Mathematik – Tangens

Der Tangens ist eine trigonometrische Funktion. Ein anderer Begriff ist „Winkelfunktion“. Die drei wichtigsten Winkelfunktionen sind der Tangens, die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion. Du kannst den Tangens mathematisch so abkürzen: tan(α)$\tan (\alpha )$.

So sieht der Graph der Tangensfunktion aus:

Wichtige Eigenschaften der Tangensfunktion
Am Graphen kannst du schon einige Eigenschaften des Tangens erkennen. Hier die wichtigsten im Überblick:

• Die Tangensfunktion hat Nullstellen, und zwar immer im Abstand π$\pi$. So findest du Nullstellen zum Beispiel bei −2π$-2\pi$, −π$-\pi$, bei 0, π$\pi$, 2π$2\pi$ und so weiter. 
• Anders als die Sinus- und die Cosinusfunktion hat die Tangensfunktion keine Extremstellen.  
• Die Tangensfunktion ist punktsymmetrisch. 
• Die Ableitung des Tangens ist f′(x)=1cos2(x)$f^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}$.
• Du kannst den Tangens auch integrieren: Die Stammfunktion des Tangens ist F(x)=−ln(|cos(x)|)+C$F(x)=-\ln \left(\left|\cos (x)\right|\right)+C$

Interessant sind auch die Definitionslücken. Die Definition für den Tangens lautet:

tan(α)=sin(α)cos(α)$\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}$

Wir gehen darauf gleich noch näher ein, aber du kannst hier schon erkennen, tan(α)$\tan (\alpha )$ nicht definiert ist, wenn cos(α)$\cos (\alpha )$ null wird – denn dann würde ja im Nenner des Bruchs eine Null stehen, und durch null dürfen wir nicht teilen. Wo die Cosinusfunktion Nullstellen hat, hat deshalb die Tangensfunktion Definitionslücken. Diese kannst du auch im Graphen sehen. 
Der Tangens gibt dir im rechtwinkligen Dreieck  das Verhältnis zwischen den Winkeln α$\alpha$ und β$\beta$ und den beiden Seiten a und b an. Um zu verstehen, wie das funktioniert, schauen wir uns dazu ein Bild von einem rechtwinkligen Dreieck und die entsprechenden Begriffe an.

Hier siehst du ein rechtwinkliges Dreieck. Es heißt so, weil der Winkel am Punkt C ein rechter Winkel ist, also genau 90 Grad hat. Die anderen beiden Winkel nennen wir Alpha (α$\alpha$) und Beta (β$\beta$).

Im rechtwinkligen Dreieck ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel immer die längste Seite. Sie heißt Hypotenuse (Seite c). 

Wenn du dir den Winkel Alpha anschaust, dann liegt er zwischen der Hypotenuse und der Seite b. Die Seite b heißt Ankathete, weil sie am Winkel anliegt. Gegenüber liegt die Seite a. Das ist die Gegenkathete. 

Für den Winkel Beta ist es umgekehrt: Die Ankathete ist die Seite a und gegenüber liegt die Gegenkathete b. 

Super! Schauen wir uns jetzt an, was du mit dem Tangens berechnen kannst. 

Du kannst mit dem Tangens im Dreieck fehlende Seiten und Winkel berechnen – solange es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Dann gelten nämlich diese Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens im Dreieck:

sin(α)=GegenkatheteHypotenuse$\sin (\alpha )=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

cos(α)=AnkatheteHypotenuse$\cos (\alpha )=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

tan(α)=GegenkatheteAnkathete$\tan (\alpha )=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

Aber Moment – oben haben wir doch gesagt, dass der Tangens sin/cos$\sin /\cos$ (Sinus durch Cosinus) ist? Stimmt auch, denn schau, was passiert, wenn wir das für den Tangens von Alpha einsetzen:

tan(α)=sin(α)cos(α)=GegenkatheteHypotenuseAnkatheteHypotenuse=GegenkatheteHypotenuse⋅HypotenuseAnkathete=GegenkatheteAnkathete$\tan (\alpha )=\frac{\sin (\alpha )}{\cos (\alpha )}=\frac{\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}}{\frac{Ankathete}{Hypotenuse}}=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}\cdot \frac{Hypotenuse}{Ankathete}=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

Die Formel für den Tangens stimmt also. 

So sehen die Formeln konkret im Dreieck aus:

tan(α)=GegenkatheteAnkathete=ab$\tan (\alpha )=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{a}{b}$

Das können wir auch für den Winkel Beta aufschreiben: 

tan(β)=GegenkatheteAnkathete=ba$\tan (\beta )=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{b}{a}$

So einfach ist die Berechnung mit dem Tangens. Jetzt musst du nur herausfinden, welche Werte du gegeben hast und ob du die Formel für den Tangens umstellen musst. Das zeigen wir dir jetzt an zwei Beispielen.

Du hast ein Dreieck mit einem rechten Winkel und den Seitenlängen a = 6 cm und b = 8 cm gegeben. Wie kannst du mit dem Tangens den Winkel Alpha berechnen? 

Für den Tangens brauchst du Gegenkathete und Ankathete. Beide hast du hier gegeben. Deshalb musst du die Werte nur in unsere Formel von oben einsetzen:

tan(α)=GegenkatheteAnkathete=ab=6cm8cm=0,75$\tan (\alpha )=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}=\frac{a}{b}=\frac{6cm}{8cm}=0,75$

Aber 0,75 ist ja nicht die Größe eines Winkels – was nun? 

Was wir ausgerechnet haben, ist der Tangens des Winkels. Um den Winkel herauszufinden, müssen wir die Umkehrfunktion des Tangens anwenden. Sie heißt Arkustangens. Manchmal siehst du auch die Schreibweise „Arcus“-Tangens. 

Tangens mit dem Taschenrechner berechnen
Auf deinem Taschenrechner findest du die Taste „tan$\tan$“. Das ist die Taste für den Tangens. Wir brauchen hier aber den Arkustangens, manchmal auch „Tangens hoch minus 1“ genannt. Und genau das steht auf der Taste auf dem Taschenrechner: entweder „arctan$\arctan$“ oder „tan−1${\tan }^{-1}$“.

Du gibst also unser Ergebnis 0,75 von oben ein und betätigst die entsprechende Taste. Achte dabei darauf, dass dein Taschenrechner auf „DEG“ eingestellt ist. Es gibt auch die Angabe „RAD“ auf manchen Taschenrechnern – sie steht für das Bogenmaß, das du hier aber nicht brauchst. 

So findest du heraus:

α≈36,87°$\alpha \approx 36,87°$

Jetzt haben wir die Aufgabe gelöst!

Tipp: Manche Werte brauchst du nicht auszurechnen, sondern du kannst sie dir direkt merken. Dabei hilft dir diese Tabelle mit Tangens-Werten weiter:

Warum ist der Tangens von 90 Grad nicht definiert? Im rechtwinkligen Dreieck ist das leicht nachzuvollziehen: Du hast ja bereits einen Winkel (γ$\gamma$) von 90 Grad. Die Winkelsumme im Dreieck ist aber immer 180 Grad, das heißt, du hast nur noch 90 Grad auf die anderen beiden Winkel zu verteilen. Wenn aber der Winkel Alpha nun 90 Grad groß wird, bleibt für Beta nichts übrig – und so kann kein Dreieck entstehen. 

Diesmal haben wir ein Dreieck mit einem rechten Winkel, der Seitenlänge a = 5 cm und dem Winkel α=45°$\alpha =45°$. Wir wollen die Seitenlänge b herausfinden. 

Dazu müssen wir die Formel für den Tangens umstellen. Die fehlende Seite b ist für den Winkel α$\alpha$ die Ankathete. Nach dieser müssen wir also die Formel auflösen: 

tan(α)=ab∣⋅b$\tan (\alpha )=\frac{a}{b}\mid \cdot b$

b⋅tan(α)=a∣÷tan(α)$b\cdot \tan (\alpha )=a\mid ÷\tan (\alpha )$

b=atan(α)$b=\frac{a}{\tan (\alpha )}$

Um einsetzen zu können, müssen wir jetzt noch den Tangens des Winkels Alpha ausrechnen. Das machen wir wie oben beschrieben mit dem Taschenrechner – oder du kannst direkt aus der Tabelle mit Tangens-Werten ablesen:

tan(α)=tan(45°)=1$\tan (\alpha )=\tan (45°)=1$

Jetzt können wir einsetzen:

b=5cm1=5cm$b=\frac{5cm}{1}=5cm$  

Die Seite b ist ebenfalls 5 cm lang. 

• Der Tangens ist eine trigonometrische Funktion – wie auch Sinus und Cosinus.
• Der Tangens hat Definitionslücken, nämlich genau dort, wo die Cosinusfunktion null wird.
• Im rechtwinkligen Dreieck verrät dir der Tangens das Verhältnis zwischen Winkeln und Seiten (Gegenkathete und Ankathete eines Winkels).
• Um Winkel aus dem Tangens zu berechnen, kannst du dir merken: Tangens ist gleich Gegenkathete durch Ankathete. Schau dir zum Verständnis unsere Beispiele dazu an.
• Die Umkehrfunktion des Tangens heißt Arkustangens. Du brauchst sie, um einen Winkel auszurechnen, dessen Tangenswert du kennst.