Das war einfacher, oder?

Später wirst du in Mathematik mit dem Distributivgesetz Wurzeln, Variablen und andere schwierigere Terme ausklammern und dadurch Rechnungen vereinfachen. Merke es dir deshalb schon jetzt gut!

• Wie das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz ist das Distributivgesetz in Mathematik ein wichtiges Rechengesetz.
• Du kannst mit dem Distributivgesetz ausklammern und Klammern auflösen.
• Du kannst das Distributivgesetz immer dann anwenden, wenn du einen Faktor mit einer Summe (oder Differenz) in Klammern multiplizieren sollst.
• So sieht die Formel für das Distributivgesetz aus:
  a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c$$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$
• Das Distributivgesetz gilt auch für Division, aber nur dann, wenn der Divisor hinter der Klammer steht.
  

Tipp: Unten findest du Arbeitsblätter zum Distributivgesetz.