Mathematik – Sinussatz

Der Sinussatz ist eine Formel, mit der du Seiten und Winkel im Dreieck berechnen kannst. Das ist insbesondere im Bereich Trigonometrie wichtig.

Du kennst von Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck bereits den Satz des Pythagoras. Er hilft dir jedoch nur dann weiter, wenn dein Dreieck eben einen rechten Winkel enthält. Dagegen kannst du den Sinussatz in jedem Dreieck anwenden – auch wenn es keine rechten Winkel gibt.

Die Formel zum Sinussatz kannst du beliebig umstellen, je nachdem, welche Seiten und Winkel du gegeben hast und welche Seiten und Winkel du ausrechnen willst.

Das Gegenstück zum Sinussatz ist der Kosinussatz. Er lautet:

Kosinussatz

a2=b2+c2−2bc⋅cosα$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$

b2=a2+c2−2ac⋅cosβ$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos \beta$

c2=a2+b2−2ab⋅cosγ$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma$

Hier siehst du, wann der Sinussatz, wann der Kosinussatz sinnvoll anzuwenden ist:

• Sinussatz
  1. Du hast zwei Seiten und einen gegenüberliegenden Winkel gegeben (SSWg).
  2. Du hast eine Seite und zwei Winkel gegeben (SWW).
• Kosinussatz
  1. Du hast drei Seiten gegeben (SSS).
  2. Du hast zwei Seiten und einen eingeschlossenen Winkel gegeben (SWS). 

Lies mehr darüber auf unserer Seite zum Kosinussatz.

Bevor wir Seiten und Winkel mit dem Sinussatz berechnen, schauen wir uns noch einmal kurz an, wie diese im Dreieck bezeichnet werden:

• Eckpunkte: Die Eckpunkte im Dreieck benennen wir mit Großbuchstaben. In aller Regel sind das die Buchstaben A, B und C.
• Seiten: Die Seiten werden nach dem gegenüberliegenden Eckpunkt benannt, und zwar mit kleinen Buchstaben. Die Seite gegenüber dem Punkt A heißt also a und so weiter.
• Winkel: Die Winkel werden nach dem Eckpunkt benannt, an dem sie liegen, aber mit kleinen griechischen Buchstaben: Bei A liegt der Winkel α$\alpha$ (Alpha), bei B findest du β$\beta$ (Beta) und bei C liegt γ$\gamma$ (Gamma). 

Wann ist die Anwendung des Sinussatzes sinnvoll? Der Fokus liegt beim Sinussatz auf dem Gegenüberliegenden: Du kannst also mit dem Sinussatz einen Winkel berechnen, der einer bekannten Seite gegenüberliegt, oder eine Seite, die einem bekannten Winkel gegenüberliegt.

Hier ein Überblick, wann der Sinussatz geeignet ist:

1. SSW: Der Sinussatz funktioniert, wenn du zwei Seiten kennst und einen Winkel, der einer bekannten Seite gegenüberliegt.
2. SWW: Du kennst zwei Winkel und eine Seite, die einem der bekannten Winkel gegenüberliegt.

Beispiel zum Sinussatz: 

1. Fall 1: Du hast die Seiten a und b gegeben und entweder den Winkel α$\alpha$ oder β$\beta$. Ebenso würde es funktionieren, wenn du die Seiten b und c und zusätzlich entweder den Winkel β$\beta$ oder γ$\gamma$ gegeben hast.

2. Fall 2: Du kennst zum Beispiel die Winkel α$\alpha$ und β$\beta$ und zusätzlich entweder die Seite a oder b. Oder natürlich ebenso: Du kennst die Winkel β$\beta$ und γ$\gamma$ und zusätzlich entweder die Seite b oder c.

Schauen wir uns jetzt einige Beispielaufgaben zum Sinussatz an.

Aufgabe zum Sinussatz: 

Gegeben ist ein Dreieck mit der Seitenlänge a = 7 cm. Du kennst außerdem die beiden Winkel α=45°$\alpha =45°$ und β=75°$\beta =75°$. Nutze die Formel für den Sinussatz, um die Länge der Seite b zu berechnen. 

Hier noch einmal die Formel für den Sinussatz:

asinα=bsinβ=csinγ$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$

Den rechten Teil csinγ$\frac{c}{\sin \gamma }$ brauchen wir gar nicht, um hier die fehlende Seite mit dem Sinussatz zu berechnen. Es genügt dieser Teil:

asinα=bsinβ$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$

Wir müssen jetzt den Sinussatz umstellen, sodass wir die Seite b berechnen können:

asinα=bsinβ∣⋅sinβ$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }\mid \cdot \sin \beta$

b=asinα⋅sinβ$b=\frac{a}{\sin \alpha }\cdot \sin \beta$

Jetzt, da wir den Sinussatz umgestellt haben, können wir einfach unsere bekannten Werte in die Formel einsetzen: 

b=7sin45⋅sin75≈70,7⋅0,97≈9,7$b=\frac{7}{\sin 45}\cdot \sin 75\approx \frac{7}{0,7}\cdot 0,97\approx 9,7$

Wir wissen jetzt: Die Seite b ist ungefähr 9,7 cm lang.

Trick: Mit dem Sinussatz alle Seiten und Winkel berechnen

Du fragst dich, was du tun sollst, wenn in einer Aufgabe zum Sinussatz auch nach der Seite c gefragt wird – du aber die gegenüberliegende Größe nicht kennst, so wie in unserem Beispiel hier? 

Kein Problem: Du weißt ja, dass im Dreieck alle Winkel zusammen 180 Grad ergeben. Und wir kennen ja bereits die Winkel α$\alpha$ und β$\beta$. Daher kannst du ganz leicht ausrechnen: γ=180−45−75=60$\gamma =180-45-75=60$. Der dritte Winkel hat also 60 Grad. 

Damit kannst du jetzt wieder die Formel des Sinussatzes für den Winkel γ$\gamma$ bzw. die Seite c anwenden:

asinα=csinγ$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{c}{\sin \gamma }$

Oder:

bsinβ=csinγ$\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$

Beide Teile funktionieren. Wenn du die Formel für den Sinussatz umgestellt hast, musst du nur noch die bekannten Größen einsetzen und kannst die fehlende Seite c ausrechnen. 

Aufgabe zum Sinussatz:

Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a = 5 cm und b = 9,7 cm. Du kennst außerdem den Winkel α=30°$\alpha =30°$. Berechne den Winkel β$\beta$.

Wir wissen, dass wir den Sinussatz bei 2 Seiten und 1 Winkel anwenden können. Dazu müssen wir erneut den Sinussatz umformen. Wir rechnen nur mit diesem Teil:

asinα=bsinβ$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$

Wir stellen um:

asinα=bsinβ∣⋅sinβ$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }\mid \cdot \sin \beta$

asinα⋅sinβ=b∣÷asinα$\frac{a}{\sin \alpha }\cdot \sin \beta =b\mid ÷\frac{a}{\sin \alpha }$

Erinnerung: Um durch einen Bruch zu teilen, müssen wir mit dem Kehrwert malnehmen. Also:

sinβ=b⋅sinαa$\sin \beta =b\cdot \frac{\sin \alpha }{a}$

Jetzt haben wir die Formel zum Sinussatz umgestellt und können unsere Werte einsetzen:

sinβ=9,7⋅sin305=0,97$\sin \beta =9,7\cdot \frac{\sin 30}{5}=0,97$

Achtung: Das bedeutet nicht, dass der Winkel β$\beta$ 97 Grad groß ist. Denn wir kennen bisher nur den Sinuswert von β$\beta$. Wir müssen aus diesem Wert noch den Winkel in Grad errechnen. Daher brauchst du oft beim Sinussatz diese Eingabe auf dem Taschenrechner: arcsin oder sin−1${\sin }^{-1}$. Das ist die Umkehrfunktion des Sinus, also die Arkussinusfunktion. 

arcsinβ≈75,9$\arcsin \beta \approx 75,9$

Und das ist die Größe unseres gesuchten Winkels: β≈75,9°$\beta \approx 75,9°$.

Tipp: Denke daran, dass du auch in diesem Fall den dritten Winkel über die Winkelsumme ausrechnen kannst – und damit auch die fehlende Seite. 

Du hast nun schon einige Aufgaben zum Sinussatz mit Lösungen gesehen. Aber woher wissen wir eigentlich, dass der Sinussatz für ein allgemeines Dreieck gilt?

Hier der Beweis für den Sinussatz:

Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

sinα=GegenkatheteHypotenuse$\sin \alpha =\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

Aber was ist mit einem allgemeinen Dreieck? Dort können wir einen Trick anwenden: Wir zeichnen die Höhe h ein und erhalten dadurch zwei rechtwinklige Dreiecke:

Du kannst die Formel oben jetzt also für beide Teildreiecke anwenden:

sinα=GegenkatheteHypotenuse=hcb$\sin \alpha =\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{h_c}{b}$

Und:

sinβ=GegenkatheteHypotenuse=hca$\sin \beta =\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}=\frac{h_c}{a}$

Die Höhe hc$h_c$ ist in beiden Formeln gleich lang (es handelt sich ja um dieselbe Strecke). Daher können wir beide Formeln nach hc$h_c$ umstellen und dann gleichsetzen.

Zuerst stellen wir um: 

sinα=hcb∣⋅b$\sin \alpha =\frac{h_c}{b}\mid \cdot b$

hc=sinα⋅b$h_c=\sin \alpha \cdot b$

Und die andere:

sinβ=hca∣⋅a$\sin \beta =\frac{h_c}{a}\mid \cdot a$

hc=sinβ⋅a$h_c=\sin \beta \cdot a$

Die beiden Ergebnisse für hc$h_c$ können wir jetzt gleichsetzen:

sinα⋅b=sinβ⋅a$\sin \alpha \cdot b=\sin \beta \cdot a$

Das stellen wir jetzt noch ein wenig um:

sinα⋅b=sinβ⋅a∣÷sinα$\sin \alpha \cdot b=\sin \beta \cdot a\mid ÷\sin \alpha$

b=sinβ⋅asinα∣÷sinβ$b=\frac{\sin \beta \cdot a}{\sin \alpha }\mid ÷\sin \beta$

bsinβ=asinα$\frac{b}{\sin \beta }=\frac{a}{\sin \alpha }$

Jetzt hast du sicherlich den ersten Teil der Formel zum Sinussatz erkannt, oder? 

Analog könnten wir jetzt das Ganze noch einmal mit der Höhe ha$h_a$ durchrechnen – dann haben wir wieder zwei rechtwinklige Dreiecke und erhalten nach der Rechnung das Ergebnis:

csinγ=bsinβ$\frac{c}{\sin \gamma }=\frac{b}{\sin \beta }$

Und wenn … 

bsinβ=asinα$\frac{b}{\sin \beta }=\frac{a}{\sin \alpha }$

… und … 

csinγ=bsinβ$\frac{c}{\sin \gamma }=\frac{b}{\sin \beta }$

… gilt, dann muss auch gelten: 

asinα=bsinβ=csinγ$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$

Und das ist die Herleitung zum Sinussatz. Du brauchst also ein rechtwinkliges Dreieck, um den Sinussatz zu beweisen, aber der Sinussatz gilt im allgemeinen Dreieck ebenso! 

• Der Sinussatz lautet asinα=bsinβ=csinγ$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$.
• In der Trigonometrie ist der Sinussatz eine wichtige Formel. Du kannst damit fehlende Winkel und Seitenlängen in Dreiecken berechnen.
• Du darfst den Sinussatz auch im nicht-rechtwinkligen Dreieck anwenden.
• Es gibt den Sinussatz und den Kosinussatz. Letzterer hilft dir, wenn du mit dem Sinussatz nicht weiterkommst (denn mit diesem berechnest du gegenüberliegende fehlende Seiten oder Winkel).
• Du kannst den Sinussatz über ein rechtwinkliges Dreieck beweisen, anwenden darfst du ihn aber in allen Arten von Dreiecken.