Mathematik – Flächeninhalt Quadrat

Ein Quadrat ist eine besondere geometrische Figur. Das Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleichlangen Seiten, vier Ecken und vier gleich großen Innenwinkeln von \( 90^\circ \). Solche Winkel heißen rechte Winkel. Die gegenüberliegenden Seiten stehen parallel zueinander. 

Der Flächeninhalt eines Quadrats ist die Fläche, die die vier Seiten einschließt. Du findest den Flächeninhalt (\(A\)) eines Quadrats, indem du zwei Seiten \(a\) miteinander multiplizierst (malnimmst):

\(A = a \cdot a \)

Da im Quadrat alle Seiten gleich lang sind, kannst du jede Seite dafür nutzen.

Schau dir nun ein paar Berechnungen zum Flächeninhalt eines Quadrats an.

Um den Flächeninhalt von einem Quadrat zu berechnen, benötigst du nur die Seitenlänge \( a \) deines Quadrats.

Hast du zum Beispiel ein Quadrat mit der Seitenlänge \( a = 3 \, \text{cm} \) gegeben, dann rechnest du mit folgender Formel den Flächeninhalt des Quadrats aus:

\( A = a \cdot a \)

\( A = 3 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} \)

\( A = (3 \cdot 3) (\text{cm} \cdot \text{cm}) \)

\( A = 9 \, \text{cm}^2 \)

Wie du sehen kannst, multiplizierst du zum einen die Zahlenwerte miteinander (\( 3 \cdot 3 \)) und ebenso die Längeneinheiten (\( \text{cm} \)), aus denen dann eine Quadrateinheit (zum Beispiel \( \text{cm}^2 \), Quadratzentimeter) wird. Das ist die Einheit für den Flächeninhalt.

\( A = a \cdot a = a^{2} \)

\( A = (3 \, \text{cm})^{2} \)

\( A = 9 \, \text{cm}^{2} \)

Dein Flächeninhalt vom Quadrat beträgt hier \( 9 \, \text{cm}^{2} \).

Schauen wir uns noch ein weiteres Beispiel an:

Wenn du die Flächen (\( A \)) eines Quadrats mit einer Seitenlänge von \( a = 7,4 \, \text{mm} \) berechnen willst, dann rechnest du:

\( A = a \cdot a \)

\( A = 7,4 \, \text{mm} \cdot 7,4 \, \text{mm} \)

\( A = (7,4 \cdot 7,4) (\text{mm} \cdot \text{mm}) \)

\( A = 54,76 \, \text{mm}^{2} \)

Oder du rechnest:

\( A = a^{2} \)

\( A = (7,4 \, \text{mm})^{2} \)

\( A = 54,76 \, \text{mm}^{2} \)

Nicht immer ist in deiner Aufgabenstellung die Seitenlänge \( a \) deines Quadrats vorgegeben. Dann hast du wahrscheinlich andere Angaben zum Quadrat, die dir helfen, die Seitenlänge für deine Flächenberechnung herauszufinden. So einen Fall schauen wir uns jetzt gemeinsam an.

In manchen Matheaufgaben hast du nicht die Seitenlänge \( a \) des Quadrats, sondern den Umfang \( U \) gegeben und sollst den Flächeninhalt deines Quadrates bestimmen. Dann brauchst du dafür noch eine Zwischenrechnung.

Der Umfang \( U \) in einem Quadrat ist die Strecke, die alle vier Seiten zusammen bilden:

\( U = a + a + a + a \)

\( U = 4 \cdot a \)

Hast du nun den Umfang von deinem Quadrat gegeben und du willst die Seitenlänge \( a \) herausfinden, dann teilst du einfach deine Angabe zum Umfang durch vier:

\( a = U : 4 \)

Mal angenommen, du hast einen Umfang gegeben von \( U = 16 \, \text{cm} \), dann rechnest du die Seitenlänge a in einer Zwischenrechnung so aus:

\( a = 16 \, \text{cm} : 4 \)

\( a = 4 \, \text{cm} \)

Nun kannst du, wie du es gelernt hast, deine Seitenlänge \( a = 4 \, \text{cm} \) in die Formel für den Flächeninhalt eines Quadrates einsetzen und berechnest den Flächeninhalt (\( A \)) wie folgt:

\( A = a \cdot a \)

\( A = 4 \, \text{cm} \cdot 4 \, \text{cm} \)

\( A = (4 \cdot 4) (\text{cm} \cdot \text{cm}) \)

\( A = 16 \, \text{cm}^2 \)

Der Flächeninhalt (\( A \)) in deiner Aufgabe beträgt \(16 \, \text{cm}^2 \).

• Ein Quadrat ist ein Rechteck mit vier gleichlangen Seiten und vier rechten Winkeln (\(90^\circ\)).
• Der Flächeninhalt in einem Quadrat ist die Fläche, die die vier gleich langen Seiten des Quadrats einschließen.
• Du ermittelst den Flächeninhalt eines Quadrats, indem du die Seitenlänge \(a\) mit sich selbst multiplizierst (sie quadrierst): \(A = a \cdot a = a^2\).
• Der Flächeninhalt des Quadrats wird in Quadrateinheiten (\( \text{mm}^2, \text{cm}^2, \text{m}^2 \)) angegeben.
  Wenn anstatt der Seitenlänge (\(a\)) der Umfang (\(U\)) für die Berechnung der Fläche im Quadrat gegeben ist, ermittelst du die benötigte Seitenlänge über die Formel: \(a = U : 4 \).