Mathematik – Oberfläche Pyramide

Eine Pyramide ist ein geometrischer Körper, der dir im Matheunterricht begegnet. Jede Pyramide hat eine Spitze S$S$, eine Grundfläche G$G$ und eine Mantelfläche M$M$.

Die Grundfläche ist die Fläche, auf der die Pyramide steht. Sie kann in jeder Form eines Vielecks auftreten (als Viereck, als Dreieck, als Sechseck usw.). Die Kanten der Grundfläche nennst du Grundkanten.

In einer Pyramide haben die Seitenflächen, also die Flächen zwischen der Grundfläche und der Spitze, jeweils immer die Form eines Dreiecks. Die Kanten der Seitenflächen heißen Seitenkanten. Alle Seitenflächen zusammen ergeben die Mantelfläche der Pyramide. 

Der Abstand zwischen der Pyramidenspitze S$S$ und der Grundfläche G$G$ ist die Höhe h$h$ in einer Pyramide. Die Höhe steht im rechten Winkel (90°) auf der Grundfläche. 

Es gibt noch eine weitere Höhe in der Pyramide, die Höhe der Seitenfläche ha$h_a$. Diese entspricht nicht der Pyramidenhöhe (ha≠h)$(h_a\ne h)$. Außerdem kann es auch mehrere Höhen von Seitenflächen geben (ha,hb,usw.)$(h_a,h_b,usw.)$, wenn die Grundfläche der Pyramide nicht gleichseitig ist (z. B. in einer Pyramide mit rechteckiger Grundfläche). Dann sind die Höhen nämlich unterschiedlich groß. 

Die Oberfläche ( O$O$ ) von der Pyramide ist die Gesamtfläche, die sich aus der Grundfläche G$G$ und der Mantelfläche M$M$ ergibt: 

Oberfläche O=Grundfläche G+Mantelfläche M$OberflächeO=GrundflächeG+MantelflächeM$

Um die Oberfläche O$O$ einer Pyramide zu berechnen, addierst du den Flächeninhalt von der Grundfläche G$G$ und den Flächeninhalt der Mantelfläche M$M$, denn:

O=G+M$O=G+M$

Die Grundfläche einer Pyramide berechnet sich je nach geometrischer Form. Die Formeln für die unterschiedlichen Flächeninhalte musst du einfach lernen (z. B. Flächeninhalt eines Rechtecks, Flächeninhalt eines Sechsecks usw.)! Wie das geht, erfährst du auf unserer Seite zu den Flächeninhalten.

Zur Berechnung der Mantelfläche addierst du alle vorhandenen Flächeninhalte der dreieckigen Seitenflächen (AΔ)$(A_{\mathrm{\Delta }})$ deiner Pyramide zusammen. Die Flächen können, müssen aber nicht identisch groß sein! Es ist immer abhängig davon, wie eine Pyramide aussieht. Du rechnest:

M=AΔa+AΔb+AΔc+usw.$M=A_{\mathrm{\Delta }a}+A_{\mathrm{\Delta }b}+A_{\mathrm{\Delta }c}+usw.$

Schau dir nun die Berechnungen der Oberfläche von besonderen Pyramiden genauer an. Diese werden oft im Matheunterricht von dir verlangt.

Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide setzt sich zusammen aus einer quadratischen Grundfläche G$G$ und einer MantelflächeM$MantelflächeM$ aus vier gleich großen Seitenflächen.

Die Oberfläche O$O$ einer quadratischen Pyramide berechnest du mit der Formel:

O=G+M$O=G+M$.

Deine Grundfläche G$G$ ist ein Quadrat, das du folgendermaßen berechnest (hier mehr zum Flächeninhalt eines Quadrats):

G=Grundkante a⋅Grundkante a=a2$G=Grundkantea\cdot Grundkantea=a^2$

Hast du eine Pyramide gegeben mit der Grundkante a=10cm$a=10cm$, dann rechnest du den Flächeninhalt für die Grundfläche G$G$ der Pyramide folgendermaßen aus:

G=a2=(10cm)2=100cm2$G=a^2=(10cm{)}^2=100c{m}^2$

Als Nächstes brauchen wir die Mantelfläche. Die Berechnung der MantelflächeM$MantelflächeM$ in einer quadratischen Pyramide erfolgt nach der Formel:

M=4⋅a2⋅ha$M=4\cdot \frac{a}{2}\cdot h_a$

Darin steckt die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks, und diesen nimmst du mal vier, da eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche vier dreieckige Seitenflächen hat, die alle gleich groß sind.

Um die Mantelfläche zu ermitteln, brauchst du demnach die Länge der Grundkante a$a$ und die Höhe einer Seitenfläche ha$h_a$. Hast du in deiner quadratischen Pyramide die Höhe der Seitenfläche ha=13cm$h_a=13cm$ gegeben, dann lautet deine Rechnung für die Mantelfläche:

M=4⋅10cm2⋅13=260cm2$M=4\cdot \frac{10cm}{2}\cdot 13=260c{m}^2$

Abschließend addierst du deine Zwischenergebnisse und erhältst deine Pyramidenoberfläche:

O=100cm2+260cm2=360cm2$O=100c{m}^2+260c{m}^2=360c{m}^2$

ha=(a2)2+h2−−−−−−−−√=(10cm2)2+(12cm)2−−−−−−−−−−−−−−−√=169cm2−−−−−−√=13cm$h_a=\sqrt{(\frac{a}{2}{)}^2+h^2}=\sqrt{(\frac{10cm}{2}{)}^2+(12cm{)}^2}=\sqrt{169c{m}^2}=13cm$

Um die Oberfläche einer rechteckigen Pyramide zu berechnen, wendest du auch hier die folgende Formel an:

O=G+M$O=G+M$

Du benötigst deshalb zum einen den Flächeninhalt deiner Grundfläche und den Flächeninhalt der Mantelfläche der rechteckigen Pyramide – genau wie bei der Pyramide mit quadratischer Grundfläche.

Die Grundfläche G$G$ so einer Pyramide ist ein Rechteck. Dieses hat zwei gleichlange Seiten a$a$ und zwei gleichlange Seiten b$b$, die sich jeweils gegenüberliegen. Diese vier Seiten bilden die vor Grundkanten der Pyramide.

Du berechnest den Flächeninhalt der Grundfläche G$G$ mit der mathematischen Formeln für Flächeninhalt eines Rechtecks:

G=a⋅b$G=a\cdot b$

Hast du eine rechteckige Pyramide mit den Grundkante a=6cm$a=6cm$ und b=8cm$b=8cm$ gegeben, dann rechnest du den Flächeninhalt der Grundfläche G$G$ so aus:

G=6cm⋅8cm$G=6cm\cdot 8cm$

G=48cm2$G=48c{m}^2$

Nun benötigst du als Nächstes den Flächeninhalt der MantelflächeM$MantelflächeM$. In deiner rechteckigen Pyramide hast du vier dreieckige Seitenflächen (AΔ)$(A_{\mathrm{\Delta }})$, deren Flächeninhalte zusammen die Mantelfläche ergeben. Zwei gegenüberliegende Seitenflächen sind jeweils gleich groß:

M=2⋅AΔa+2⋅AΔb$M=2\cdot A_{\mathrm{\Delta }a}+2\cdot A_{\mathrm{\Delta }b}$

Um die Seitenflächen auszurechnen, brauchst du die Angaben zu den jeweiligen Höhen der Seitenflächen (ha,hb$h_a,h_b$), um dann mit den folgenden Formeln die Flächeninhalte der Seitenflächen zu berechnen:

AΔa=ha2⋅a$A_{\mathrm{\Delta }a}=\frac{h_a}{2}\cdot a$

AΔb=hb2⋅b$A_{\mathrm{\Delta }b}=\frac{h_b}{2}\cdot b$

Das sind wieder die Formeln für den Flächeninhalt eines Dreiecks, nur dass du diesmal zwei verschieden große Dreiecke berechnen musst.

Hast du in deiner rechteckigen Pyramide die Höhen der Seitenflächen ha=10,44cm$h_a=10,44cm$ und hb=10,77cm$h_b=10,77cm$ gegeben, rechnest du die MantelflächeM$MantelflächeM$ der Pyramide so aus:

AΔa=ha2⋅a=10,44cm2⋅6cm=31,32cm2$A_{\mathrm{\Delta }a}=\frac{h_a}{2}\cdot a=\frac{10,44cm}{2}\cdot 6cm=31,32c{m}^2$

AΔb=hb2⋅b=10,77cm2⋅8cm=43,08cm2$A_{\mathrm{\Delta }b}=\frac{h_b}{2}\cdot b=\frac{10,77cm}{2}\cdot 8cm=43,08c{m}^2$

M=2⋅31,32cm2+2⋅43,08cm2=62,64cm2+86,16cm2=148,80cm2$M=2\cdot 31,32c{m}^2+2\cdot 43,08c{m}^2=62,64c{m}^2+86,16c{m}^2=148,80c{m}^2$

Für den Oberflächeninhalt deiner rechteckigen Pyramide bringst du nun noch den Flächeninhalt der Grundfläche mit dem der Mantelfläche zusammen und erhältst damit eine Oberfläche von 196,80cm2$196,80c{m}^2$:

O=G+M=48cm2+148,80cm2=196,80cm2$O=G+M=48c{m}^2+148,80c{m}^2=196,80c{m}^2$

Eine dreiseitige Pyramide hat ein Dreieck als Grundfläche G$G$. Damit hat sie auch drei Grundkanten (Seiten a$a$, Seiten b$b$, Seiten c$c$). Hat deine dreieckige Pyramide drei unterschiedlich lange Grundkanten, dann hast du in der Pyramide auch drei unterschiedlich große Seitenflächen im Mantel und damit drei unterschiedliche Höhen der Seitenflächen (ha,hb,hc$h_a,h_b,h_c$ gegeben.

Um die Oberfläche ( O$O$) deiner dreieckigen Pyramide zu ermitteln, addierst du den Flächeninhalt der dreieckigen Grundfläche G$G$ mit dem Flächeninhalt der MantelflächeM$MantelflächeM$:

O=G+M$O=G+M$

Für die Berechnung der Grundfläche G$G$ verwendest du die Formel, mit der du den Flächeninhalt eines Dreiecks ausrechnest:

G=a2⋅hΔ$G=\frac{a}{2}\cdot h_{\mathrm{\Delta }}$

Du benötigst für deine Gleichung die Länge der Seite a$a$ und die Höhe hΔ$h_{\mathrm{\Delta }}$ der dreieckigen Grundfläche.

Hast du beispielsweise eine dreieckige Pyramide gegeben, mit den Angaben a=6cm,b=8cm und c=10cm sowie hΔ=8cm$a=6cm,b=8cmundc=10cmsowie{h}_{\mathrm{\Delta }}=8cm$, dann berechnest du deine Grundfläche so:

G=6cm2⋅8cm=24cm2$G=\frac{6cm}{2}\cdot 8cm=24c{m}^2$

Die MantelflächeM$MantelflächeM$ deiner dreieckigen Pyramide ergibt sich aus den drei dreieckigen Seitenflächen AΔa,AΔb,AΔc$A_{\mathrm{\Delta }a},A_{\mathrm{\Delta }b},A_{\mathrm{\Delta }c}$ des Mantels:

M=AΔa+AΔb+AΔc$M=A_{\mathrm{\Delta }a}+A_{\mathrm{\Delta }b}+A_{\mathrm{\Delta }c}$

Um die Seitenflächen (AΔa,AΔb,AΔc)$(A_{\mathrm{\Delta }a},A_{\mathrm{\Delta }b},A_{\mathrm{\Delta }c})$ zu berechnen, setzt du die drei Höhen der Seitenflächen (ha,hb,hc)$(h_a,h_b,h_c)$ in die entsprechenden Formeln zu den Flächeninhalten ein:

AΔa=a2⋅ha$A_{\mathrm{\Delta }a}=\frac{a}{2}\cdot h_a$

AΔb=b2⋅hb$A_{\mathrm{\Delta }b}=\frac{b}{2}\cdot h_b$

AΔc=c2⋅hc$A_{\mathrm{\Delta }c}=\frac{c}{2}\cdot h_c$

Hast du in deiner dreieckigen Pyramide die Höhen der Seitenflächen ha=12,37cm$h_a=12,37cm$,

hb=12,65cm$h_b=12,65cm$ und hc=13cm$h_c=13cm$ gegeben, rechnest du die MantelflächeM$MantelflächeM$ der Pyramide so aus:

AΔa=6cm2⋅12,37cm=37,11cm2$A_{\mathrm{\Delta }a}=\frac{6cm}{2}\cdot 12,37cm=37,11c{m}^2$

AΔb=8cm2⋅12,65cm=50,60cm2$A_{\mathrm{\Delta }b}=\frac{8cm}{2}\cdot 12,65cm=50,60c{m}^2$

AΔc=10cm2⋅13=65cm2$A_{\mathrm{\Delta }c}=\frac{10cm}{2}\cdot 13=65c{m}^2$

M=37,11cm2+50,60cm2+65cm2=152,71cm2$M=37,11c{m}^2+50,60c{m}^2+65c{m}^2=152,71c{m}^2$

Die Gesamtoberfläche (O)$(O)$ deiner dreieckigen Pyramide ermittelst du wie folgt:

O=G+M=24cm2+152,71cm2=176,71cm2$O=G+M=24c{m}^2+152,71c{m}^2=176,71c{m}^2$

Die Oberfläche deiner dreieckigen Pyramide beträgt in diesem Beispiel 176,71cm2$176,71c{m}^2$. Schau dir nun noch an, wie du die Oberfläche einer Pyramide, die ein Sechseck oder Achteck als Grundfläche hat, berechnen kannst.

Regelmäßige gerade Pyramiden können eine Grundfläche G$G$ haben, die mehr als vier Ecken hat. Um auch für diese Pyramiden (sechseckige und achteckige) die Oberflächen berechnen zu können, merkst du dir eine spezielle Formel dazu.

Grundsätzlich berechnet sich die Oberfläche einer vieleckigen (n-eckigen) Pyramide ebenso mit der Hauptformel:

Oberfläche O=Grundfläche G+Mantelfläche M$OberflächeO=GrundflächeG+MantelflächeM$

Du benötigst demnach den Flächeninhalt der Grundfläche G$G$ sowie den Flächeninhalt der MantelflächeM$MantelflächeM$. Beide addierst du, um die Gesamtoberfläche O$O$ zu ermitteln.

Da sich die Grundfläche G$G$ einer n-eckigen Pyramide gedanklich in Dreiecke unterteilen lässt, wird für die Formel der Oberflächenberechnung der Grundfläche die Flächenberechnung von Dreiecken herangezogen und die Anzahl der Ecken der Grundfläche (= Anzahl der gedachten Dreiecke) mitberücksichtigt (n)$(n)$:

G=n⋅a2⋅hGrundfläche$G=n\cdot \frac{a}{2}\cdot h_{Grundfläche}$

Dafür benötigst du die Länge einer Grundkante bzw. der Seite a$a$ (alle Seiten sind gleich lang), die Höhe der Grundfläche ( hGrundfläche$h_{Grundfläche}$ ) und die Anzahl der Ecken der Grundfläche (n)$(n)$.

Für den Flächeninhalt der MantelflächeM$MantelflächeM$ berechnest du den Flächeninhalt einer Seitenfläche und multiplizierst ihn mit der Anzahl der Seitenfläche n$n$ (entspricht den Ecken der Grundfläche):

M=n⋅a2⋅hSeitenfläche$M=n\cdot \frac{a}{2}\cdot h_{Seitenfläche}$

Diese Berechnung verlangt von dir die Länge der Grundkante bzw. der Seite a$a$, die Höhe einer Seitenfläche ( hSeitenfläche$h_{Seitenfläche}$ ) und die Anzahl der Ecken der Grundfläche (n)$(n)$.

Um die Gesamtoberfläche O$O$ zu berechnen, kombinierst du beide Teilrechnungen miteinander:

O=n⋅a2⋅hSeitenfläche$O=n\cdot \frac{a}{2}\cdot h_{Seitenfläche}$

O=n⋅a2⋅(hGrundfläche+hSeitenfläche$O=n\cdot \frac{a}{2}\cdot (h_{Grundfläche}+h_{Seitenfläche}$

Hast du beispielsweise eine sechseckige Pyramide (n=6)$(n=6)$ gegeben, mit der Grundkante a=5cm$a=5cm$, der Höhe der Grundfläche hGrundfläche=4,33cm$h_{Grundfläche}=4,33cm$ und der Höhe der Seitenfläche hSeitenfläche=10,90cm$h_{Seitenfläche}=10,90cm$, dann berechnest du die Oberfläche O$O$ deiner Pyramide wie folgt:

O=6⋅5cm2⋅(4,33cm+10,90cm)=6⋅5cm2⋅(15,23cm)=228,45cm2$O=6\cdot \frac{5cm}{2}\cdot (4,33cm+10,90cm)=6\cdot \frac{5cm}{2}\cdot (15,23cm)=228,45c{m}^2$.

Die Oberfläche deiner sechseckigen Pyramide beträgt 228,45cm2$228,45c{m}^2$.

• Eine Pyramide ist eine geometrische Figur mit einer vieleckigen Grundfläche, einem Mantel und einer Spitze. 
  
• Die Oberfläche einer Pyramide ergibt sich aus der Summe der Grundfläche und der Mantelfläche. 
  
• Die Grundfläche ist die Fläche, auf der die Pyramide steht: ein Dreieck, ein Quadrat, ein Rechteck oder ein anderes Vieleck. 
  
• Die Mantelfläche besteht aus dreieckigen Seitenflächen, die an der Spitze der Pyramide zusammentreffen.
  
• Für die Berechnung der Pyramidenoberfläche werden oftmals die Höhe der Pyramide oder die Höhen der Seitenflächen benötigt. Diese musst du unbedingt voneinander unterscheiden.