Mathematik – Zinsrechnung

Mit der Zinsrechnung in Mathe kannst du berechnen, wie viel Zinsen du für dein Geld bekommst – oder für geliehenes Geld bezahlen musst. Hier findest du Aufgaben zur Zinsrechnung und wir erklären dir alle Formeln ganz einfach. Am Ende wartet außerdem eine praktische Formelsammlung zur Zinsrechnung auf dich. 

Meist begegnest du der Zinsrechnung schon in Klasse 7. Sie begleitet dich auch in späteren Jahren. Aber wozu brauchst du sie eigentlich? 

Stell dir vor, du leihst jemandem 100 € und verlangst, dass die Person dir nach einem Jahr 105 € zurückzahlt. So bekommst du eine kleine Entschädigung dafür, dass du ein Jahr lang auf dein Geld verzichtet hast. Diese 5 €, die du zusätzlich bekommen hast, sind deine Zinsen. 

Genauso macht es die Bank, wenn du dir dort Geld leihen willst. Du bekommst sofort eine Summe Geld ausgezahlt, musst später aber mehr zurückzahlen. Oder umgekehrt: Du sparst Geld auf deinem Sparkonto und bekommst dafür Zinsen. 

Wie viel du bekommst oder bezahlen musst, kannst du mit der Zinsrechnung berechnen. 

Bevor wir uns Formeln zur Zinsrechnung anschauen, brauchen wir ein paar Begriffe. Diese haben wir hier leicht verständlich für dich erklärt.

• Kapital (K)$(K)$: Dein Kapital ist immer das gesamte Geld, mit dem du rechnest. Wenn du zum Beispiel 100 € anlegen möchtest, dann ist dein Kapital K=100€$K=100€$. 
  
• Zinsen (Z)$(Z)$: Das ist das Geld, das du zusätzlich bekommst, wenn du dein Geld anlegst – oder das du bei einem Kredit zahlen musst. Die Zinsen werden als Zahl ausgedrückt, du bekommst also zum Beispiel 5 € Zinsen.
  
• Zinssatz (p)$(p)$: Der Zinssatz gibt an, welchen Anteil deine Zinsen an deinem Kapital haben. Man gibt ihn in Prozent an. Wenn du also 100 € Kapital angelegt hast und dafür 5 € Zinsen bekommen hast, entspricht das einem Zinssatz von 5 %.

Meist ist in der Zinsrechnung der Jahreszins am wichtigsten. Es gibt an, wie viele Zinsen du bekommst, wenn du dein Geld für genau ein Jahr anlegst (oder wie viel du bezahlen musst, wenn du dir für ein Jahr Geld leihst). 

So sieht die Formel der Zinsrechnung für den Jahreszins aus: 

Z=K⋅p100$Z=\frac{K\cdot p}{100}$

In Worten: Um deine Zinsen zu berechnen, multiplizierst du dein Kapital mit dem Zinssatz und teilst das Ergebnis durch 100. 

Beispiel: Zinsrechnung mit dem Jahreszins

Du hast 300 € bei der Bank angelegt und bekommst dafür einen Zinssatz von 4 % p. a. Wie viele Zinsen erhältst du am Ende des Jahres?

Rechnung:

Dein Kapital K$K$ sind 300 €. Du kennst außerdem den Zinssatz p=4$p=4$. Wir setzen in die Formel für die Zinsrechnung ein:

Z=K⋅p100=300⋅4100=12€$Z=\frac{K\cdot p}{100}=\frac{300\cdot 4}{100}=12€$

Du bekommst nach einem Jahr 12 € Zinsen. 

Du kannst jede Formel für die Zinsrechnung umstellen, wenn du andere Werte berechnen sollst. 

Beispiel Zinsrechnung: Zinssatz

So sieht die Formel in der Zinsrechnung für den Zinssatz aus:

p=Z⋅100K$p=\frac{Z\cdot 100}{K}$

Beispiel:

Du hast 500 € verliehen und am Ende der Laufzeit 550 € zurückbekommen. Wie hoch war der Zinssatz? 

Rechnung:

Dein Kapital waren 500 € und deine Zinsen betragen 50 €. So berechnest du den Zinssatz:

p=Z⋅100K=50⋅100500=10$p=\frac{Z\cdot 100}{K}=\frac{50\cdot 100}{500}=10$

Der Zinssatz beträgt 10 %.

So sieht die Formel für das Kapital in der Zinsrechnung aus:

K=Z⋅100p$K=\frac{Z\cdot 100}{p}$

Beispiel:

Du hast einem Freund Geld geliehen und nach einem Jahr 20 € Zinsen bekommen. Als Zinssatz waren 5 % vereinbart. Was war dein ursprüngliches Kapital?

Übrigens: Solche Textaufgaben sind in der Zinsrechnung häufig. Wichtig ist dabei vor allem, dass du zuerst genau schaust, was gegeben und was gesucht ist. Dann musst du nur noch in die Formel einsetzen und ausrechnen. 

Rechnung:

Du kennst den Zinssatz von 5 % und du hast 20 € Zinsen erhalten. Das setzen wir in die Formel ein:

K=Z⋅100p=20⋅1005=400$K=\frac{Z\cdot 100}{p}=\frac{20\cdot 100}{5}=400$

Du hattest ursprünglich 400 € verliehen.

Oben haben wir dir die einfache Zinsrechnung erklärt. Du kannst mit dieser Zinsrechnung über Jahre deine Zinsen ausrechnen. Wenn du dein Geld aber nur ein paar Monate oder sogar nur einige Tage lang anlegst, kannst du ebenfalls die möglichen Zinsen berechnen. 

Hier zeigen wir dir genau solche Aufgaben zur Zinsrechnung. 

Zinsrechnung für Monate

Das Vorgehen ist ganz einfach: Du berechnest zuerst – wie du es oben gelernt hast –, wie viele Zinsen du für ein ganzes Jahr erhalten würdest. Dann teilst du diesen Betrag durch 12 (Monate). Du weißt dann, wie viele Zinsen du für einen einzigen Monat bekommst. Dieses Ergebnis nimmst du jetzt noch mal die Anzahl der Monate, die du tatsächlich dein Geld angelegt hast. 

Auch dafür gibt es natürlich in der Zinsrechnung eine Formel:

ZMonate=K⋅p⋅m100⋅12=K⋅p⋅m1200$Z_{M}onate=\frac{K\cdot p\cdot m}{100\cdot 12}=\frac{K\cdot p\cdot m}{1200}$

Natürlich kannst du auch diese Formel entsprechend umstellen. Zum Beispiel, wenn du herausfinden willst, wie lange du 2.000 € anlegen musst, damit du bei 2 % Zinsen genau 50 € erhältst. 

So sehen die umgestellten Formeln aus:

K=ZMonate⋅1200p⋅m$K=\frac{Z_{M}onate\cdot 1200}{p\cdot m}$

p=ZMonat⋅1200K⋅m$p=\frac{Z_{M}onat\cdot 1200}{K\cdot m}$

m=ZMonat⋅1200⋅p$m=\frac{Z_{M}onat\cdot 1200}{\cdot p}$

Ebenso kannst du mit der Zinsrechnung für Tage berechnen, wie viele Zinsen du erhalten würdest. Die Formel ist praktisch die gleiche, nur rechnen wir jetzt nicht mit 12 (Monaten), sondern mit 360 (Tagen). 

So sieht die Formel dafür aus:

ZTage=K⋅p⋅t100⋅360=K⋅p⋅t36000$Z_{T}age=\frac{K\cdot p\cdot t}{100\cdot 360}=\frac{K\cdot p\cdot t}{36000}$

Dabei steht t$t$ für die Anzahl der Tage, über die du dein Geld tatsächlich angelegt hast.

Beispiel:

Du legst 100 € an – zu einem Zinssatz von 5 %. Wie viele Zinsen hast du nach 20 Tagen bekommen?

Rechnung:

ZTage=100⋅5⋅2036000≈0,28€$Z_{T}age=\frac{100\cdot 5\cdot 20}{36000}\approx 0,28€$

28 Cent Zinsen – das ist nicht viel. Wenn du wirklich an Zinsen verdienen möchtest, solltest du den Zinseszins nutzen. Mehr dazu gleich!

Erst schauen wir uns noch schnell an, wie du auch diese Formeln der Zinsrechnung umstellen kannst:

K=ZTage⋅36000p⋅t$K=\frac{Z_{T}age\cdot 36000}{p\cdot t}$

p=ZTage⋅36000K⋅t$p=\frac{Z_{T}age\cdot 36000}{K\cdot t}$

t=Ztage⋅36000K⋅p$t=\frac{Z_{t}age\cdot 36000}{K\cdot p}$

Stell dir vor, du hast 2.500 € ein Jahr lang angelegt, und zwar zu einem Zinssatz von 5 %. Am Ende des Jahres bekommst du dann 125 € Zinsen. Diese Zinsen kannst du jetzt ausgeben – oder du kannst dir den Zinseszins zunutze machen. Das heißt, dass du die Zinsen zu deinem Kapital hinzurechnest. Dein neues Kapital beträgt jetzt 2.500 € + 125 € = 2.625 €. 

Diese 2.625 € legst du wieder für ein Jahr zu 5 % Zinssatz an. Am Ende des Jahres bekommst du mehr Zinsen als im ersten Jahr, nämlich 131,25 €. Dein neues Kapital beträgt jetzt 2.625 € + 131,25 € = 2.756,25 €. Da die Zinsen mit jedem Jahr steigen, vermehrt sich dein Kapital mit jedem Jahr immer schneller. Das ist der Zinseszinseffekt. 

Auch dafür gibt es in der Zinsrechnung eine Formel:

KNeu=K⋅(1+(p)100)n$K_{N}eu=K\cdot (1+\frac{(p)}{100}{)}^n$

Dabei ist KNeu$K_{N}eu$ das neue Kapital, das du berechnen willst, und n$n$ ist die Anzahl der Jahre, für die du das Geld anlegst.

Schau dir an, was mit dem Geld über einen langen Zeitraum passiert, wenn wir wie im Beispiel oben 2.500 € zu einem Zinssatz von 5 % anlegen. 

Du siehst: Je länger dein Geld für dich arbeitet, desto schneller steigt dein Kapital. Es lohnt sich daher, wenn du möglichst früh in deinem Leben Geld anlegen kannst. 

Hier findest du zwei Aufgaben zur Zinsrechnung mit Lösungen. Damit kannst du dich auf Klassenarbeiten vorbereiten. Außerdem findest du weiter unten auf dieser Seite weitere Übungsaufgaben und Arbeitsblätter zur Zinsrechnung. 

Zinsrechnung Übung 1: Zinsen für ein Dreivierteljahr

Du legst 5.000 € für ein Dreivierteljahr zu einem Zinssatz von 2,5 % an. Wie viele Zinsen erhältst du? 

Lösung:

Gesucht werden die Zinsen. Gegeben haben wir das Kapital von 5.000 € und den Zinssatz mit 2,5 %. Wir müssen außerdem beachten, dass wir nicht den Jahreszins, sondern die Zinsen für 9 Monate (= ein Dreivierteljahr) ausrechnen sollen. Daher passt folgende Formel:

ZMonate=K⋅p⋅m1200$Z_{M}onate=\frac{K\cdot p\cdot m}{1200}$

Wir setzen ein:

ZMonate=5000⋅2,5⋅91200=93,75€$Z_{M}onate=\frac{5000\cdot 2,5\cdot 9}{1200}=93,75€$

Zinsrechnung Übung 2: Zinseszins berechnen

Du fängst mit 15 Jahren an zu sparen. Dafür legst du 4.000 € an. Du bekommst 3,5 % Zinsen dafür. Wie viel Geld hast du mit 45? 

Lösung:

Berechnen wollen wir hier das neue Kapital nach 30 Jahren (45 – 15 Jahre). Wir kennen das ursprüngliche Kapital von 4.000 € und den Zinssatz von 3,5 %. Hier passt diese Formel für den Zinseszins:

KNeu=Kcdot(1+(p)100)n$K_{N}eu=Kcdot(1+\frac{(p)}{100}{)}^n$

Wir setzen ein:

KNeu=4000⋅(1+3,5100)30$K_{N}eu=4000\cdot (1+\frac{3,5}{100}{)}^{3}0$

Wenn du 45 bist, sind aus deinen 4.000 € ganze 11.227 € geworden. 

• Die Zinsrechnung beschäftigt sich damit, wie sich Geld (Kapital) bei einem bestimmten Zinssatz vermehrt.
  
• Die Zinsrechnung funktioniert genau wie die Prozentrechnung, arbeitet aber mit anderen Begriffen.
  
• Du kannst Zinsen berechnen, aber auch ausrechnen, wie sich dein Kapital über eine bestimmte Laufzeit verändert.
  
• Wichtige Begriffe sind Kapital, Zinsen und Zinssatz.
  
• Wenn du den Zinseszinseffekt nutzen kannst, vermehrt sich dein Geld mit der Zeit immer schneller. 

Hier findest du die wichtigsten Formeln der Zinsrechnung noch einmal übersichtlich zusammengestellt. Damit kannst du die Zinsrechnung üben und dich für die Schule vorbereiten. 

Formeln für Zinsrechnung mit Jahreszins

Zinsen berechnen

Z=K⋅p100$Z=\frac{K\cdot p}{100}$

Kapital berechnen

K=Z⋅100p$K=\frac{Z\cdot 100}{p}$

Zinssatz berechnen

p=Z⋅100K$p=\frac{Z\cdot 100}{K}$

Formeln für Zinsrechnung für Monate

Zinsen berechnen

ZMonate=K⋅p⋅m1200$Z_{M}onate=\frac{K\cdot p\cdot m}{1200}$

Kapital berechnen

K=ZMonat⋅1200p⋅m$K=\frac{Z_{M}onat\cdot 1200}{p\cdot m}$

Zinssatz berechnen

p=ZMonat⋅1200K⋅m$p=\frac{Z_{M}onat\cdot 1200}{K\cdot m}$

Laufzeit berechnen

m=ZMonat⋅1200K⋅p$m=\frac{Z_{M}onat\cdot 1200}{K\cdot p}$

Formeln für Zinsrechnung für Tage

Zinsen berechnen

ZTage=K⋅p⋅t36000$Z_{T}age=\frac{K\cdot p\cdot t}{36000}$

Kapital berechnen

K=ZTage⋅36000p⋅t$K=\frac{Z_{T}age\cdot 36000}{p\cdot t}$

Zinssatz berechnen

p=Ztage⋅36000K⋅p$p=\frac{Z_{t}age\cdot 36000}{K\cdot p}$

Laufzeit berechnen

t=ZTage⋅36000K⋅p$t=\frac{Z_{T}age\cdot 36000}{K\cdot p}$

Formel für Zinseszins

KNeu=K⋅(1+(p)100)n$K_{N}eu=K\cdot (1+\frac{(p)}{100}{)}^n$