Mathematik – Ausmultiplizieren und ausklammern

Um Gleichungen in Mathe zu vereinfachen, wendest du das Ausmultiplizieren oder das Ausklammern an. Wir zeigen dir, welche Regeln du beim Ausmultiplizieren und Ausklammern kennen musst – und außerdem findest du hier viele Beispiele zum Üben.

Vielleicht fragst du dich, ob das Ausmultiplizieren und das Ausklammern das Gleiche ist? Und wenn nicht, was ist der Unterschied?

Das Ausmultiplizieren und das Ausklammern haben miteinander zu tun, sind aber nicht gleich. Es handelt sich hierbei um zwei Anwendungen des Distributivgesetzes:

• Dieses „Verteilungsgesetz“ beschreibt, wie im Bereich der ganzen Zahlen (1,2,3,4....) Rechenoperationen verteilt werden können.
• So ist es beispielsweise möglich, eine Zahl anstatt mit einer Summe, auch mit den einzelnen Summanden zu multiplizieren oder eine Zahl anstatt mit einer Differenz, mit dem Minuenden und dem Subtrahenden zu multiplizieren.

Beispiel:

Statt 2⋅(3+4)$2\cdot (3+4)$

kannst du auch

2⋅3+2⋅4$2\cdot 3+2\cdot 4$ schreiben.

Denn:

2⋅3=6$2\cdot 3=6$ und

2⋅4=8$2\cdot 4=8$ sind zusammen:

6+8=14$6+8=14$.

Oder: 

Statt

4⋅(6−2)$4\cdot (6-2)$

kannst du auch

4⋅6−4⋅2$4\cdot 6-4\cdot 2$ schreiben.

Mit dieser Umformung erhältst du ganz einfach das Ergebnis:

4⋅6=24$4\cdot 6=24$ und

4⋅2=8$4\cdot 2=8$ sind zusammen:

24−8=16$24-8=16$.

In diesem Beispiel ist es natürlich einfacher, zuerst die Klammer auszurechnen. Beim Rechnen mit Variablen brauchst du das Distributivgesetz aber dringend. So kannst du über das Ausmultiplizieren und Ausklammern deine Rechnung vereinfachen. Und zwar so:

• Mit dem Ausmultiplizieren löst du in deinem Term eine Klammer auf (wie oben in den Beispielen).
• Mit dem Ausklammern setzt du eine Klammer, indem du einen Faktor, der mehrfach vorkommt, abtrennst. Du machst das Ausmultiplizieren rückgängig.

Diese Erklärung zum Ausmultiplizieren und Ausklammern reicht dir sicher noch nicht aus. Deshalb zeigen wir dir jetzt das Ausklammern und Ausmultiplizieren in Mathe an Beispielen.

Tipp: Wenn du noch mehr Beispiele sehen möchtest, sieh dir unsere Seiten zum Ausklammern und Ausmultiplizieren in Ruhe an. Dort zeigen wir dir das Ausmultiplizieren und auch das Ausklammern von Termen mithilfe vieler Übungen.

Beim Ausmultiplizieren wird ein Produkt in eine Summe oder Differenz umgewandelt. Dazu multiplizierst du den Faktor vor der Klammer (eine Zahl oder eine Variable) jeweils mit den einzelnen Termgliedern (in der Klammer) und addierst oder subtrahierst dann die einzelnen Ergebnisse miteinander (je nach Rechenzeichen).

Beispiele mit einer Zahl als Faktor:

Hier kannst du gut erkennen, dass du die Klammer nicht zuerst ausrechnen kannst. Daher brauchst du hier das Ausmultiplizieren.

Beispiele mit einer Variablen als Faktor:

Hier wäre es möglich, die Klammer zuerst auszurechnen. Wir zeigen dir das Beispiel aber trotzdem, damit du das Vorgehen verstehst.

Du kannst auch ganze Terme mit einer Klammer multiplizieren. Dies geht genauso einfach wie beim Ausmultiplizieren mit Faktoren, die nur aus einer Zahl oder einer Variablen bestehen: Du multiplizierst den Term vor der Klammer jeweils mit den Termgliedern der Klammer und addierst oder subtrahierst anschließend die einzelnen Ergebnisse:

Beispiel 1 (leicht):

Beispiel 2 (schwieriger): 

Das Ausmultiplizieren von ganzen Klammern funktioniert genauso wie das Ausmultiplizieren von Faktoren oder Termen. Du multiplizierst dafür alle Terme der Klammern jeweils miteinander. Pass dabei gut auf, dass du keinen Term und keine Kombination übersiehst! Die Größe der Klammern spielt dabei keine Rolle. Arbeite dich Stück für Stück durch.

Gehe nach folgendem Muster vor:

Beachte die richtigen Vorzeichen:

 Beispiel: 

Wenn du ausklammerst, wandelst du zur Vereinfachung eine Summe oder eine Differenz in ein Produkt um. Das Ausklammern wird auch als „Faktorisieren“ bezeichnet, weil gemeinsame Faktoren der Termglieder einer Summe oder Differenz vor die Klammer gesetzt werden.

Du kannst beim Ausklammern

• Zahlen ausklammern,
• Variablen ausklammern,
• ganze Terme ausklammern und
• Klammern ausklammern.
  

Schauen wir uns zuerst das Ausklammern von Zahlen an einem Beispiel genauer an.

Beispiel:

Du stellst fest: Alle Termglieder sind durch 5 teilbar! Deshalb kannst du 5 ausklammern: 

Wenn in allen Termgliedern eines Terms die gleiche Variable (wie zum Beispiel ein oder ein) vorkommen, kannst du diese einfach ausklammern. Setze dafür den Term, der nach Ausschluss der Variablen noch übrigbleibt, in eine Klammer und ziehe die Variable vor die Klammer. Um das mathematisch richtigzumachen, teilst du die Termglieder jeweils durch die Variable:

Beispiel:

Hier sind alle Termglieder durch x teilbar! Daher kannst du schreiben: 

Hier hättest du natürlich auch direkt ausrechnen können. Wir zeigen dir aber das Beispiel, damit du das Vorgehen genau verstehst.

Auch ganze Terme kannst du ausklammern, wenn in allen Termgliedern diese ganzen Terme vollständig vorhanden sind. Manchmal verstecken sie sich in den Termen selbst. Schau dir das Ausklammern von Termen an den folgenden Beispielen genau an:

Beispiel 1 (leicht):

Alle Termglieder sind durch 4a teilbar. 

Beispiel 2 (schwieriger):

Alle Termglieder sind durch 3x^2 teilbar.

Manchmal kannst du deine Terme auch vereinfachen, indem du ganze Klammern ausklammerst und damit den Term als Produkt schreibst. Hierbei gehst du genauso vor wie beim Ausklammern von Zahlen, Variablen und Termen.

Das geht so:

Beide Termglieder sind durch (4 - x) teilbar!

• Das Ausmultiplizieren und das Ausklammern helfen dir, Terme zu vereinfachen und Gleichungen besser lösen zu können.
• Ausmultiplizieren bedeutet, ein Produkt in eine Summe oder eine Differenz umzuwandeln. Dazu wird der Faktor vor der Klammer mit allen Termgliedern in der Klammer multipliziert.
• Beim Ausklammern formst du eine Summe oder eine Differenz in ein Produkt um, indem du den gemeinsamen Faktor aller Terme vor die Klammer setzt.
• Beim Ausmultiplizieren und Ausklammern musst du auf die richtigen Vorzeichen achten: Plus mal plus ergibt plus. Minus mal minus ergibt plus. Und plus mal minus ergibt minus.
• Du kannst Zahlen, Variablen, Terme und Klammern ausmultiplizieren. Weil das Ausklammern ein Rückgängigmachen des Ausmultiplizierens ist, kannst du ebenso Zahlen, Variablen, Terme und Klammern ausklammern.