Mathematik – Koordinatensystem

Ungefähr in Klasse 5 lernst du das Koordinatensystem zum ersten Mal kennen. Du wirst damit in deiner gesamten Schulzeit immer wieder arbeiten. Deshalb zeigen wir hier genau, wie du ein Koordinatensystem zeichnen kannst und wie du Punkte abliest und einträgst.

Du kannst in ein Koordinatensystem Bilder, mathematische Figuren, Punkte oder – später – die Graphen von Funktionen eintragen. Dabei helfen dir zwei Achsen und ein Gitter, an dem du dich orientieren kannst.

So sieht ein leeres Koordinatensystem aus

Hier kannst du schon die beiden Achsen sehen, die sich bei der 0 schneiden. Die beiden Achsen heißen x-Achse (sie geht von links nach rechts) und y-Achse (sie geht von unten nach oben). Deshalb heißt dieses Koordinatensystem auch x-y-Koordinatensystem.

Die Achsen stehen senkrecht zueinander und treffen sich im Ursprung. Mathematisch schreibt man den Ursprung so: (0|0). Das bedeutet, dass du sowohl auf der x-Achse als auch auf der y-Achse bei 0 bist.

Du siehst auch, dass die Achsen in Abschnitte (1, 2, 3 etc.) eingeteilt sind. Mehr dazu verraten wir dir gleich noch. Mithilfe dieser Abstände kannst du in das Koordinatensystem Punkte eintragen. In der 5. oder 6. Klasse zeichnest du vielleicht aber auch Figuren im Koordinatensystem – Dreiecke, Quadrate oder Rechtecke zum Beispiel.

So sieht ein Dreieck im Koordinatensystem aus:

Die dünnen, hellgrauen Linien bilden das Koordinatengitter. Es hilft dir, dich besser im Koordinatensystem zu orientieren. Wenn du ein Koordinatensystem zeichnen sollst, musst du nicht unbedingt das gesamte Gitter zeichnen – nimm einfach kariertes Papier!

In höheren Klassen lernst du ein Koordinatensystem mit 3 Achsen kennen. Es hat eine x-Achse, eine y-Achse und eine z-Achse. Deshalb heißt es auch x-y-z-Koordinatensystem. Der Ursprung heißt im 3D-Koordinatensystem (0|0|0).

Du brauchst diese drei Achsen, um Vektoren im Koordinatensystem einzutragen. So sieht ein dreidimensionales Koordinatensystem aus:

Wir konzentrieren uns auf dieser Seite auf das Koordinatensystem mit x- und y-Achse, also mit nur zwei Dimensionen. Wenn du mehr über das 3D-Koordinatensystem wissen möchtest, dann schau auf unsere Seiten zur Vektorrechnung und zu Vektoren.

Für die Beschriftung eines Koordinatensystems ist es besonders wichtig, dass du den Achsen die richtigen Namen gibst. 

Beginne also beim Zeichnen eines Koordinatensystems immer mit den beiden Achsen:

Danach geht es an die Einteilung der Achsen. Wichtig ist hier vor allem, dass die Abstände regelmäßig sind. Wenn du zum Beispiel nach jedem Zentimeter einen Strich zur Einteilung setzt und der Abstand 1 ist, dann muss er immer 1 sein. Du kannst dann nicht weiter rechts auf der x-Achse plötzlich die Zahl 6 und nach einem Zentimeter die Zahl 9 schreiben.

Tipp: Vergiss beim Beschriften der Achsen nicht die Pfeilspitzen!

Hier ein Beispiel für korrekte Beschriftung eines Koordinatensystems:

Die Abstände zwischen den Einteilungsstrichen können auch größer oder kleiner sein – sie müssen nur immer gleich sein.

Hier ein Beispiel für ein Koordinatensystem mit größeren Abständen:

Und hier siehst du ein Beispiel für ein Koordinatensystem mit kleineren Abständen:

Übrigens müssen nicht immer Zahlen an den Achsen stehen. Wenn du später mit Funktionen im Koordinatensystem arbeitest, kannst du auch eine andere Einteilung wählen – zum Beispiel mit π:

Darüber lernst du aber später mehr!

Bisher haben wir dir hier das positive Koordinatensystem gezeigt. Es gibt auch noch ein erweitertes Koordinatensystem. Dieses Koordinatensystem hat auf der x- und y-Achse nicht nur positive, sondern auch negative Werte:

So fertigst du die positive und negative Einteilung der Achsen an:

• x-Achse: Positive Werte liegen rechts vom Ursprung und negative Werte liegen links vom Ursprung.
• y-Achse: Positive Werte liegen oberhalb des Ursprungs und negative Werte liegen unterhalb des Ursprungs.
  

Ansonsten bleibt die Einteilung so, wie du es bereits gelernt hast. Dadurch ergeben sich im Koordinatensystem Quadranten, also vier Teile. Der erste Quadrant liegt rechts oben. Die anderen werden entgegen dem Uhrzeigersinn mit römischen Zahlen beschriftet:

1. Quadrant: Er liegt rechts oben und hat nur positive x-Werte und nur positive y-Werte.
2. Quadrant: Er liegt links oben und hat negative x-Werte und positive y-Werte.
3. Quadrant: Er liegt links unten und hat negative x-Werte und negative y-Werte.
4. Quadrant: Er liegt rechts unten und hat positive x-Werte und negative y-Werte.

Schauen wir uns an, wie du einen Punkt im Koordinatensystem eintragen kannst. Jeder Punkt im Koordinatensystem hat immer einen x-Wert und einen y-Wert. Wenn du einen Punkt vorgegeben hast, wird die x-Koordinate immer zuerst genannt:

P(x|y)

Schauen wir uns zum Beispiel diesen Punkt an:

P(2|3)

Die x-Koordinate ist 2 und die y-Koordinate ist 3. So gehst du vor:

Beginne immer mit der x-Koordinate, hier also 3. Schau dir zunächst das Vorzeichen an: Bei einem positiven Vorzeichen gehst du im Koordinatensystem vom Ursprung aus nach rechts, bei einem negativen Vorzeichen nach links.
Hier haben wir ein positives Vorzeichen, also gehen wir vom Ursprung aus im Koordinatensystem genau drei Einheiten nach rechts:

• Schau dir als Nächstes die y-Koordinate an. Sie ist 2. Bei der y-Koordinate gehst du bei einem positiven Vorzeichen nach oben und bei einem negativen Vorzeichen nach unten.
• Wir beginnen diesmal nicht im Ursprung, sondern an der Stelle, die wir auf der x-Achse bereits gefunden haben. Da wir ein positives Vorzeichen haben, gehen wir von hier aus zwei Schritte nach oben:

So haben wir unseren Punkt P gefunden.

Schauen wir uns noch ein Beispiel an. Diesmal sollst du den Punkt (-2|4) in das Koordinatensystem eintragen.

• Du beginnst wieder im Ursprung. Aber die x-Koordinate (-2) hat diesmal ein negatives Vorzeichen. Daher gehen wir diesmal zwei Schritte nach links.
• Von dort aus geht es vier Schritte nach oben, denn die x-Koordinate (4) hat ein positives Vorzeichen.

Und hier liegt der Punkt:

Hier siehst du noch einige Beispiele für Punkte im Koordinatensystem:

A(-3|2)

B(1|4)

C(2|-1)

D(-1|2)

Du siehst: Es ist sehr wichtig, dass du die x- und die y-Koordinaten nicht verwechselst. Beginne daher immer konsequent mit dem Eintragen auf der x-Achse – so passieren weniger Fehler.

Wenn du einen Punkt im Koordinatensystem ablesen sollst, gehst du so vor:

• Beginne bei deinem Punkt.
• Gehe von dort aus in einer senkrechten Linie nach unten oder nach oben, bis du die x-Achse erreichst. Lies dort die x-Koordinate ab.
• Geh zurück zu deinem Punkt. Von dort aus gehst du diesmal waagerecht nach links oder rechts, bis du auf die y-Achse triffst. Dort findest du die y-Koordinate.

Beispiel:

Du sollst den Punkt E ablesen und seine Koordinaten aufschreiben.

• Zuerst gehst du vom Punkt E aus in einer senkrechten Linie nach unten, bis du zur x-Achse kommst. Dort findest du die x-Koordinate: 1,5.
• Geh zurück zum Punkt E und gehe diesmal waagerecht nach links, bis du auf die y-Achse triffst. Dort findest du die y-Koordinate: 2,5.
• Dein Punkt ist E(1,5/2,5).

In höheren Klassen wirst du nicht nur Punkte oder Bilder im Koordinatensystem zeichnen und ablesen, sondern ganze Funktionen. Du kannst deren Graphen im Koordinatensystem darstellen oder sogar aus ihnen die Funktionen ablesen. Mehr darüber erfährst du auf unseren Seiten zu linearen Funktionen und weiteren ganzrationalen Funktionen.

• Ein Koordinatensystem besteht aus einer x-Achse (waagerecht) und einer y-Achse (senkrecht), die sich im Ursprung (0|0) schneiden. Sie stehen senkrecht aufeinander.
• Neben positiven Werten gibt es im erweiterten Koordinatensystem auch negative Werte auf der x- und y-Achse. Dadurch entstehen vier Quadranten, die jeweils verschiedene Kombinationen von positiven und negativen Werten enthalten.
• Punkte werden im Koordinatensystem durch ihre x- und y-Koordinate bestimmt: P(x|y). Der x-Wert wird zuerst genannt und zeigt an, wie weit du nach rechts (positiv) oder links (negativ) gehen musst. Der y-Wert zeigt, wie weit du nach oben (positiv) oder unten (negativ) gehen musst.
• Die Achsen sind in regelmäßige Abschnitte eingeteilt (z. B. 1, 2, 3). Diese Abstände müssen immer gleich sein.
  
• Es gibt auch 3D-Koordinatensysteme. Sie haben drei Achsen: eine x-Achse, eine y-Achse und eine z-Achse.

Was sind Koordinaten einfach erklärt?

Du kannst dir Koordinaten wie eine Adresse vorstellen. Wenn du einen Punkt im Koordinatensystem finden sollst, schaust du dir seine beiden Koordinaten an – die x-Koordinate und die y-Koordinate – und kannst so genau feststellen, wo der Punkt liegen muss. Es gibt jede „Adresse“ nur ein einziges Mal.

Wie liest man die Koordinaten x und y ab?

Gehe von deinem Punkt aus in einer geraden, senkrechten Linie nach oben oder unten, bis du zur x-Achse kommst. Dort kannst du die x-Koordinate ablesen. Dann gehst du zu deinem Punkt zurück. Diesmal gehst du in einer geraden, waagerechten Linie nach links oder rechts, bis du auf die y-Achse triffst. Dort findest du die y-Koordinate.

Welche Koordinate wird zuerst genannt?

Die x-Koordinate wird immer zuerst genannt.

Wie trage ich in ein Koordinatensystem ein?

Du beginnst immer im Ursprung. Von dort aus gehst du entlang der x-Achse so viele Einheiten nach links (bei negativem Vorzeichen) oder nach rechts (bei positivem Vorzeichen), wie die x-Koordinate vorgibt. Von dort aus gehst du dann so viele Einheiten nach unten (bei negativem Vorzeichen) oder nach oben (bei positivem Vorzeichen), wie die y-Koordinate vorgibt. Dort liegt dein Punkt.