Trigonometrie

Mathematik – Trigonometrie

Wenn du wissen willst, was Trigonometrie ist, dann bist du hier genau richtig. Steig direkt ins Thema ein!

Webinar: Trigonometrie

Was ist Trigonometrie?

Trigonometrie gehört im Fach Mathe zur Geometrie. Schon im Alten Griechenland haben sich Menschen mit Trigonometrie beschäftigt. Es geht darum, die Größen in einem Dreieck zu messen und zu berechnen. Vor allem stellt die Trigonometrie Beziehungen zwischen Winkeln und Seitenlängen her.

Vor allem wirst du die Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck anwenden. Es gibt hier drei Winkelfunktionen, die besonders wichtig sind: Sinus, Cosinus und Tangens.

In Aufgaben zur Trigonometrie geht es oft darum, dass du fehlende Seitenlängen oder Winkel im Dreieck berechnen sollst. Dazu zeigen wir dir weiter unten auch Rechenbeispiele.

Hier siehst du, wie die unterschiedlichen trigonometrischen Funktionen aussehen. Du kannst auf die Links klicken, um mehr über die einzelnen Funktionen zu erfahren.

Die Sinusfunktion

Hier geht’s zur Seite über die Sinusfunktion.

Sinus

Die Cosinusfunktion

Erfahre hier mehr über die Cosinusfunktion.

Cosinus

Die Tangensfunktion

Hier findest du alles Wichtige zum Tangens.

Tangens

Trigonometrie im Dreieck

Du kannst mit der Trigonometrie Winkel berechnen und fehlende Seitenlängen herausfinden. Einige Regeln der Trigonometrie gelten in allen Dreiecken, andere nur im rechtwinkligen Dreieck.

In der Schule wirst du hauptsächlich Formeln für die Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck lernen. Wir schauen uns dazu zunächst einige Fachbegriffe an.

Dreieck

Das ist ein rechtwinkliges Dreieck. Du erkennst es daran, dass es einen rechten Winkel hat, also einen Winkel, der genau $90^{\circ}$ hat. Dieser Winkel heißt immer Gamma ( $γ$ ). Die anderen beiden Winkel nennen wir Alpha ( $α$ ) und Beta ( $β$ ).

Gegenüber von $γ$ , dem rechten Winkel, liegt die längste Seite des Dreiecks. Im rechtwinkligen Dreieck heißt sie Hypotenuse (Seite $c$ ).

Schau dir jetzt den Winkel $α$ an. Er liegt zwischen der Hypotenuse und der Seite $b$ . Die Seite $b$ heißt Ankathete – sie liegt am Winkel an. Gegenüber liegt die Seite $a$ . Das ist die Gegenkathete.

Das Gleiche kannst du auch für den Winkel $β$ machen. Da ist es umgekehrt: Die Ankathete ist die Seite $a$ und gegenüber liegt die Gegenkathete $b$ .

Wichtige Formeln der Trigonometrie im Dreieck

Jetzt weißt du, was Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse sind. Mit den folgenden Formeln kannst du mithilfe der Trigonometrie Seiten berechnen – oder auch Winkel:

\sin (α) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}

\cos (α) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}

\tan (α) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

Schauen wir uns dazu ein paar Trigonometrie-Aufgaben mit Lösungen an.

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Aufgaben zur Trigonometrie

Aufgaben zur Trigonometrie sind meist so aufgebaut, dass du eine fehlende Seite oder einen fehlenden Winkel berechnen sollst. Mit den folgenden Aufgaben kannst du die Formeln der Trigonometrie üben.

Gut zu wissen

Hier zeigen wir dir Beispiele dafür, wie die Trigonometrie in der Ebene funktioniert. In der fortgeschrittenen Mathematik schaut man sich auch Trigonometrie im dreidimensionalen Raum und sogar sphärische Dreiecke an.

Aufgabe 1: Winkel mit Trigonometrie berechnen

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen $a = 5 cm$ und $b = 8 cm$ . Wie groß ist der Winkel $α$ ?

Zuerst müssen wir herausfinden, welche Formel der Trigonometrie für diese Berechnung geeignet ist. Schauen wir uns dazu noch einmal eine Skizze an:

Dreieck

Vom Winkel $α$ aus betrachtet, haben wir die Ankathete $b$ und die Gegenkathete $a$ gegeben. Diese beiden Größen kommen in der Formel für den Tangens vor. Deshalb nutzen wir diese Formel:

\tan (α) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

Wir setzen unsere Werte ein:

\tan (α) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{a}{b} = \frac{5 cm}{8 cm} = 0,625

Das ist der Tangens von Winkel $α$ . Wir wollen aber nicht den Tangens wissen, sondern den Winkel. Also wenden wir noch die Umkehrfunktion des Tangens, den Arkustangens, an. Auf deinem Taschenrechner heißt diese Taste $\tan^{- 1}$ . Gib also $0,625$ ein und betätige diese Taste. So erhältst du das Ergebnis:

α \approx 32^{\circ}

Wertetabelle der Trigonometrie

Gerade hast du gelernt, wie du den Winkel aus einem Sinus-, Cosinus- oder Tangenswert berechnen kannst. Es gibt aber auch einige Werte, die du nicht ausrechnen musst, weil sie leichter zu merken sind – und manche Mathelehrer:innen werden das vielleicht auch von dir erwarten.

Diese wichtigen Werte der Trigonometrie kannst du in dieser Tabelle nachlesen:

Wertetabelle der Trigonometrie

Winkel	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
$\sin (α)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- 1$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$0$
$\cos (α)$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- 1$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\tan (α)$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	nicht definiert	$- \sqrt{3}$	$- 1$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	nicht definiert	$- \sqrt{3}$	$- 1$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$

Aufgabe 2: Seite mit Trigonometrie berechnen

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seitenlängen $a = 5 cm$ und $c = 10 cm$ . Wie lang ist die Seite $b$ ?

Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, könntest du die dritte Seite einfach mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen.

Weil es hier ja aber um Anwendungsaufgaben zur Trigonometrie geht, zeigen wir dir, wie du die Aufgabe außerdem noch lösen kannst:

Du kennst zwar die Hypotenuse, aber nur eine der anderen beiden Seitenlängen.
Neben dem rechten Winkel sind dir die anderen beiden Winkel nicht bekannt.
Deshalb kannst du nicht direkt die fehlende Seite berechnen.
Wir nehmen deshalb den Umweg über einen der Winkel.

Für den Winkel $α$ hast du die Gegenkathete und die Hypotenuse gegeben. Du kannst also mit dem Sinus den Winkel ausrechnen.

Für den Winkel $β$ kennst du die Ankathete und die Hypotenuse. Hier würde der Cosinus dir weiterhelfen.

Welchen Weg du wählst, spielt keine Rolle. Wir nehmen als Beispiel den Sinus. Unsere Formel lautet:

\sin (α) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse} = \frac{a}{c}

Wir setzen unsere Werte ein:

\sin (α) = \frac{5 cm}{10 cm} = 0, 5

Wir müssen jetzt wieder die Umkehrfunktion anwenden – diesmal $\sin^{- 1}$ –, um den Winkel auszurechnen:

\sin^{- 1} (0, 5) = 30^{\circ}

Unser Winkel $α$ hat $30^{\circ}$ .

Jetzt kennen wir den Winkel $α$ und die Hypotenuse. Deshalb können wir jetzt die Formel für den Cosinus so umstellen, dass wir die Ankathete ( $b$ ) berechnen können – also unsere fehlende Seite.

$\cos (α) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse} = \frac{b}{c} | \cdot c$

$b = \cos (α) \cdot c$

Wir setzen ein:

$b = \cos (30^{\circ}) \cdot 10 cm$

Das kannst du wieder mit deinem Taschenrechner ausrechnen:

$b \approx 0, 87 \cdot 10 cm \approx 8, 7 cm$

Du hast die fehlende Seitenlänge ermittelt.

Wichtige Rechenregeln der Trigonometrie

Einige Regeln der Trigonometrie kennst du schon – zum Beispiel, dass du die Lösungswege von oben nur im rechtwinkligen Dreieck nutzen darfst.

Was aber, wenn du ein allgemeines Dreieck vor dir hast? Dann helfen dir zwei Sätze der Trigonometrie weiter.

Zwei wichtige Sätze der Trigonometrie

Mit dem Sinussatz kannst du in einem Dreieck Seiten und Winkel berechnen, auch wenn es nicht rechtwinklig ist. Er lautet:

\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)}

Du weißt nicht, was das bedeutet? Schau auf unserer Seite zum Sinussatz nach.

Auch mit dem Cosinussatz kannst du Aufgaben zur Trigonometrie lösen, wenn dein Dreieck keinen rechten Winkel hat. Er lautet:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos (α)

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot \cos (β)

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (γ)

Die Additionstheoreme der Trigonometrie

Die Additionstheoreme helfen dir weiter, wenn du Summen oder Differenzen aus Winkeln berechnen sollst. Das ist vor allem hilfreich, wenn du einen der beiden Winkel nicht kennst, aber trotzdem weiterrechnen möchtest.

So lauten die Trigonometrie-Additionstheoreme für die Sinusfunktion:

\sin (α + β) = \sin (α) \cdot \cos (β) + \cos (α) \cdot \sin (β)

\sin (α - β) = \sin (α) \cdot \cos (β) - \cos (α) \cdot \sin (β)

Analog dazu gibt es auch Additionstheoreme für die Cosinusfunktion:

\cos (α + β) = \cos (α) \cdot \cos (β) - \sin (α) \cdot \sin (β)

\cos (α - β) = \cos (α) \cdot \cos (β) + \sin (α) \cdot \sin (β)

Ableitungen in der Trigonometrie

Um Gleichungen in der Trigonometrie zu lösen, brauchst du in höheren Klassen oft die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen. Sie lauten …

… für den Sinus:

f (x) = \sin (x)

f^{'} (x) = \cos (x)

… für den Cosinus:

f (x) = \cos (x)

f^{'} (x) = - \sin (x)

… für den Tangens:

f (x) = \tan (x)

f^{'} (x) = \frac{1}{(\cos (x))^{2}}

Tipp

Fast immer hast du es in der Trigonometrie mit verketteten Funktionen zu tun, wenn es um Ableitungen geht. Schau dir daher die Kettenregel noch einmal genau an!

Formelsammlung der Trigonometrie

Diese Formelsammlung der Trigonometrie kannst du als Lernzettel für den Matheunterricht nutzen – oder vielleicht auch als Spickzettel. 😉

Hier findest du alle Formeln noch einmal übersichtlich zusammengestellt:

Formeln der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

\sin (α) = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}

\cos (α) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}

\tan (α) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}

Wertetabelle der Trigonometrie

Wertetabelle der Trigonometrie

Winkel	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
$\sin (α)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- 1$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$0$
$\cos (α)$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- 1$	$- \frac{\sqrt{3}}{2}$	$- \frac{\sqrt{2}}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\tan (α)$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	nicht definiert	$- \sqrt{3}$	$- 1$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	nicht definiert	$- \sqrt{3}$	$- 1$	$- \frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$

Sätze der Trigonometrie

Der Sinussatz:

\frac{a}{\sin (α)} = \frac{b}{\sin (β)} = \frac{c}{\sin (γ)}

Der Cosinussatz:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos (α)

b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot \cos (β)

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (γ)

Additionstheoreme in der Trigonometrie

Additionstheoreme Sinusfunktion:

\sin (α + β) = \sin (α) \cdot \cos (β) + \cos (α) \cdot \sin (β)

\sin (α - β) = \sin (α) \cdot \cos (β) - \cos (α) \cdot \sin (β)

Additionstheoreme Cosinusfunktion:

\cos (α + β) = \cos (α) \cdot \cos (β) - \sin (α) \cdot \sin (β)

\cos (α - β) = \cos (α) \cdot \cos (β) + \sin (α) \cdot \sin (β)

Ableitungen in der Trigonometrie

Ableitung Sinusfunktion:

f (x) = \sin (x)

f^{'} (x) = \cos (x)

Ableitung Cosinusfunktion:

f (x) = \cos (x)

f^{'} (x) = - \sin (x)

Ableitung Tangensfunktion:

f (x) = \tan (x)

f^{'} (x) = \frac{1}{(\cos (x))^{2}}

Zusammenfassung: Trigonometrie einfach erklärt

Die Trigonometrie in Mathe gehört zum Bereich der Geometrie.
In der Trigonometrie geht es um die Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkeln in Dreiecken.
Wichtige Trigonometrie-Funktionen sind Sinus, Cosinus und Tangens. Sie sind vor allem im rechtwinkligen Dreieck wichtig.
Um sie anwenden zu können, musst du wissen, was Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete sind. Im rechtwinkligen Dreieck liegt die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüber. Die Winkel Alpha und Beta haben jeweils eine Ankathete (das ist die Seite, die direkt am Winkel anliegt) und eine Gegenkathete (das ist die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt).
In höheren Klassen lernst du auch, wie man Trigonometrie in allgemeinen (nicht rechtwinkligen) Dreiecken anwendet, zum Beispiel mit dem Sinus- und Cosinussatz.

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