Mathematik – Lineare Funktionen

Lineare Funktionen gehören zu den ganzrationalen Funktionen, wie auch die quadratischen Funktionen und die kubischen Funktionen. Du brauchst lineare Funktionen immer dann, wenn etwas gleichmäßig abnimmt oder zunimmt. Dabei wird eine Größe einer anderen zugeordnet.

Beispiele für Anwendungen von linearen Funktionen:

• Du kaufst für jede Person in deiner Klasse zu Ostern drei Schokohasen. Zwischen der Anzahl der Personen und der Menge an Schokohasen besteht ein linearer Zusammenhang: Eine Person mehr bedeutet drei Schokohasen mehr. Bei zwei Personen mehr sind es sechs Schokohasen. Und so weiter.
• Auch der Preis und die Menge deiner Schokohasen hängen linear zusammen: Je mehr du kaufst, desto mehr bezahlst du auch. Du hast eine lineare Funktion – solange du keinen Rabatt bekommst, denn dann wäre die Zunahme des Preises nicht mehr gleichmäßig
• Wenn drei Maschinen in sechs Stunden 1.000 Schokohasen produzieren können – wie lange brauchen dann neun Maschinen? Richtig, nur noch ein Drittel der Zeit, nämlich zwei Stunden. Die Zeit und die Anzahl der Maschinen hängen ebenfalls linear zusammen, auch wenn die Zeit abnimmt.

Im Koordinatensystem wird eine lineare Funktion als Gerade dargestellt. Die Graphen von linearen Funktionen unterscheiden sich nur anhand der Steigung und der genauen Position im Koordinatensystem.

Hier einige Beispiele:

Hier kannst du gut erkennen, dass die Form einer linearen Funktion immer eine Gerade ist. Ihre Steigung kann positiv sein (dann geht die Gerade von links unten nach rechts oben, sie steigt) oder negativ (dann geht die Gerade von links oben nach rechts unten, sie fällt). Egal, an welcher Stelle du dir die Steigung einer linearen Funktion anschaust, sie ist immer gleich.

Außerdem kann die Gerade verschoben werden. Dann verändert sich die Lage im Koordinatensystem:

Eigenschaften von linearen Funktionen

• Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, die steigt, fällt oder waagerecht im Koordinatensystem liegt.
• Lineare Funktionen haben maximal eine Nullstelle (Schnittpunkt mit der x-Achse).
• Lineare Funktionen haben genau einen Schnittpunkt mit der y-Achse.
• Die Definitionsmenge einer linearen Funktion ist D=R$\mathbb{D}=\mathbb{R}$.
• Der Wertebereich einer linearen Funktion ist W=R$\mathbb{W}=\mathbb{R}$ .

Du kannst lineare Funktionen mit dieser Formel darstellen:

• x$\text{x}$ ist deine Variable. Daran erkennst du, dass es sich um eine lineare Funktion handelt.
• m$\text{m}$ gibt dir die Steigung an. Das ist ein Faktor (also eine Zahl), mit der du deine Variable x$x$ multiplizierst. Zum Beispiel hat eine lineare Funktion mit der Funktionsgleichung f(x)=3x+2$f(x)=\text{3}x+2$ die Steigung  3.
• b$\text{b}$ ist das sogenannte Absolutglied. Es zeigt dir, wo deine Gerade die y-Achse schneidet. Deshalb heißt b$b$ auch y-Achsenabschnitt. Die Funktion f(x)=3x+2$f(x)=3x+\text{2}$ hat also den Schnittpunkt mit der
  y-Achse bei y=2$y=2$.

So sieht der Graph zur Gleichung f(x)=3x+2$f(x)=3x+2$ aus:

Tipp: Hier erfährst du alles über die Funktionsgleichung einer linearen Funktion.

Die Definition von linearen Funktionen ist einfach:

• Du kannst lineare Funktionen graphisch darstellen: Wenn du eine Gerade erhältst, die fällt, steigt oder waagerecht im Koordinatensystem liegt, hast du eine lineare Funktion vor dir.
• Die Geradengleichung enthält als höchste Potenz x$x$ (also x1$x^1$). Gleichungen mit x2$x^2$, x3$x^3$ oder höheren Potenzen sind keine linearen Funktionen. Lineare Funktionen heißen auch Funktionen ersten Grades – wegen der Potenz 1.
• Die allgemeine Formel für lineare Funktionen lautet f(x)=m⋅x+b$f(x)=m\cdot x+b$

Besonderheit: waagerechter Funktionsgraph
Eine lineare Funktion kann waagerecht im Koordinatensystem liegen. Sie heißt konstante lineare Funktion. Die Steigung einer solchen linearen Funktion ist 0. Deshalb hat sie die Form f(x)=0⋅x+b=b$f(x)=0\cdot x+b=b$

Beispiel:

So sieht der Graph dazu aus:

Hier funktioniert die Zuordnung so, dass jedem x-Wert der gleiche y-Wert (nämlich 3) zugeordnet wird. Nullstellen haben diese waagerechten Geraden nicht.

Keine lineare Funktion: senkrechter Graph
Funktionen der Form x=3$x=3$ sind keine linearen Funktionen. Ihr Graph ist eine senkrechte Gerade:

Hier werden einem x-Wert unendlich viele y-Werte zugeordnet. Der Graph geht gerade von oben nach unten. Nochmal: Das ist keine lineare Funktion.

An der Lage von Geraden kannst du ihre Steigung ablesen. In der allgemeinen Formel für lineare Funktionen gibt dir m$m$ die Steigung an:

Es gilt:

• m>0$m>0$: Die Gerade steigt.
• m<0$m<0$: Die Gerade fällt.
• m=0$m=0$: Die Gerade ist eine Waagerechte.

Die Steigung kannst du an der Funktionsgleichung ablesen oder auch aus dem Graphen. Dazu kannst du ein Steigungsdreieck nutzen. Suche dir dazu zwei beliebige Punkte auf deiner Geraden aus:

Wir haben hier die Punkte A(1|5)$A(1|5)$ und B(2|8)$B(2|8)$ gewählt.

Zwischen diesen beiden Punkten und deiner Geraden kannst du nun das Steigungsdreieck zeichnen. Dann liest du ab, wie viele Einheiten das Steigungsdreieck entlang der x-Achse lang ist (bei uns ist es eine Einheit) und wie viele Einheiten entlang der y-Achse (bei uns sind es drei Einheiten).

Du teilst nun die Anzahl der Einheiten entlang der y-Achse durch die Anzahl der Einheiten entlang der x-Achse: 3÷1=3$3÷1=3$. Und das ist genau die Steigung der linearen Funktion. Du kannst aber auch die Koordinaten der Punkte in eine Formel einsetzen:

Das sieht in unserem Beispiel dann so aus:

Wie du siehst, erhältst du das gleiche Ergebnis.

Wissenswertes zur Steigung von linearen Funktionen

• Zwei Geraden mit gleicher Steigung liegen parallel zueinander.
• Wenn zwei parallele Geraden auch den gleichen y-Achsenabschnitt b$b$ haben, sind sie identisch.
• Wenn die Geraden zweier linearer Funktionen nicht parallel sind, müssen sie sich früher oder später schneiden. 

Wenn du Aufgaben zu linearen Funktionen löst, kannst du direkt am Parameter b$b$ ablesen, wo deine Gerade die y-Achse schneidet.

Beispiel:

Diese Gerade schneidet die y-Achse bei y=2$y=2$.

Dieses Wissen hilft dir nicht nur, lineare Funktionen zu verstehen, sondern auch, eine lineare Funktionsgleichung zu bestimmen.

So kannst du die Gleichung einer Geraden aufstellen:

1. Lies anhand des Graphen die Steigung m ab oder setze die Koordinaten von zwei Punkten in die Formel m=yB−yAxB−xA$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ ein.
2. Lies den y-Achsenabschnitt b$b$ ab.

Beispiel:

Finde die Gleichung dieser Geraden:

Wir können zwei eindeutige Punkte erkennen: A(0|2)$A(0|2)$ und B(2|−1)$B(2|-1)$.

Wir setzen in die Formel für die Steigung ein, um den Wert für m$m$ zu finden:

Jetzt haben wir das m$m$ für unsere Gleichung. 

Der y-Achsenabschnitt einer linearen Funktion, bei uns die Zahl 2, ist das b$b$ der Gleichung.

Wir nutzen die Formel für lineare Funktionen und erhalten:

Fertig! So kannst du ganz einfach lineare Funktionen berechnen.

Die Nullstellen sind die Stellen, wo der Graph einer Funktion die x-Achse schneidet. Lineare Funktionen haben höchstens eine Nullstelle – waagerechte (konstante) lineare Funktionen haben gar keine. Dann gibt es keinen Punkt, in dem Gerade und x-Achse sich schneiden.

So kannst du die Nullstellen berechnen:

• Setze die Funktionsgleichung gleich null.
• Löse nach x$x$ auf.
  

Beispiel:

f(x)=−32x+2$f(x)=-\frac{3}{2}x+2$

Wir schreiben:

0=−32x+2$0=-\frac{3}{2}x+2$

Und so finden wir die Lösung:

0=−32x+2|−2$0=-\frac{3}{2}x+2|-2$

−32x=−2|⋅23$-\frac{3}{2}x=-2|\cdot \frac{2}{3}$

−x=−43|⋅(−1)$-x=-\frac{4}{3}|\cdot (-1)$

x=43$x=\frac{4}{3}$

Und so sieht der Graph aus:

Es gibt auch eine Kurzform für die Berechnung der Nullstellen. So findest du die Lösungen schneller:

Versuchen wir dieses Verfahren einmal an unserem Beispiel:

f(x)=−32x+2$f(x)=-\frac{3}{2}x+\text{2}$

x0=−bm$x_0=-\frac{\text{b}}{\text{m}}$

x0=−bm=−b⋅1m=−2⋅(−23)=43$x_0=-\frac{\text{b}}{\text{m}}=-b\cdot \frac{1}{m}=-2\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}$

Und das ist genau das Ergebnis, das wir auch oben hatten.

Mit dem Wissen, das du jetzt hast, kannst du problemlos auch lineare Funktionen zeichnen. Eine Möglichkeit ist es, eine Wertetabelle anzulegen. Du brauchst nur zwei Punkte, um deine Gerade zeichnen zu können, denn die Steigung zwischen zwei Punkten gilt für die gesamte Gerade.

Beispiel:

Trage einige Werte in eine Wertetabelle ein:

Dann zeichnest du diese Punkte ins Koordinatensystem und verbindest sie:

Es geht aber noch einfacher. Denn du kannst ja die Werte für zwei Punkte aus der Funktionsgleichung ermitteln:

• Der Parameter b$b$ gibt dir einen Punkt an, denn hier ist der x-Wert gleich null und der y-Wert gleich b$b$.
• Mit der Formel −bm$-\frac{b}{m}$ kannst du eine Nullstelle ermitteln. Hier ist der y-Wert gleich null und den x-Wert erfährst du dank der Formel.

Beispiel:

Deine Funktion ist f(x)=−2x+1$f(x)=-2x+1$. 

• b=1$b=1$, das können wir sofort ablesen. Daher haben wir einen Punkt A(0|1)$A(0|1)$.
• Für die Nullstelle setzen wir in die Formel −bm$-\frac{b}{m}$ ein und erhalten x0=−(1−2)=12$x_0=-\left(\frac{1}{-2}\right)=\frac{1}{2}$. Die Nullstelle liegt bei B(12|0)$B\left(\frac{1}{2}|0\right)$ .

Diese Punkte zeichnen wir ein und verbinden sie:

Tipp: Wenn es keine Lösungsmenge für Nullstellen gibt, dann weißt du, dass es sich um eine waagerechte Gerade handeln muss. 

Für die Anwendungen mehrerer linearer Funktionen musst du manchmal zwei, drei oder mehr Gleichungen auf einmal lösen. Dafür gibt es bestimmte Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsverfahren. Wir haben auf einer anderen Seite für dich erklärt, wie du lineare Gleichungssysteme lösen kannst.

• Lineare Funktionen sind Funktionen, deren Graph eine Gerade darstellt.
• Die höchste Potenz der Variablen x$x$ in einer solchen Gleichung ist 1. Es treten keine höheren Potenzen wie x2$x^2$ oder x3$x^3$ auf.
• Lineare Funktionen gehören zu den ganzrationalen Funktionen.
• Du kannst an der Funktionsgleichung den y-Achsenabschnitt ablesen. Mit einer Formel kannst du auch die Steigung berechnen.
• Außerdem kannst du relativ leicht die Nullstellen berechnen.
• Daher ist es recht einfach, lineare Funktionen zu zeichnen, wenn du nur die Funktionsgleichung gegeben hast.