Mathematik – Gleichschenkliges Dreieck

Du siehst, die Definition eines gleichschenkligen Dreiecks ist sehr einfach. Daraus ergeben sich aber eine Menge spannender Eigenschaften, die wir uns jetzt Schritt für Schritt anschauen.

Übrigens: Ein Dreieck, in dem alle drei Seiten gleich lang sind, ist ein Sonderfall des gleichschenkligen Dreiecks – es heißt gleichseitiges Dreieck. 

Diese Eigenschaften hat ein gleichschenkliges Dreieck:

• Zwei Seiten sind genau gleich lang. 
• Dadurch sind die Winkel, die diesen beiden gleich langen Seiten gegenüberliegen, ebenfalls gleich groß.
• Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse ist die Höhe auf der Seite, die nicht gleich lang ist wie die anderen beiden.
• Ein gleichschenkliges Dreieck kann spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig sein. Schau dir zur Auffrischung die Winkelarten an. 
• Die Winkelsumme im gleichschenkligen Dreieck ist – wie in allen Dreiecken – 180 °.

Bevor wir dir zeigen, wie du ein gleichschenkliges Dreieck berechnen kannst, gehen wir zuerst alle wichtigen Fachbegriffe durch. Dann bist du sattelfest und kannst alles gut verstehen. Tipp: Schau beim Lesen dieser Seite ruhig immer wieder in der folgenden Liste nach.

• Schenkel: Die beiden gleich langen Seiten im gleichschenkligen Dreieck heißen Schenkel – daher auch der Name des Dreiecks. Sie werden mit einem kleinen a gekennzeichnet.
• Basis: Die dritte Seite des Dreiecks, die eine andere Länge hat, wird Basis oder Basisseite genannt. Sie bekommt den kleinen Buchstaben c.
• Basiswinkel: Die Winkel, die an den beiden Seiten der Basis liegen, heißen Basiswinkel. Diese Winkel sind im gleichschenkligen Dreieck gleich groß. Wir nennen sie α (Alpha) und β (Beta).
• Höhe: Die Höhe hc$h_c$ eines Dreiecks verläuft senkrecht zu einer Seite und endet im gegenüberliegenden Punkt. Im gleichschenkligen Dreieck interessiert uns vor allem die Höhe, die senkrecht zur Basisseite c steht. Wir nennen sie deshalb hc$h_c$. Du kannst aber auch mit der Höhe der Seite a rechnen, die dann ha$h_a$ heißt. 
• Spitze: Die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks ist der Eckpunkt, der gegenüber der Basisseite liegt.
• Mittelsenkrechte: Wie der Name verrät, beginnt eine Mittelsenkrechte am Mittelpunkt einer Strecke und steht senkrecht zur Strecke. Beim gleichschenkligen Dreieck ist die Mittelsenkrechte der Basisseite c auch gleichzeitig die Höhe hc$h_c$.
• Seitenhalbierende: Eine Seitenhalbierende beginnt am Mittelpunkt einer Seite und geht durch den gegenüberliegenden Punkt. Bei gleichschenkligen Dreiecken ist die Seitenhalbierende gleich der Höhe der Basisseite (und, wie du jetzt weißt, auch gleich der Mittelsenkrechten auf der Basisseite).
• Winkelhalbierende: Eine Winkelhalbierende beginnt an einem Eckpunkt und teilt den Winkel in zwei gleich große kleinere Winkel. 

Schauen wir uns jetzt noch die Beschriftung im gleichschenkligen Dreieck an. Dann weißt du genau, welche Bezeichnungen was bedeuten.

• Eckpunkte: Die Eckpunkte - in allen Dreiecken - bezeichnest du mit den Großbuchstaben A,B$A,B$ und C$C$. Dabei beginnst du an der linken Ecke und arbeitest dich dann gegen den Uhrzeigersinn vor.
  
• Seiten: Normalerweise bekommt eine Seite jeweils denselben Buchstaben wie der Eckpunkt, der ihr gegenüberliegt - nur klein: a,b$a,b$ und c$c$. Da wir im gleichschenkligen Dreieck aber zwei gleich lange Seiten haben, nennen wir zwei Seiten a$a$ und die dritte Seite c$c$.
  
• Winkel: Die Winkel bekommen kleine griechische Buchstaben, und zwar immer passend zum Eckpunkt, an dem sie liegen: Eckpunkt A$A$ 🡪 Winkel α (Alpha), Eckpunkt B$B$ 🡪 Winkel β (Beta) und Eckpunkt C$C$ 🡪 Winkel γ (Gamma).
  

Hier sind einige wichtige Formeln, die du brauchst, um ein gleichschenkliges Dreieck zu berechnen:

Formeln im gleichschenkligen Dreieck

Höhe: hc=124a2−c2−−−−−−−√$h_c=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2-c^2}$

Umfang: U=2a+c$U=2a+c$

Fläche: A=14⋅c⋅4a2−c2−−−−−−−√$A=\frac{1}{4}\cdot c\cdot \sqrt{4a^2-c^2}$

Sieht kompliziert aus? Ist es nicht, wenn du einmal die Buchstaben verstanden hast. Das machen wir jetzt zusammen!

Schauen wir uns einmal die Herleitung der Formel für die Höhe im gleichschenkligen Dreieck an. Dazu brauchst du den Satz des Pythagoras:

Satz des Pythagoras

Im rechtwinkligen Dreieck gilt: a2+b2=c2$a^2+b^2=c^2$

Hier geht es ja aber gar nicht um rechtwinklige Dreiecke, sondern um gleichschenklige? Stimmt! Aber wenn wir die Höhe über der Basis c als Seite eines Dreiecks betrachten, ergibt sich doch ein rechtwinkliges Dreieck – auf das wir den Satz des Pythagoras anwenden können.

Dieses rechtwinklige Dreieck, das wir jetzt betrachten, besteht aus unserer Seite a$a$, der Hälfte der Seite c$c$ (also 12c$\frac{1}{2}c$) und der Höhe hc$h_c$. Wir suchen zuerst die Hypotenuse – das ist immer die längste Seite, hier also die Seite a$a$. Daher können wir die allgemeine Formel des Satzes des Pythagoras für unser Dreieck umschreiben. Lass dich dabei nicht verwirren: In der allgemeinen Formel ist a$a$ eine der kurzen Seiten – nicht, wie bei uns, die Hypotenuse.

Allgemein: a2+b2=c2$a^2+b^2=c^2$

In unserem Beispiel: hc 2+(12c)2=a2$h_c{}^2+{\left(\frac{1}{2}c\right)}^2=a^2$

Daraus können wir jetzt eine Formel für die Höhe im gleichschenkligen Dreieck ermitteln, indem wir die Formel umstellen:

hc 2=a2−(12c)2$h_c{}^2=a^2-{\left(\frac{1}{2}c\right)}^2$

hc=a2−(12c)2−−−−−−−−−√$h_c=\sqrt{a^2-{\left(\frac{1}{2}c\right)}^2}$

hc=a2−14c2−−−−−−−√$h_c=\sqrt{a^2-\frac{1}{4}{c}^2}$

Aus der Schule kennst du vielleicht auch diese Schreibweise:

hc=124a2−c2−−−−−−−√$h_c=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2-c^2}$

Das Ergebnis ist dasselbe. Du kannst also die Formel nutzen, die du dir leichter merken kannst (oder die dein:e Lehrer:in vorgibt).

Beispiel: Höhe berechnen

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen a=5cm$a=5\text{cm}$ und c=7cm$c=7\text{cm}$. Berechne die Höhe.

Wir setzen die gegebenen Werte in unsere Formel für das gleichschenklige Dreieck ein:

hc=124a2−c2−−−−−−−√$h_c=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2-c^2}$

Nun setzen wir die Werte für a$a$ und c$c$ ein:

hc=124⋅(5cm)2−(7cm)2−−−−−−−−−−−−−−−−√$h_c=\frac{1}{2}\sqrt{4\cdot (5\text{cm}{)}^2-(7\text{cm}{)}^2}$

hc=124⋅25cm2−49cm2−−−−−−−−−−−−−−−√$h_c=\frac{1}{2}\sqrt{4\cdot 25{\text{cm}}^2-49{\text{cm}}^2}$

hc=12100cm2−49cm2−−−−−−−−−−−−−−√$h_c=\frac{1}{2}\sqrt{100{\text{cm}}^2-49{\text{cm}}^2}$

hc=1251cm2−−−−−−√$h_c=\frac{1}{2}\sqrt{51{\text{cm}}^2}$

hc≈12⋅7,14cm$h_c\approx \frac{1}{2}\cdot 7,14\text{cm}$

hc≈3,57cm$h_c\approx 3,57\text{cm}$

Beispiel: Seitenlänge a oder c berechnen

Mit derselben Formel kannst du auch die Seitenlängen a$a$ oder c$c$ berechnen – je nachdem, was du gegeben hast. Schauen wir uns auch dazu ein Beispiel an, bei dem wir die Basis im gleichschenkligen Dreieck berechnen:

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Seitenlänge a=6,5cm$a=6,5\text{cm}$ und der Höhe hc=4cm$h_c=4\text{cm}$. Berechne die Seitenlänge der Basis c$c$.

Da wir c$c$ suchen, müssen wir unsere Formel entsprechend umstellen:

hc=124a2−c2−−−−−−−√$h_c=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2-c^2}$ | ⋅2$\cdot 2$

2⋅hc=4a2−c2−−−−−−−√|()2$2\cdot h_c=\sqrt{4a^2-c^2}|({)}^2$

(2⋅hc)2=4a2−c2$(2\cdot h_c{)}^2=4a^2-c^2$ | (−2⋅hc)2+c2$(-2\cdot h_c{)}^2+c^2$

c2=4a2−(2⋅hc)2$c^2=4a^2-(2\cdot h_c{)}^2$

c=4a2−(2⋅hc)2−−−−−−−−−−−√$c=\sqrt{4a^2-(2\cdot h_c{)}^2}$

Wir setzen unsere bekannten Werte ein:

c=4⋅(6,5cm)2−2⋅(4cm)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$c=\sqrt{4\cdot (6,5\text{cm}{)}^2-2\cdot (4\text{cm}{)}^2}$

c=4⋅42,25cm2−2⋅16cm2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√$c=\sqrt{4\cdot 42,25{\text{cm}}^2-2\cdot 16{\text{cm}}^2}$

c=169cm2−32cm2−−−−−−−−−−−−−−√$c=\sqrt{169{\text{cm}}^2-32{\text{cm}}^2}$

c=137cm2−−−−−−√$c=\sqrt{137{\text{cm}}^2}$

c≈11,7cm$c\approx 11,7\text{cm}$

Die allgemeine Formel für den Flächeninhalt im Dreieck lautet:

A=12⋅g⋅h$A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$

Dabei ist g$g$ die Grundseite und h$h$ die Höhe.

Wenn du diese beiden Angaben gegeben hast – also zum Beispiel die Seite c$c$ und die Höhe hc$h_c$ dazu, dann kannst du also auch den Flächeninhalt im gleichschenkligen Dreieck berechnen.

Aufgrund der besonderen Eigenschaften des gleichschenkligen Dreiecks kannst du den Flächeninhalt aber auch herausfinden, wenn du nur die Längen der Seiten a$a$ und c$c$ gegeben hast. Denn: Wir können die Höhe hc$h_c$ ja mit der Formel berechnen, die wir uns gerade angeschaut haben:

hc=12⋅4a2−c2−−−−−−−√$h_c=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{4a^2-c^2}$

Diese Formel können wir für h$h$ in die allgemeine Formel einsetzen. Unsere Grundseite g$g$ ist unsere Basis c$c$. Dann erhalten wir durch Einsetzen:

A=12⋅g⋅h$A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$

A=12⋅c⋅12⋅4a2−c2−−−−−−−√$A=\frac{1}{2}\cdot c\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{4a^2-c^2}$

Wir vereinfachen noch ein wenig:

A=14⋅c⋅4a2−c2−−−−−−−√$A=\frac{1}{4}\cdot c\cdot \sqrt{4a^2-c^2}$

Beispiel: Flächenberechnung gleichschenkliges Dreieck

Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen a=3cm$a=3\text{cm}$ und c=5cm$c=5\text{cm}$. Wie groß ist der Flächeninhalt?

Wir setzen ein:

A=14⋅5cm⋅4⋅(3cm)2−(5cm)2−−−−−−−−−−−−−−−−√$A=\frac{1}{4}\cdot 5\text{cm}\cdot \sqrt{4\cdot (3\text{cm}{)}^2-(5\text{cm}{)}^2}$

A=14⋅5cm⋅4⋅9cm2−25cm2−−−−−−−−−−−−−−√$A=\frac{1}{4}\cdot 5\text{cm}\cdot \sqrt{4\cdot 9{\text{cm}}^2-25{\text{cm}}^2}$

A=14⋅5cm⋅36cm2−25cm2−−−−−−−−−−−−−√$A=\frac{1}{4}\cdot 5\text{cm}\cdot \sqrt{36{\text{cm}}^2-25{\text{cm}}^2}$

A=14⋅5cm⋅11cm2−−−−−−√$A=\frac{1}{4}\cdot 5\text{cm}\cdot \sqrt{11{\text{cm}}^2}$

A=14⋅5cm⋅3,32cm$A=\frac{1}{4}\cdot 5\text{cm}\cdot 3,32\text{cm}$

A≈4,15cm2$A\approx 4,15{\text{cm}}^2$

Die Berechnung des Umfangs ist im gleichschenkligen Dreieck ganz einfach. Eigentlich musst du – in jedem Dreieck – nur die Längen aller drei Seiten addieren. Da aber zwei Seiten sowieso gleich lang sind, können wir schreiben:

U=2a+c$U=2a+c$

Ein gleichschenkliges Dreieck mit den Seitenlängen a=3cm$a=3\text{cm}$ und c=5cm$c=5\text{cm}$ hat also einen Umfang von:

U=2⋅3cm+5cm=6cm+5cm=11cm$U=2\cdot 3\text{cm}+5\text{cm}=6\text{cm}+5\text{cm}=11\text{cm}$

Bisher haben wir uns im Bereich der Geometrie bewegt. Vielleicht bist du inzwischen schon bei der Trigonometrie angekommen. Dann hast du viele weitere Möglichkeiten, Seiten und Winkel zu berechnen.

Winkel im gleichschenkligen Dreieck

Es ist hilfreich zu wissen, dass die Summe aller Innenwinkel im Dreieck immer 180° ergibt. Damit kannst du möglicherweise schon viele Winkel berechnen. Wenn dir das nicht weiterhilft, kannst du die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen nutzen.

Da es keine Hypotenuse im gleichschenkligen Dreieck gibt, nehmen wir wieder den Umweg über das rechtwinklige Dreieck, das als eine Seite die Höhe unseres gleichschenkligen Dreiecks hat – wie wir es auch schon bei der Berechnung mit dem Satz des Pythagoras gemacht haben.

Dann gilt für die Berechnung des Winkels Alpha:

α=arcsin(hca)$\alpha =\arcsin \left(\frac{h_c}{a}\right)$

Genauso kannst du auch den Winkel Beta (β) berechnen, da die Basiswinkel ja gleich groß sind.

Seiten im gleichschenkligen Dreieck berechnen

Hier findest du noch die Formeln für die Seiten im gleichschenkligen Dreieck. Du kannst sowohl die Schenkel berechnen als auch die Basis. Das Vorgehen ist immer ähnlich und basiert auf dem rechtwinkligen Dreieck, von dem wir oben gesprochen haben:

a=hsin(α)$a=\frac{h}{\sin (\alpha )}$

c=2⋅a⋅cos(α)$c=2\cdot a\cdot \cos (\alpha )$

Und zuletzt kannst du auch die Höhe berechnen:

hc=a⋅sin(α)$h_c=a\cdot \sin (\alpha )$

ha=c⋅sin(α)$h_a=c\cdot \sin (\alpha )$

Flächeninhalt im gleichschenkligen Dreieck berechnen

Auch für den Flächeninhalt gibt es eine trigonometrische Formel:

A=a2⋅sin(γ)2$A=\frac{a^2\cdot \sin (\gamma )}{2}$

• Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten und damit auch zwei gleich große Winkel. Das Dreieck ist achsensymmetrisch.
• Mit verschiedenen Formeln kannst du im gleichschenkligen Dreieck die Höhe, die Seitenlängen, den Flächeninhalt und die Winkel berechnen.
• Dazu kannst du Rechenwege aus der Geometrie oder der Trigonometrie nutzen. Du brauchst außerdem den Satz des Pythagoras.
• Die wichtigsten Formeln sind:
  Höhe: hc=124a2⋅c2−−−−−−√$h_c=\frac{1}{2}\sqrt{4a^2\cdot c^2}$
  Umfang: U=2a+c$U=2a+c$
  Fläche: A=14⋅c⋅4a2−c2−−−−−−−√$A=\frac{1}{4}\cdot c\cdot \sqrt{4a^2-c^2}$