Mathematik – Volumen eines Kegels berechnen

Ob du in der Schule das Volumen eines Kegels berechnen musst oder herausfinden willst, wie viel Eis du brauchst, um Eiswaffeln zu füllen – wir stehen hinter dir! Hier findest du alle wichtigen Formeln für das Kegelvolumen, einfache Anleitungen und Rechenbeispiele. 

Was ist ein Kegel? Ein Kegel ist ein geometrischer Körper. Er hat eine runde Grundfläche und eine Mantelfläche, die nach oben hin zu einer Spitze zusammenläuft. Kegelformen siehst du im Alltag zum Beispiel bei Verkehrshütchen, Eiswaffeln, Turmdächern oder Partyhüten. 

Diese Fachbegriffe helfen dir beim Berechnen des Volumens: 

• Grundfläche: Die Grundfläche eines Kegels ist ein Kreis. Daher kannst du sie auch mit den üblichen Formeln rund um den Kreis berechnen. In den Formeln für das Volumen eines Kegels heißt die Grundfläche G.
• Kreislinie: Die äußere Linie des Kreises, der die Grundfläche bildet, heißt Kreislinie. Sie entspricht auch dem Umfang ( U ) des Kreises. 
• Mantelfläche: Die restliche Oberfläche des Kegels besteht aus der sogenannten Mantelfläche. Du kannst es dir vorstellen, als hätte sich der Kegel einen Mantel umgelegt. Die Mantelfläche beginnt unten an der Kreislinie der Grundfläche und läuft oben in der Spitze zusammen. In den Formeln heißt die Mantelfläche M.
• Mantellinie: Die Mantellinie heißt s. Sie beginnt in einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie der Grundfläche und geht entlang der Mantelfläche gerade bis zur Spitze des Kegels. 
• Höhe: Die Höhe ist eine gedachte Linie, die – normalerweise – senkrecht auf der Grundfläche steht und bis zur Spitze des Kegels verläuft. Es gibt aber Ausnahmen, die wir dir weiter unten erklären.
• Radius: Du findest den Radius ( r ) des Kegels, indem du eine gerade Linie vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zur Kreislinie ziehst. Der Radius ist halb so groß wie der Durchmesser.
• Durchmesser: Wenn du eine Linie von einem Punkt der Kreislinie gerade durch den Mittelpunkt der Grundfläche und zum gegenüberliegenden Punkt auf der Kreislinie ziehst, entspricht das dem Durchmesser ( d ). Er ist doppelt so groß wie der Radius. 
• Pi: Pi wird auch die Kreiszahl genannt. Dabei handelt es sich um eine Zahl mit unendlich vielen Stellen, die du für die Berechnung von Kreisen oder Kugeln brauchst. Die wird mit dem griechischen Buchstaben Pi ( π ) abgekürzt. Meist genügt es, wenn du mit Pi gerundet rechnest: π≈3,14.

Was ist das Volumen?

Wenn du einen geometrischen Körper mit Luft (oder auch einer Flüssigkeit oder anderer Materie) füllst, wird diese (Luft-)Menge als Volumen bezeichnet. Kurz: Das Volumen sagt dir, wie viel in einen Körper passt. 

Das Volumen spitzer Körper berechnest du mit folgender Formel – ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe: 

V=13⋅G⋅h

Das gilt für spitze geometrische Körper wie zum Beispiel auch die Pyramide. Sie hat aber eine eckige Fläche als Grundfläche. Da ein Kegel einen Kreis als Grundfläche hat, kannst du diese mit der Formel für den Flächeninhalt eines Kreises berechnen:

AKreis=π⋅r2

Du kannst jetzt also diese Formel anstelle der Grundfläche G einsetzen und erhältst dann:

VKegel=13⋅π⋅r2⋅h

Das ist übrigens ein Drittel des Volumens eines Zylinders - daher der Bruch 13.

Gegeben ist ein Kegel mit dem Radius r=3cm und der Höhe h=7cm. Berechne das Volumen des Kegels.

Wir stellen noch einmal die Formel auf: 

VKegel=13⋅π⋅r2⋅h

Nun können wir die bekannten Werte für den Radius und die Höhe einsetzen. Wir rechnen außerdem mit π≈3,14. Daher müssen wir ab jetzt das „ungefähr“-Zeichen statt des Gleichheitszeichens nutzen.

VKegel≈13⋅3,14⋅(3cm)2⋅7cm

VKegel≈13⋅3,14⋅(3cm)2⋅7cm

VKegel≈13⋅3,14⋅9cm2⋅7cm

VKegel≈13⋅197,82≈65,94cm3

Fertig! Und schon hast du das Volumen dieses Kegels berechnet. 

In der Schule musst du in Mathematik häufig zum Volumen eines Kegels oft Aufgaben in Textform lösen. Die Rechnung bleibt immer dieselbe wie oben, doch du musst aus dem Text entnehmen können, mit welchen Werten du rechnen sollst. Schauen wir uns dazu eine Aufgabe an.

Frau Meierrose soll für eine Hochzeit einen Festsaal mit Blumen ausstatten. Die Vasen sind kegelförmig. Leider gibt es kein fließendes Wasser vor Ort, sodass Frau Meierrose das Wasser in Kanistern selbst mitbringen muss. Wie viel Wasser braucht sie, um 200 Vasen zu füllen, wenn jede Vase einen Durchmesser von 15 cm und eine Höhe von 25 cm hat?

Und so rechnest du:

• Wir kennen den Durchmesser d=15cm. Da der Radius halb so lang ist wie der Durchmesser, wissen wir, dass r=7,5cm ist. Daher kannst du immer das Volumen eines Kegels auch mit dem Durchmesser berechnen.
• Die Höhe kennen wir auch: h=25cm.
• Wir berechnen zuerst das Volumen einer Vase und nehmen dann unser Ergebnis mal 200, um die Füllmenge für alle Vasen zu berechnen.

VKegel=13⋅π⋅r2⋅h

VVase=13⋅3,14⋅(7,5cm)2⋅25cm≈1.471,875cm3

1.000cm3 entsprechen einem Liter. Wir wissen jetzt also, dass eine Vase ungefähr 1,5 Liter wasser fasst. Jetzt berechnen wir das Volumen für alle 200 Vasen:

1.471,875cm3⋅200=294.375cm3

Das entspricht ungefähr 294dm3 bzw. Litern. Da ein Liter Wasser ein Kilo wiegt, muss Frau Meierrose fast 300 Kilo transportieren - viel Glück damit!

Manchmal sollst du nicht das Volumen eines Kegels berechnen, sondern du hast das Volumen gegeben und sollst die Höhe oder den Radius ermitteln. Wir zeigen dir, wie du die Formel dafür umstellen kannst.

Höhe aus dem Volumen eines Kegels berechnen

VKegel=13⋅π⋅r2⋅h|÷(13⋅π⋅r2)

h=VKegelπ⋅r2 ⋅3

Jetzt musst du nur noch das Volumen und den Radius in diese Formel einsetzen und ausrechnen.

Radius aus dem Volumen eines Kegels berechnen

VKegel=13π⋅r2⋅h|÷(13⋅pi⋅h)

r2=VKegelπ⋅h⋅3

r=√VKegelπ⋅h⋅3

Fertig!

Schauen wir uns zwei Aufgaben an, in denen der Kegel verändert wurde. 

Stumpfer Kegel – Volumen berechnen

Bestimmt hast du auch schon mal von einer Eiswaffel die Spitze abgebissen? Was übrigbleibt, ist dann ein stumpfer Kegel: ein Kegel, dem der obere Teil fehlt. Du berechnest also das Volumen eines Kegels ohne Spitze. 

Der obere Teil ist ebenfalls ein kleiner Kegel. Der Radius des kleinen Kegels ist auch der Radius der Schnittfläche.

Wenn du die Höhe und den Radius des kleinen Kegels kennst, kannst du zuerst das Volumen des gesamten Kegels und des kleinen Kegels berechnen und dann das Volumen des kleinen Kegels vom Volumen des gesamten Kegels abziehen. Was übrigbleibt, ist das Volumen des Kegelstumpfs. 

Oft ist es in den Aufgaben aber so, dass du nur den Radius des kleinen Kegels kennst. Zum Glück gibt es auch dafür eine Formel: 

VKegelstumpf=13⋅π⋅h⋅(R2+R⋅r+r2)

Vielleicht kannst du dir schon denken, dass hier das große R für den Radius des gesamten „großen“ Kegels steht und das kleine r für den Radius des kleinen Kegels, der abgeschnitten wurde. 

Auch hier musst du dann nur noch einsetzen und bist schon fertig.

Schiefer Kegel – Volumen berechnen

Die Besonderheit eines schiefen Kegels ist, dass die Spitze nicht direkt über dem Mittelpunkt der Grundfläche (die ja ein Kreis ist) liegt. Daher ist der Kegel schief. Das ändert aber nichts an der Formel für das Volumen des Kegels – du rechnest genauso.

Allerdings musst du bei der Höhe aufpassen. Denn die Höhe steht senkrecht auf der Grundfläche. Du darfst also beim schiefen Kegel nicht einfach die Höhe vom Mittelpunkt der Grundfläche bis zur Spitze messen, denn die Spitze ist ja verschoben.

Was du stattdessen tust: Du beginnst an der Kegelspitze und ziehst eine gerade Linie senkrecht nach unten, bis du auf die Grundfläche des Kegels triffst. Eventuell landest du bei einem stark verschobenen Kegel sogar außerhalb der Grundfläche – dann musst du die Linie der Grundfläche etwas verlängern, um zu wissen, wo genau die Höhe endet. Am einfachsten gelingt das im Koordinatensystem, wo du die Länge dann ablesen kannst.

Wenn du den Wert gefunden hast, rechnest du aber wie gewohnt mit der bekannten Formel für das Volumen deines Kegels. 

Hohlkegel – Volumen berechnen

Ein Hohlkegel ist ein Kegel, aus dem ein kleinerer Kegel herausgeschnitten wurde. 

Das Volumen ist hier ganz leicht zu berechnen: Du ziehst einfach das Volumen des kleineren Kegels vom Volumen des größeren Kegels ab. Dazu musst du natürlich bei beiden Kegeln Radius und Höhe kennen. 

Wir gehen hier nicht detailliert darauf ein, aber du kannst natürlich auch die Oberfläche eines Kegels ermitteln. 

Dazu brauchst du die Länge der Mantellinie s. Sie ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras, denn die Mantellinie, die Höhe und der Radius eines Kegels bilden ein rechtwinkliges Dreieck: 

s2=h2+r2

s=√h2+r2

Wenn du sie berechnet hast, kannst du sie in die Formel für die Mantelfläche M einsetzen:

M=π⋅r⋅s

Vergiss nicht, auch die Fläche der Grundfläche hinzuzuaddieren! 

• In der Geometrie ist ein Kegel ein geometrischer Körper mit einer runden Grundfläche, dessen Mantelfläche zu einer Spitze zusammenläuft.
• Zur Berechnung des Volumens eines Kegels brauchst du hauptsächlich den Radius der Grundfläche und die Höhe des Kegels. Außerdem rechnest du mit der Kreiszahl Pi. Die Formel lautet:
  VKegel=13⋅π⋅r2⋅h
• Ein Kegel hat ein Drittel des Volumens eines Zylinders mit gleicher Grundfläche. 
• Neben regulären Kegeln gibt es auch stumpfe Kegel und schiefe Kegel. 
• Nicht zuletzt kannst du auch die Oberfläche eines Kegels berechnen.