Mathematik – Additionsverfahren

Mit dem Additionsverfahren kannst du lineare Gleichungssysteme (LGS) lösen. Wir zeigen dir hier Schritt für Schritt an Beispielen, wie das geht. Du findest hier mehrere Aufgaben mit Lösungen zum Additionsverfahren – diese kannst du auch zum Üben nutzen. 

Das Additionsverfahren ist eins von mehreren Verfahren, mit denen du lineare Gleichungssysteme (LGS) lösen kannst. Du wirst in der Schule das Einsetzungsverfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren kennenlernen. Für große Gleichungssysteme ist auch der Gauß-Algorithmus sehr nützlich. 

Wie funktioniert das Additionsverfahren?

Du wendest es an, wenn du ein Gleichungssystem mit mehreren Gleichungen und Variablen vor dir hast. Das Additionsverfahren erlaubt es dir, Gleichungen so umzuformen, dass durch geschicktes Addieren Variablen wegfallen. Am Ende hast du nur noch eine Variable übrig und kannst so mit dem Additionsverfahren das Gleichungssystem auflösen.

Schauen wir uns direkt an einem Beispiel an, wie du ein Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren lösen kannst. 

Wir beginnen mit einem Beispiel zum Additionsverfahren mit 2 Variablen. Wie du größere Gleichungssysteme mit dem Additionsverfahren bearbeitest, zeigen wir dir weiter unten. 

Aufgabe für das Additionsverfahren:

Löse das folgende lineare Gleichungssystem (LGS) mit dem Additionsverfahren:

I.3x−4y=−6$I.3x-4y=-6$

II.2x+3y=13$II.2x+3y=13$

Unser Ziel ist es, die Koeffizienten (das sind die Zahlen vor den Variablen) so umzuformen, dass beim Addieren der Gleichungen die Variablen wegfallen. Dazu müssen die Koeffizienten den gleichen Wert, aber unterschiedliche Vorzeichen haben. Zum Beispiel würden 3x und -3x sich gegenseitig aufheben.

So gehst du vor: 

1. Lege fest, welche Variable du eliminieren möchtest.
   
2. Forme deine Gleichungen geschickt um.
   
3. Addiere die Gleichungen.
   (Wiederhole die Schritte 2 und 3 so oft, wie nötig.)
   
4. Rechne die Variable aus.
   
5. Setze das Ergebnis in eine der ursprünglichen Gleichungen ein.
   
6. Mach die Probe.
   
7. Schreibe die Lösungsmenge auf.

Das gehen wir jetzt Schritt für Schritt durch. 

1. Lege fest, welche Variable du eliminieren möchtest

I.3x−4y=−6$I.3x-4y=-6$

II.2x+3y=13$II.2x+3y=13$

Du darfst frei wählen, welche Variable wegfallen soll. Wir entscheiden uns hier für die Variable x$x$.

Tipp: Manchmal ist eine Variable sinnvoller als die andere. Schau dir dazu dieses Beispiel an:

I.6x+16y=36$I.6x+16y=36$

II.−3x−5y=−12,6$II.-3x-5y=-12,6$

In diesem Fall musst du nur −3x$-3x$ in der 2. Gleichung mit der Zahl 2 multiplizieren. Dann steht in der Gleichung I6x$I6x$ und in der Gleichung II−6x$II-6x$. Beim Addieren fällt die Variable x$x$ dann weg. Daher ist es in diesem Beispiel sinnvoller, sich für x$x$ zu entscheiden. Für unser Beispiel oben spielt es aber keine große Rolle.

2. Forme deine Gleichungen geschickt um

I.3x−4y=−6$I.3x-4y=-6$

II.2x+3y=13$II.2x+3y=13$

Wir müssen nun überlegen, wie wir die Koeffizienten von unserer Variablen x$x$ so umformen können, dass die Variable beim Addieren der Gleichungen verschwindet. Da wir Brüche möglichst vermeiden wollen (das rechnet sich schwieriger), suchen wir einfach das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 2 – das ist 6.

Um auf 6 zu kommen, müssen wir bei der ersten Gleichung folgendes tun:

I.3x−4y=−6|⋅2$I.3x-4y=-6|\cdot 2$

I.6x−8y=−12$I.6x-8y=-12$

Und bei der zweiten Gleichung machen wir das so:

II.2x+3y=13|⋅3$II.2x+3y=13|\cdot 3$

II.6x+9y=39$II.6x+9y=39$

Jetzt müssen wir aber noch etwas tun, denn wir brauchen noch ein entgegengesetztes Vorzeichen bei einem der 6x$6x$. Daher nehmen wir eine der beiden Gleichungen noch mit -1 mal. Welche, das ist egal – wir wählen die zweite:

II.6x+9y=39|⋅(−1)$II.6x+9y=39|\cdot (-1)$

II.−6x−9y=−39$II.-6x-9y=-39$

Tipp: Den Schritt, mal -1 zu nehmen, kannst du auch überspringen. Du kannst stattdessen im nächsten Schritt eine Gleichung von der anderen Gleichung abziehen (statt zu addieren) – das Ergebnis ist dasselbe. Man spricht dann vom Subtraktionsverfahren. Ob du das Additionsverfahren oder das Subtraktionsverfahren anwendest, bleibt dir überlassen.

3. Addiere die Gleichungen

Wir können nun unsere neuen Gleichungen miteinander addieren:

6x−8y=−12$6x-8y=-12$

+ −6x−9y=−39$-6x-9y=-39$

0x−17y=−51$0x-17y=-51$

- 17y=−51$17y=-51$

Wir haben es geschafft, die Variable x$x$ zu eliminieren!

4. Rechne die Variable aus

Wir haben jetzt nur die Variable y$y$ übrig. Aus unserem Ergebnis oben können wir sie sehr leicht ausrechnen:

−17y=−51 ÷(−17)$-17y=-51÷(-17)$

y=3$y=3$

5. Setze das Ergebnis in eine der ursprünglichen Gleichungen ein

Wir nehmen jetzt eine unserer ursprünglichen Gleichungen – die erste – und setzen für y=3$y=3$ ein:

I.3x−4y=−6$I.3x-4y=-6$

3x−4⋅3=−6$3x-4\cdot 3=-6$

Damit können wir jetzt unsere zweite Variable, nämlich x$x$, ausrechnen:

3x−4⋅3=−6$3x-4\cdot 3=-6$

3x−12=−6|+12$3x-12=-6|+12$

3x=6|÷3$3x=6|÷3$

x=2$x=2$

6. Mach die Probe

Um beim Additionsverfahren die Probe zu machen, setzen wir unsere Ergebnisse für die Variablen in beide Gleichungen ein.

Unsere Ergebnisse sind:

x=2$x=2$

y=3$y=3$

Beginnen wir mit der ersten Gleichung:

I.3x−4y=−6$I.3x-4y=-6$

Wir setzen ein:

3⋅2−4⋅3=−6$3\cdot 2-4\cdot 3=-6$

Und wir rechnen aus:

6−12=−6$6-12=-6$

−6=−6$-6=-6$

Das Ergebnis ist richtig. Somit passen unsere Ergebnisse schon einmal für diese Gleichung! Schauen wir uns auch noch die zweite an:

II.2x+3y=13$II.2x+3y=13$

2⋅2+3⋅3=13$2\cdot 2+3\cdot 3=13$

4+9=13$4+9=13$

13=13$13=13$

Auch für diese Gleichung stimmen unsere Ergebnisse. Wir haben diese Beispiele mit dem Additionsverfahren richtig gelöst!

7. Schreibe die Lösungsmenge auf

Zum Schluss schreiben wir noch die Lösungsmenge auf:

L={2;3}$L=\{2;3\}$

Fertig!

Du kannst das Additionsverfahren auch mit 3 Gleichungen (oder mehr) anwenden. Das Vorgehen ist dabei fast dasselbe. 

Natürlich haben wir auch Beispiele zum Additionsverfahren mit 3 Variablen für dich. Wir starten mit diesem Gleichungssystem:

I.x+2y−z=8$I.x+2y-z=8$

II.−x−5y−4z=−12$II.-x-5y-4z=-12$

III.−x+y+2z=0$III.-x+y+2z=0$

Oben haben wir dir schon das Additionsverfahren einfach erklärt. So wenden wir es jetzt an:

1. Lege fest, welche Variable du eliminieren möchtest

Wir haben hier viele einfache Möglichkeiten, mit dem Additionsverfahren aus dem LGS Variablen zu eliminieren. In der ersten Gleichung haben wir x$x$ und in den anderen beiden - x$x$. Hier müssen wir nicht einmal umformen, sondern können sofort ein x$x$ eliminieren, indem wir zwei Gleichungen addieren. Deshalb entscheiden wir uns für die Variable x$x$.

2. Forme deine Gleichungen geschickt um

Wie gerade erklärt, müssen wir in dieser Übung zum Additionsverfahren zunächst gar nicht umformen. Wir können daher direkt zu Schritt 3 springen.

3. Addiere die Gleichungen

Wir addieren I$I$ und II$II$:

x+2y−z=8$x+2y-z=8$

+ −x−5y−4z=−12$-x-5y-4z=-12$

0x−3y−5z=−4$0x-3y-5z=-4$

Das Ergebnis nehmen wir als neue Gleichung II′$I{I}^{\prime }$. So sieht unser Gleichungssystem jetzt aus:

I.x+2y−z=8$I.x+2y-z=8$

II′.−3y−5z=−4$I{I}^{\prime }.-3y-5z=-4$

III.−x+y+2z=0$III.-x+y+2z=0$

In dieser Gleichung gibt es die Variable x$x$ schon nicht mehr. Das wollen wir jetzt auch für die Gleichung III$III$ erreichen, indem wir sie mit Gleichung I$I$ addieren. Wir haben erneut Glück, dass wir hier nicht umformen müssen. Ansonsten müssten wir Gleichung I$I$ oder III$III$ erst entsprechend mit einer passenden Zahl multiplizieren.

Wir addieren I$I$ und II$II$:

x+2y−z=8$x+2y-z=8$

+ −x+y+2z=0$-x+y+2z=0$

0x+3y+zh=8$0x+3y+zh=8$

Das ist unsere Gleichung III′$II{I}^{\prime }$. Unser neues Gleichungssystem:

I.x+2y−z=8$I.x+2y-z=8$

II′.−3y−5z=−4$I{I}^{\prime }.-3y-5z=-4$

III′.3y+z=8$II{I}^{\prime }.3y+z=8$

Du siehst jetzt, dass wir in den Gleichungen II′$I{I}^{\prime }$ und III′$II{I}^{\prime }$ nur noch zwei Variablen haben. Daher können wir jetzt – wie oben – das Additionsverfahren für ein LGS mit 2 Variablen anwenden. Das Schwierigste ist also schon geschafft!

II′.−3y−5z=−4$I{I}^{\prime }.-3y-5z=-4$

III′.3y+z=8$II{I}^{\prime }.3y+z=8$

Wir sehen sofort, dass wir hier die Variable y$y$ sehr leicht eliminieren können, sogar ohne umzuformen. Daher können wir gleich addieren:

−3y−5z=−4$-3y-5z=-4$

+ 3y+z=8$3y+z=8$

0y−4z=4$0y-4z=4$

Jetzt haben wir nur noch eine Variable übrig und können zum nächsten Schritt übergehen.

4. Rechne die Variable aus

Die letzte verbleibende Variable ist leicht auszurechnen:

−4z=4|÷(−4)$-4z=4|÷(-4)$

z=−1$z=-1$

5. Setze das Ergebnis in eine der ursprünglichen Gleichungen ein

Hier musst du beachten: Wir setzen z=−1$z=-1$ nicht in die Gleichungen unseres Systems mit 3 Variablen ein, sondern in das 2er-System, das wir errechnet haben. Denn im ursprünglichen System haben wir ja drei Variablen, sodass uns das Einsetzen einer Variablen nicht weiterbringen würde.

Wir nehmen also dieses System:

II′.−3y−5z=−4$I{I}^{\prime }.-3y-5z=-4$

III′.3y+z=8$II{I}^{\prime }.3y+z=8$

Wir setzen z=−1$z=-1$ in eine der Gleichungen ein - nehmen wir gleich die erste:

−3y−5⋅(−1)=−4$-3y-5\cdot (-1)=-4$

Jetzt können wir y$y$ ausrechnen:

−3y+5=−4|−5$-3y+5=-4|-5$

−3=−9|÷(−3)$-3=-9|÷(-3)$

y=3$y=3$

Jetzt kennen wir schon zwei Variablen. Damit könne wir jetzt zu unserem ursprünglichen Gleichungssystem mit drei Variablen zurückkehren und y\9und\(z$y\text{9}und\text{(}z$ dort einsetzen. Wir nehmen einfach wieder die erste Gleichung:

I.x+2y−z=8$I.x+2y-z=8$

Wir setzen ein:

y=3$y=3$

z=−1$z=-1$

x+2⋅3−(−1)=8$x+2\cdot 3-(-1)=8$

x+6+1=8$x+6+1=8$

x+7=8|−7$x+7=8|-7$

x=1$x=1$

Jetzt kennen wir alle drei Variablen!

6. Mach die Probe

Wir machen die Probe, indem wir unsere drei Gleichungen mit unseren drei Ergebnissen überprüfen:

x=1$x=1$

y=3$y=3$

z=−1$z=-1$

I.x+2y−z=8$I.x+2y-z=8$

II.−x−5y−4z=−12$II.-x-5y-4z=-12$

III.−x+y+2z=0$III.-x+y+2z=0$

1. Gleichung

x+2y−z=8$x+2y-z=8$

1+2⋅3−(−1)=8$1+2\cdot 3-(-1)=8$

8=8$8=8$

2. Gleichung

−x−5y−4z=−12$-x-5y-4z=-12$

−1−5⋅3−4⋅(−1)=−12$-1-5\cdot 3-4\cdot (-1)=-12$

−12=−12$-12=-12$

3. Gleichung

−x+y+2z=0$-x+y+2z=0$

−1+3+2⋅(−1)=0$-1+3+2\cdot (-1)=0$

0=0$0=0$

7. Schreibe die Lösungsmenge auf

L=1;3;−1$L=1;3;-1$

Du wirst auf Aufgaben zum Additionsverfahren stoßen, die nicht so eindeutig lösbar sind, wie du es oben gesehen hast. Hier zeigen wir dir zwei Sonderfälle.

1. Additionsverfahren bei Aufgaben ohne Lösung

Schau dir dieses Gleichungssystem an:

I.−3x−y=7$I.-3x-y=7$

II.−6x−2y=−18$II.-6x-2y=-18$

Lösen wir das schnell einmal auf. Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit -2 und addieren dann:

−3x−y=7|⋅(−2)$-3x-y=7|\cdot (-2)$

6x+2y=−14$6x+2y=-14$

Wir addieren und erhalten als Ergebnis:

6x+2y=−14$6x+2y=-14$

+ −6x−2y=−18$-6x-2y=-18$

0x+0y=−32$0x+0y=-32$

Hier steht also am Ende 0=−32$0=-32$. Das ist falsch. Das bedeutet: Für dieses Gleichungssystem gibt es keine Lösung.

Grafisch sieht das dann übrigens so aus:

Die Graphen der Funktion haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt – daher gibt es auch keine gemeinsame Lösung für das Gleichungssystem.

Du schreibst also:

L={ } $L=\{\}$

2. Additionsverfahren mit unendlich vielen Lösungen

Dir kann beim Üben des Additionsverfahrens auch Folgendes passieren:

I.4x−y=3$I.4x-y=3$

II.−12x+3y=−9$II.-12x+3y=-9$

Wir nehmen die erste Gleichung mal drei, um beim Addieren eine Variable zu eliminieren:

4x−y=3|⋅3$4x-y=3|\cdot 3$

12x−3y=9$12x-3y=9$

Wir addieren:

12x−3y=9$12x-3y=9$

+ −12x+3y=−9$-12x+3y=-9$

0x+0y=0$0x+0y=0$

Diese Aussage ist immer wahr. Daher hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Wie kann das passieren? Das wird deutlich, wenn du dir die Graphen dazu ansiehst:

Die beiden Graphen liegen genau übereinander. Das heißt: Alle Lösungen für die eine Gleichung müssen auch für die andere Gleichung richtig sein. 

Um die Lösungsmenge zu bestimmen, stellen wir eine der beiden Gleichungen nach x$x$ um:

4x−y=3|+y$4x-y=3|+y$

4x=y+3|÷4$4x=y+3|÷4$

x=y+34$x=\frac{y+3}{4}$

Für alle x$x$, für die das gilt, funktioniert das Gleichungssystem.

Für die Lösungsmenge schreibs du:

L={ y+34} $L=\{\frac{y+3}{4}\}$

Du sollst eine Gleichung mit dem Additionsverfahren lösen, aber es befinden sich Brüche darin? Kein Problem. Du gehst genauso vor, wie du es gelernt hast, nur dass du vorher einfach alle Brüche eliminierst. 

Das geht so:

I.13x+12y=69$I.\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{6}{9}$

II.13x−15y=1215$II.\frac{1}{3}x-\frac{1}{5}y=\frac{12}{15}$

Wir nehmen die erste Gleichung mal 3, um den Bruch vor der Variablen x$x$ aufzulösen:

13x−12y=96|⋅3$\frac{1}{3}x-\frac{1}{2}y=\frac{9}{6}|\cdot 3$

x+23y=276$x+\frac{2}{3}y=\frac{27}{6}$

Das wiederholen wir jetzt noch einmal mit 2, dann fällt auch der Bruch vor dem y$y$ weg:

x+32y=276|⋅2$x+\frac{3}{2}y=\frac{27}{6}|\cdot 2$

2x+3y=546$2x+3y=\frac{54}{6}$

Wir kürzen den Bruch:

2x+3y=9$2x+3y=9$

Fertig. Und so machen wir das für die zweite Gleichung:

13x−15y=1215|⋅3$\frac{1}{3}x-\frac{1}{5}y=\frac{12}{15}|\cdot 3$

x−35y=3615|⋅5$x-\frac{3}{5}y=\frac{36}{15}|\cdot 5$

5x−3y=18015$5x-3y=\frac{180}{15}$

5x−3y=12$5x-3y=12$

Jetzt kannst du mit dem Additionsverfahren Aufgaben mit Brüchen lösen!

• Mit dem Additionsverfahren kannst du Aufgaben zu LGS (linearen Gleichungssystemen) lösen.
  
• Dazu formst du Gleichungen so um, dass du durch geschicktes Addieren Variablen eliminieren kannst.
  
• Das wiederholst du so lange, bis du eine Gleichung mit nur einer Variablen hast. Diese kannst du ausrechnen und mit ihrer Hilfe dann auch die anderen Gleichungen lösen.
  
• Das Additionsverfahren kann eine eindeutige Lösung liefern, aber auch keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.
  
• Für sehr große Gleichungssysteme ist das Gauß-Verfahren besser geeignet. 
  

Tipp: Schau dir unten auch unser Arbeitsblatt zum Additionsverfahren an.