Mathematik – Potenzgesetze

Potenzen sehen auf den ersten Blick verwirrend aus. Dabei sind Potenzen nur einfache Multiplikationen – und die kennst du ja schon. Wir erklären dir die Potenzgesetze mit Beispielen und machen sie für dich greifbar.  

Die einfache Erklärung: Eine Potenz in der Mathematik ist eigentlich nichts anderes als eine Abkürzung, mit der wir ein großes Produkt leichter darstellen können. Das Besondere ist, dass in diesem Produkt immer dieselbe Zahl multipliziert wird. 

Dazu gleich ein Beispiel: 

Du sollst die Zahl 5 fünfmal malnehmen. Du kannst natürlich schreiben:

5⋅5⋅5⋅5⋅5$5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5$

Aber was ist, wenn du die 5 nicht nur fünfmal, sondern zwanzig- oder hundertmal multiplizieren sollst? Dafür gibt es die Potenzen. Du kannst dann schreiben:

520$5^{20}$ oder 5100$5^{100}$

Sehr häufig ist auch eine Variable (zum Beispiel x) die Basis:

x3$x^3$

Du kannst mit Potenzen rechnen, wie du es von anderen Aufgaben in Mathe gewohnt bist: Du kannst Potenzen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Dafür gibt es bestimmte Regeln, insbesondere für die Multiplikation und die Division. Diese Regeln heißen Potenzgesetze und es gibt fünf Stück davon. 

Merke:

Es gibt keine gesonderten Potenzgesetze für die Addition und Subtraktion. Das liegt daran, dass du Potenzen nur dann subtrahieren oder addieren darfst, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

• Die Basen der Potenzen müssen gleich sein.
  
• Die Exponenten müssen ebenfalls gleich sein.
  

Dann darfst du Potenzen addieren oder subtrahieren, indem du ihre Koeffizienten addierst bzw. subtrahierst. Koeffizienten sind die Zahlen, die vor der Basis (hier die Variable x) stehen.

Beispiel:

2x3+5x3=?$2x^3+5x^3=?$

In diesem Fall darfst du die Koeffizienten zusammenzählen (oder bei der Subtraktion voneinander abziehen) – aber nur, weil die gleichen Basen und die gleichen Exponenten auftauchen:

2x3+5x3=7x3$2x^3+5x^3=7x^3$

In allen anderen Fällen lässt du die Gleichung so stehen, wie sie ist. Du kannst diese Potenzen nicht vereinfachen.

Multiplizieren und dividieren kannst du Potenzen auch, wenn Basis und Exponent nicht übereinstimmen. Hier werden die Potenzgesetze unterteilt in

• Potenzgesetze bei gleicher Basis und
  
• Potenzgesetze bei gleichem Exponenten.

Es gibt fünf wichtige Potenzgesetze:

• zwei Potenzgesetze für Potenzen mit gleicher Basis
  
• zwei Potenzgesetze für Potenzen mit gleichem Exponenten
  
• ein Potenzgesetz für das Potenzieren von Potenzen
  

Hier zeigen wir dir alle Potenzgesetze einfach erklärt. Außerdem gibt es einige besondere Exponenten, für die du zusätzliches Wissen brauchst. Wie immer findest du auch dazu anschauliche Beispiele. 

Für alle Aufgaben und Beispiele nutzen wir ab hierfür die Basis die Buchstaben a$a$ und b$b$. Für die Exponenten nutzen wir die Buchstaben m$m$ und n$n$. Alle Buchstaben stehen für Zahlen, die uns aber nicht bekannt sind – daher die Variablen.

Potenzgesetze: gleiche Basis (1. und 2. Potenzgesetz)

Möchtest du Potenzen multiplizieren und sie haben die gleiche Basis, dann gilt folgendes Potenzgesetz:

1. Potenzgesetz: Multipliaktion bei gleicher Basis

am⋅an=am+n$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Was bedeutet das? Wir schauen uns ein Beispiel mit konkreten Zahlen an, um das besser zu verstehen:

53⋅54=(5⋅5⋅5)⋅(5⋅5⋅5⋅5⋅5)=57$5^3\cdot 5^4=(5\cdot 5\cdot 5)\cdot (5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5)=5^7$

Du siehst: Die 5 wird siebenmal multipliziert und so ergibt sich die Potenz 57$5^7$ (oder: 53+4$5^{3+4}$)

Analog funktioniert auch das 2. Potenzgesetz für die Division von Potenzen:

2. Potenzgesetz: Division bei gleicher Basis

aman=am−n$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Auch hier gilt: Mit diesem Gesetz darfst du Potenzen dividieren, wenn die Basen die gleichen sind.

Beispiel: 

5652=5⋅5⋅5⋅5⋅5⋅55⋅5=5⋅5⋅5⋅5=625=54=56−2$\frac{5^6}{5^2}=\frac{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}{5\cdot 5}=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625=5^4=5^{6-2}$

Potenzgesetze: gleicher Exponent (3. und 4. Potenzgesetz)

Die Anwendung der Potenzgesetze 3 und 4 bezieht sich auf Potenzen mit ungleicher Basis, die dafür aber gleiche Exponenten haben. So funktioniert die Multiplikation bei gleichem Exponenten:

3. Potenzgesetz: Multiplikation gleicher Exponent

am⋅bm=(a⋅b)m$a^m\cdot b^m=(a\cdot b{)}^m$

Schauen wir uns auch zu diesem Potenzgesetz ein Beispiel an:

43⋅23=?$4^3\cdot 2^3=?$

Du kannst die Potenzen zunächst ausschreiben:

43⋅23=(4⋅4⋅4)⋅(2⋅2)=(4⋅2)⋅(4⋅2)⋅(4⋅2)=(4⋅2)3$4^3\cdot 2^3=(4\cdot 4\cdot 4)\cdot (2\cdot 2)=(4\cdot 2)\cdot (4\cdot 2)\cdot (4\cdot 2)=(4\cdot 2{)}^3$

Genau das sagt das Potenzgesetz zur Multiplikation von Potenzen bei gleichem Exponenten aus.

Und so dividiert man Potenzen mit gleichen Exponenten:

4. Potenzgesetz: Division gleicher Exponent

ambm=(ab)m$\frac{a^m}{b^m}=(\frac{a}{b}{)}^m$

Übrigens: Wie du Brüche mit Potenzen behandelst, erfährst du ebenfalls weiter unten.

Merksatz für die Potenzgesetze zur Multiplikation und Division bei gleichen Basen oder gleichen Exponenten:

„Gleiches bleibt gleich. Den Rest rechnen wir aus.“

Potenzgesetze: Potenzen potenzieren (5. Potenzgesetz)

Potenzen können auch selbst potenziert werden. Du hast dann sozusagen zwei Exponenten hintereinander. Dafür gilt dieses Potenzgesetz: 

5. Potenzgesetz: Potenzieren von Potenzen

(am)n=am⋅n$(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$

Natürlich haben wir auch zu diesem Potenzgesetz ein Beispiel: 

(22)3=?$(2^2{)}^3=?$

Wir lösen die Potenzen auf, um das besser zu verstehen:

(22)3=(2⋅2)3=(2⋅2)⋅(2⋅2)⋅(2⋅2)=26$(2^2{)}^3=(2\cdot 2{)}^3=(2\cdot 2)\cdot (2\cdot 2)\cdot (2\cdot 2)=2^6$

Einfach ausgedrückt: Wir behalten in diesem Fall die Basis und multiplizieren die Exponenten miteinander.

1. Potenzgesetz: Multiplikation bei gleicher Basis

am⋅an=am+n$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

2. Potenzgesetz: Division bei gleicher Basis

aman=am−n$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

3. Potenzgesetz: Multiplikation gleicher Exponent

am⋅bm=(a⋅b)m$a^m\cdot b^m=(a\cdot b{)}^m$

4. Potenzgesetz: Division gleicher Exponent

ambm=(ab)m$\frac{a^m}{b^m}=(\frac{a}{b}{)}^m$

5. Potenzgesetz: Potenzieren von Potenzen

(am)n=am⋅n$(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$

Wie bereits erwähnt gibt es ein paar Sonderfälle, für die du besondere Potenzregeln brauchst. Diese zeigen wir dir hier. 

Exponenten 0 und 1

Wenn der Exponent 0 ist, lautet das Ergebnis immer 1. Beispiele:

50=1270=1$5^0={127}^0=1$

Wenn der Exponent 1 ist, ist das Ergebnis gleich der Basis. Beispiele:

51=5271=27$5^1={527}^1=27$

Negative Potenzen: negative Basis

Wenn die Basis negativ ist, ist es sehr wichtig, dass du genau hinsiehst, wo das Vorzeichen steht – innerhalb oder außerhalb der Klammer? 

Hier siehst du, warum der Unterschied so wichtig ist: 

−64=−(6⋅6⋅6⋅6)=−(216)=−1296$-6^4=-(6\cdot 6\cdot 6\cdot 6)=-(216)=-1296$

Aber:

(−6)4=(−6)⋅(−6)⋅(−6)⋅(−6)=+1296$(-6{)}^4=(-6)\cdot (-6)\cdot (-6)\cdot (-6)=+1296$

Denn: Minus mal Minus ist gleich plus.

Negative Potenzen: negativer Exponent

Wenn der Exponent eine negative Zahl ist, kannst du den Kehrwert bilden, um leichter damit zu rechnen. So sieht die Formel dafür aus:

a−m=1am$a^{-m}=\frac{1}{a^m}$

Beispiel:

5−3=153$5^{-3}=\frac{1}{5^3}$

Das kannst du dann leicht ausrechnen: 

5−3=153=1125$5^{-3}=\frac{1}{5^3}=\frac{1}{125}$

Exponent als Bruch

Wenn der Exponent ein Bruch ist, musst du die Wurzel ziehen. So lautet die allgemeine Formel:

amn= nam−−−√$a^{\frac{m}{n}}={}^n\sqrt{a^m}$

Beispiel:

823= 382−−√= 36–√4=4$8^{\frac{2}{3}}={}^3\sqrt{8^2}={}^3\sqrt{6}4=4$

Potenzen mit der e-Funktion

Es gibt keine speziellen Potenzgesetze für die e-Funktion, denn die Zahl e ist nur eine Zahl – wenn auch eine unendliche lange, die du runden kannst, zum Beispiel auf 2,71828. Somit behandelst du die Zahl e wie jede andere Basis auch. 

• Mit Potenzen kannst du rechnen. Dafür gibt es spezielle Regeln, die Potenzgesetze heißen. 
  
• Grundsätzlich kannst du Potenzen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. 
  
• Potenzen können nur addiert oder subtrahiert werden, wenn die Basen und die Exponenten der Potenzen gleich sind. Sind sie ungleich, ist laut den Potenzgesetzen die Subtraktion oder Addition nicht möglich und die Gleichung kann nicht weiter vereinfacht werden.
  
• Potenzen zu multiplizieren oder zu dividieren ist möglich, wenn entweder die Basen oder die Exponenten gleich sind.
  
• Darüber hinaus gibt es Sonderfälle. Hier greifen besondere Potenzgesetze für Wurzeln, Brüche, negative Zahlen etc. 

Was ist eine Potenzfunktion einfach erklärt?

Eine Potenz ist ein Produkt, bei der eine Zahl mehrfach multipliziert wird. Der Exponent gibt an, wie oft multipliziert wird, und die Zahl, die multipliziert wird, heißt Basis. 

Wie rechnet man mit Potenzen?

Du kannst Potenzen unter bestimmten Umständen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Dafür gelten bestimmte Regeln, die Potenzgesetze heißen. 

Wie lauten die fünf Potenzgesetze?

1. Multiplikation bei gleicher Basis: Die Exponenten werden addiert.
   
2. Division bei gleicher Basis: Die Exponenten werden subtrahiert.
   
3. Multiplikation bei gleichem Exponenten: Die Basen werden multipliziert. 
   
4. Division bei gleichem Exponenten: Die Basen werden dividiert.
   
5. Potenzieren von Potenzen: Die Exponenten werden multipliziert.