Mathematik – Quersumme

Die Quersumme in Mathe hilft dir herauszufinden, ob Zahlen durch andere Zahlen teilbar sind. Sie ist gar nicht schwer zu bilden. Hier findest du viele Beispiele zur Quersumme. 

Die Antwort steckt eigentlich schon im Namen: Du bildest die Summe – aber quer. Dazu rechnest du alle Ziffern einer Zahl einfach zusammen.

Was ist der Unterschied zwischen Zahlen und Ziffern? Zahlen bestehen aus Ziffern: Die Zahl 125$125$ hat drei Ziffern, nämlich 1$1$, 2$2$ und 5$5$. Bei einstelligen Zahlen sind Zahlen und Ziffern gleich: 9$9$ ist zum Beispiel eine Zahl und zugleich auch eine Ziffer.

Üblicherweise bildest du die Quersumme nur von natürlichen Zahlen. Wenn du nicht mehr genau weißt, was natürliche Zahlen sind, schau dir unsere Seite zu den Zahlenmengen an.

Das Zeichen der Quersumme wird nicht so häufig verwendet. Wenn du es brauchst, schreibst du:

Q(n)$Q(n)$

Dabei steht Q$Q$ für die Quersumme und n$n$ für die Zahl, deren Quersumme du bilden sollst. Q(25)$Q(25)$ ist also die Quersumme von 25$25$.

Lass uns jetzt ein paar Quersummen berechnen. So gehst du vor:

1. Du zerlegst die Zahl in ihre einzelnen Ziffern.
2. Du addierst alle Ziffern.

Beispiel 1: Quersumme aus 10

Die Zahl 10 besteht aus zwei Ziffern: 1$1$ und 0$0$. Diese beiden Ziffern müssen wir jetzt addieren:

1+0=1$1+0=1$

Das bedeutet: Die Quersumme von 10$10$ ist 1$1$.

Beispiel 2: Quersumme aus 125

Wir zerlegen zuerst die Zahl 125$125$ in die einzelnen Ziffern: 1$1$, 2$2$ und 5$5$.

Jetzt addieren wir alle Ziffern:

1+2+5=8$1+2+5=8$

Die Quersumme von 125$125$ ist 8$8$. Wir können auch mathematisch schreiben:

Q(125)=8$Q(125)=8$

Beispiel 3: Quersumme aus 2.375

Wir zerlegen wieder zuerst die Zahl in Ziffern: 2$2$, 3$3$, 7$7$ und 5$5$.

Wir rechnen alle Ziffern zusammen, um die Quersumme zu berechnen:

2+3+7+5=17$2+3+7+5=17$

Gar nicht so schwierig, oder?

Haben einstellige Zahlen auch eine Quersumme? Was ist zum Beispiel die Quersumme aus 9$9$?

Die Antwort ist ganz einfach, denn hier musst du nicht einmal rechnen:

• Die Quersumme von 9$9$ ist 9$9$.
• Die Quersumme von 3$3$ ist 3$3$.
• Die Quersumme von 0$0$ ist 0$0$.

Einfach, oder?

Du lernst schon in der Grundschule die Quersumme kennen. Warum ist das wichtig? Die Quersumme einer Zahl verrät dir etwas über die Teilbarkeit dieser Zahl. 

Ganz leicht kannst du mit der Quersumme die Teilbarkeit in folgenden Fällen herausfinden:

• teilbar durch 3$3$
• teilbar durch 6$6$
• teilbar durch 9$9$

Mit der alternierenden Quersumme kannst du außerdem überprüfen, ob eine Zahl durch 11$11$ teilbar ist. Es gibt noch kompliziertere Vorgehen, die wir uns hier aber nicht genauer ansehen.

Du kannst mithilfe der Quersumme Primzahlen aufspüren. Wenn du sämtliche Teilbarkeitsregeln durchgegangen bist und keine Teiler gefunden hast, kannst du davon ausgehen, dass deine Zahl eine Primzahl ist. Bei einigen dieser Regeln hilft dir die Quersumme.

Quersumme bei Teilbarkeit durch 3

Beispiel:

Ist die Zahl 474$474$ durch 3$3$ teilbar?

Wir zerlegen die Zahl zuerst in ihre drei Ziffern: 4$4$, 7$7$ und 4$4$. Dann rechnen wir sie zusammen:

4+7+4=15$4+7+4=15$.

Du weißt vermutlich gleich aus dem Kopf, dass 15$15$ durch 3$3$ teilbar ist, denn 3⋅5=15$3\cdot 5=15$. Also muss auch 474$474$ ohne Rest durch 3$3$ teilbar sein. Das stimmt auch:

474÷3=158$474÷3=158$

Quersumme bei Teilbarkeit durch 6

Beispiel:

Ist die Zahl 1.095$1.095$ durch 6$6$ teilbar?

Zuerst fragen wir uns: Was ist die Quersumme von 1.095$1.095$? Wir rechnen: 1+0+9+5=15$1+0+9+5=15$. Diese Quersumme ist durch 3$3$ teilbar. Aber 1.095$1.095$ ist keine gerade Zahl. Deshalb können wir 1.095$1.095$ zwar durch 3$3$, aber nicht ohne Rest durch 6$6$ teilen.

Quersumme bei Teilbarkeit durch 9

Beispiel:

Ist 19.422$19.422$ durch 9$9$ teilbar? Wir addieren zuerst wieder alle Ziffern: 1+9+4+2+2=18$1+9+4+2+2=18$. Aus dem kleinen Einmaleins wissen wir: 18$18$ ist durch 9$9$ teilbar. Also ist es auch die Zahl 19.422$19.422$.

Mit der alternierenden Quersumme kannst du herausfinden, ob eine Zahl durch 11$11$ teilbar ist.

So gehst du vor, um die altierende Quersumme zu berechnen:

1. Du zerlegst die Zahl in ihre einzelnen Ziffern.
   
2. Du setzt zwischen die Ziffern abwechselnd ein Pluszeichen und ein Minuszeichen.
   
3. Achtung: Dabei musst du hinten anfangen!
   

Beispiel 1:

Ist die Zahl 59.664$59.664$ durch 11$11$ teilbar?

Wir zerlegen die Zahl zuerst in ihre Ziffern: 5$5$, 9$9$, 6$6$, 6$6$ und 4$4$.

Jetzt fangen wir hinten an und setzen zwischen die letzten beiden Ziffern ein Pluszeichen:

 5  9  6  6 +4${}_{}5{}_{}9{}_{}6{}_{}6+4$

Von hinten nach vorn wechseln wir jetzt Plus- und Minuszeichen ab:

+5−9+6−6+4$+5-9+6-6+4$

Jetzt rechnen wir das aus:

+5−9+6−6+4=0$+5-9+6-6+4=0$

Die alternierende Quersumme ist 0$0$. Daher wissen wir, dass die Zahl 59.664$59.664$ durch 11$11$ teilbar ist.

Beispiel 2:

Schauen wir uns jetzt noch einmal die Zahl 537.581$537.581$ an. Wir zerlegen sie in den Ziffern 5$5$, 3$3$, 7$7$, 5$5$, 8$8$ und 1$1$. Dann setzen wir - wieder beginnend von hinten - Plus- und Minuszeichen ein:

−5+3−7+5−8+1$-5+3-7+5-8+1$

Und wir rechnen aus:

−5+3−7+5−8+1=−11$-5+3-7+5-8+1=-11$

Die Zahl −11$-11$ ist durch 11$11$ teilbar. Daher ist es auch unsere Zahl 537.581$537.581$.

• Du bildest die Quersumme einer Zahl, indem du die Zahl in ihre einzelnen Ziffern zerlegst und diese Ziffern dann addierst. 
  
• Vor allem brauchst du die Quersumme in Mathe, aber sie ist unter anderem auch wichtig für Prozesse in der Informatik. 
  
• Du kannst mithilfe der Quersumme Primzahlen erkennen, denn die Quersumme verrät dir zum Beispiel, ob eine Zahl durch 3, 6 oder 9 teilbar ist.
  
• Mit der alternierenden Quersumme kannst du auch eine Teilbarkeit durch 11 nachweisen. 

Was ist eine Quersumme? Beispiel und Erklärung

Die Quersumme einer Zahl findest du, indem du alle Ziffern dieser Zahl zusammenrechnest. Zum Beispiel ist die Quersumme von 11$11$ die Summe aus den Ziffern 1$1$ und 1$1$, also 2$2$. Die Quersumme von 13$13$ ist die Summe aus 1$1$ und 3$3$, also 4$4$. Und die Quersumme von 100$100$ ist 1+0+0=1$1+0+0=1$

Was ist die Quersumme von 24?

Für die Quersumme von 24$24$ musst du die Zahl 24$24$ in ihre Ziffern zerlegen: 2$2$ und 4$4$. Diese rechnest du zusammen und so bekommst du die Quersumme 6$6$.

Gibt es eine Formel für die Quersumme?

Du brauchst keine Formel, um die Quersumme zu berechnen. Du musst einfach nur die einzelnen Ziffern zusammenzählen (addieren).

Wofür braucht man die Quersumme?

Oft sollst du in der Grundschule die Quersumme berechnen, um herauszufinden, ob eine Zahl durch eine andere Zahl teilbar ist. Aber die Quersumme ist auch von Bedeutung in anderen Bereichen wie zum Beispiel in der Informatik.