Mathematik – Flächeninhalt

Du musst unterscheiden zwischen dem Flächeninhalt und dem Volumen. 

Den Flächeninhalt kannst du nur berechnen, wenn du eine Fläche vor dir hast. Eine Fläche hat zwei Dimensionen, eine Länge und eine Breite. Sie geht also niemals in die Höhe. Mathematische Figuren mit Flächen sind zum Beispiel Quadrate, Rechtecke oder Kreise. 

Geometrische Körper haben hingegen drei Dimensionen, eine Länge, eine Breite und eine Höhe. Sie haben zwar Flächen (die wieder nur zweidimensional sind), aber du kannst nicht den Flächeninhalt eines Körpers berechnen – höchstens seine Oberfläche. Bei geometrischen Körpern berechnest du aber häufig das Volumen.

Es gibt für den Flächeninhalt Formeln – jede mathematische Figur hat eine eigene Formel. Fast immer musst du dabei eine Länge mit einer Breite malnehmen.

Dann brauchst du aber oft noch weitere Rechenschritte, musst zum Beispiel das Ergebnis durch zwei teilen.

Für runde Formen brauchst du ganz andere Formeln, um den Flächeninhalt zu berechnen.

Hier bekommst du eine Übersicht mit allen Formeln zum Flächeninhalt.

Danach erklären wir dir die Berechnung Schritt für Schritt:

Beim Quadrat sind alle Seiten gleich lang. Deshalb brauchst du nicht zwischen Länge und Breite zu unterscheiden.

So sieht ein Quadrat aus:

Du siehst, dass alle Seiten a heißen. Wie berechnet man also den Flächeninhalt eines Quadrats? Dafür brauchst du diese Formel:

A=a⋅a$A=a\cdot a$

Rechenbeispiel: 

Ein Quadrat hat eine Seitenlänge von a = 5 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt?

Rechnung: 

A=a⋅a$A=a\cdot a$

A=5cm⋅5cm$A=5cm\cdot 5cm$

A=25cm2$A=25c{m}^2$

Beim Rechteck sind nicht alle Seiten gleich lang, daher rechnest du mit unterschiedlicher Länge und Breite. So sieht ein Rechteck aus:

Hier heißen die Seiten a und b.

Und so lautet die Formel:

A=a⋅b$A=a\cdot b$ 

Rechenbeispiel:

Ein Rechteck hat eine Seitenlänge von a= 6 cm und b= 8 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt?

Rechnung:

A=6cm⋅8cm$A=6cm\cdot 8cm$ 

A=48cm2$A=48c{m}^2$

Wenn es um den Flächeninhalt von Dreiecken geht, musst du ein wenig aufpassen, denn es gibt unterschiedliche Dreiecksarten. Wir zeigen dir hier zuerst, wie du den Flächeninhalt eines allgemeinen Dreiecks berechnen kannst.

Diese Formel gilt auch für alle anderen Dreiecke, nur hast du bei diesen noch weitere Möglichkeiten. 

So sieht ein allgemeines Dreieck aus:

Beim Kreis musst du den Flächeninhalt anders berechnen, denn er hat ja nicht mehrere Seiten wie Quadrate, Rechtecke oder Dreiecke.

Statt einer Seitenlänge brauchst du den Radius r. Er gibt dir an, wie lang die Strecke von einem Punkt auf der Kreislinie bis zum Mittelpunkt des Kreises ist.

Außerdem brauchst du die Kreiszahl π (gesprochen: Pi). Das ist eine konstante Zahl mit sehr vielen Stellen. Zum Rechnen runden wir sie auf 3,14.

Jetzt kannst du den Flächeninhalt berechnen:

A=π⋅r2$A=\pi \cdot r2$

Rechenbeispiel:

Ein Kreis hat einen Radius von r= 4,5cm. Wie groß ist der Flächeninhalt?

Rechnung:

AKreis=π⋅r2≈3,14⋅(4,5cm)2≈63,59cm2$A_{Kreis}=\pi \cdot r^2\approx 3,14\cdot (4,5cm{)}^2\approx 63,59c{m}^2$

Ein Kreis ist die Grundfläche eines Zylinders. Daher brauchst du diese Berechnung des Flächeninhalts, um beim Zylinder die Oberfläche berechnen zu können. Das Gleiche gilt für andere Körper mit runder Grundfläche, zum Beispiel Kegel.

Ein Trapez ist ein Viereck. Es zeichnet sich dadurch aus, dass es zwei parallele Seiten hat:

Da die Seiten aber unterschiedlich lang und die anderen beiden Seiten verzogen sind, kannst du hier nicht einfach Länge mal Breite rechnen. Deshalb kommt beim Flächeninhalt eines Trapezes die Höhe h ins Spiel.

Flächeninhalt Trapez-Formel:

ATrapez=12⋅h⋅(a+c)$A_{Trapez}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot (a+c)$ 

Dabei sind a und b die parallel verlaufenden Seiten.

Rechenbeispiel:

Ein Trapez hat die Seitenlängen a= 7 cm und b= 5 cm und die Höhe h= 3,75 cm. Berechne den Flächeninhalt.

Rechnung:

ATrapez=12⋅3,75cm⋅(7cm+5cm)=12⋅3,75cm⋅12cm=22,5cm2$A_{Trapez}=\frac{1}{2}\cdot 3,75cm\cdot (7cm+5cm)=\frac{1}{2}\cdot 3,75cm\cdot 12cm=22,5c{m}^2$ 

Ein Parallelogramm sieht aus wie ein Rechteck, das jemand ein bisschen verschoben hat. Es hat zwei Seitenpaare, deren Seiten jeweils parallel und gleich lang sind:

Um den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen, brauchst du die Länge einer Seite und die dazugehörige Höhe. Wenn du also mit der Seite a rechnest, musst du die Höhe ha$h_a$ verwenden.

 AParallelogramm=g⋅h$A_{Parallelogramm}=g\cdot h$ 

Rechenbeispiel:
Ein Parallelogramm hat die Seitenlänge b= 7 cm  und die Höhe h= 4 cm . Berechne den Flächeninhalt.

Rechnung:

AParallelogramm=g⋅h=7cm⋅4cm=28cm2$A_{Parallelogramm}=g\cdot h=7cm\cdot 4cm=28c{m}^2$ 

Hier zeigen wir dir noch weitere Formeln für den Flächeninhalt von Vierecken und Vielecken. Du kannst dir auch merken: Manchmal musst du Figuren in mehrere Teile zerteilen, damit du den Flächeninhalt berechnen kannst. 

Beispiel:

Diese Fläche kannst du nicht einfach so berechnen. Du kannst sie aber in ein Quadrat, ein Rechteck und ein Dreieck teilen – und wie du diese Flächeninhalte berechnen kannst, hast du ja gerade gelernt! 

Schauen wir uns jetzt die restlichen Formeln an.

Flächeninhalt von Vierecken

Hier zeigen wir dir verschiedene Vierecke und deren Flächeninhalt.

Flächeninhalt Raute 

Eine Raute ist ein Parallelogramm, bei dem alle Seiten gleich lang sind. Deshalb kannst du den Flächeninhalt einer Raute auch mit der Formel für das Parallelogramm benutzen.

Du kannst aber auch diese Formel verwenden:

ARaute=12⋅e⋅f$A_{Raute}=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f$

Dabei sind e und f die Diagonalen der Raute.

Flächeninhalt Drachenviereck

Das Besondere an einem Drachenviereck (oder Drachen) ist, dass es zwei Seitenpaare hat, deren Seiten gleich lang sind. Auch den Flächeninhalt des Drachen kannst du mit den Diagonalen berechnen:

ADrachenviereck=12⋅e⋅f$A_{Drachenviereck}=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f$

Flächeninhalt Vielecke

Viele Vielecke musst du zuerst in andere Figuren zerlegen, bevor du den Flächeninhalt berechnen kannst. Für ein paar Vielecke geben wir dir hier aber noch Formeln mit.

Flächeninhalt Fünfeck

Ein regelmäßiges Fünfeck besteht aus fünf gleichen Dreiecken. Wenn du die Seitenlänge und die dazugehörige Höhe eines dieser Dreiecke kennst, kannst du die Fläche des Fünfecks berechnen. Dazu rechnest du erst die Fläche eines Dreiecks aus und nimmst dann dein Ergebnis mal fünf.

So sieht die Formel aus:

AFünfeck=5⋅(g⋅h)2$A_{Fünfeck}=5\cdot \frac{(g\cdot h)}{2}$

Flächeninhalt Sechseck

Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs Dreiecken. Diese haben die Besonderheit, dass sie alle gleichseitige Dreiecke sind. Deshalb kannst du die Formel für das gleichseitige Dreieck nutzen und das Ergebnis mal sechs nehmen. Nach dem Vereinfachen bleibt dann diese Formel übrig:

ASechseck=3⋅3√2⋅a2$A_{Sechseck}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot a^2$

• Du kannst den Flächeninhalt von Flächen berechnen. Flächen haben zwei Dimensionen – eine Länge und eine Breite. Figuren wie Quadrate, Rechtecke oder Kreise sind Flächen.
• Du kannst nicht den Flächeninhalt eines Körpers berechnen, nur seine Oberfläche. Den Flächeninhalt einer Pyramide kannst du also nicht berechnen, nur den Flächeninhalt ihrer Grund- und Seitenflächen. 
• Der Flächeninhalt wird mit dem Buchstaben bezeichnet. Die Einheit für den Flächeninhalt ist Quadratmeter m2$m^2$
• Um den Flächeninhalt zu berechnen, brauchst du verschiedene Formeln. Zum Beispiel berechnest du den Flächeninhalt eines Quadrats mit  A=a⋅a$A=a\cdot a$  und den Flächeninhalt eines Rechtecks mit A=a⋅b$A=a\cdot b$