Mathematik – Oberfläche einer Kugel berechnen

Was ist überhaupt eine Kugel? Du kennst natürlich Kugeln aus deinem Alltag, aber wie definiert die Geometrie eine Kugel? Kugeln gehören zu den geometrischen Körpern. Die Besonderheit einer Kugel ist, dass sie weder Ecken noch Kanten hat (anders als zum Beispiel ein Würfel). Sie ist perfekt rund. Das bedeutet: Jeder Punkt auf der Oberfläche der Kugel hat den exakt gleichen Abstand zum Mittelpunkt.

Die Formeln der Kugelgeometrie enthalten die Kreiszahl Pi. Das ist eine Zahl mit unendlich vielen Stellen, die wir zum vereinfachten Rechnen aber meist auf ungefähr 3,14 runden können. Man kennzeichnet Pi in der Mathematik mit diesem griechischen Buchstaben: π$\pi$

Außerdem solltest du diese Begriffe kennen, bevor wir uns die Kugel und ihre Oberfläche genauer ansehen:

• Radius: Der Radius einer Kugel ist der Abstand vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf der Kugeloberfläche. Man kennzeichnet den Radius mit  r$r$.
• Durchmesser: Wenn du von einem Punkt auf der Kugelfläche eine gerade Linie direkt durch den Mittelpunkt und dann zum gegenüberliegenden Punkt auf der Oberfläche ziehst, entspricht das dem Durchmesser der Kugel. Der Durchmesser ist genau doppelt so lang wie der Radius. Bezeichnet wird er mit d$d$.
• Umfang: Stell dir vor, du teilst eine Kugel genau in der Mitte in zwei Hälften. Die Schnittfläche ist dann ein Kreis. Die äußere Linie dieses Kreises ist der Umfang. Der Umfang des Kreises entspricht auch dem Umfang der Kugel. 

Super! Jetzt weißt du alles, was du brauchst, um die Formel der Kugeloberfläche zu verstehen.

Mit dieser Formel kannst du die Fläche einer Kugel berechnen:

O$O$ steht für die Oberfläche, und die Kreiszahl π$\pi$ und den Radius r$r$ hast du bereits kennengelernt. 

Schauen wir uns ein Beispiel zur Berechnung des Oberflächeninhalts an:

Aufgabe: Berechne die Oberfläche einer Kugel mit einem Radius von 4 cm.

Zuerst solltest du immer die Formel aufstellen, einfach damit du sie bei deinen Berechnungen direkt vor Augen hast:

OKugel=4⋅π⋅r2$O_{\text{Kugel}}=4\cdot \pi \cdot r^2$

Jetzt setzen wir für den Radius r=4cm$r=4\text{cm}$ ein. Außerdem rechnen wir für Pi mit π≈3,14$\pi \approx 3,14$. Da wir die Kreiszahl gerundet haben, müssen wir hier statt eines Gleichheitszeichens das „ungefähr“-Zeichen verwenden. 

So sieht es aus, wenn wir einsetzen: 

OKugel≈4⋅3,14⋅(4cm)2≈12,56⋅16cm2≈200,96cm2$O_{\text{Kugel}}\approx 4\cdot 3,14\cdot (4\text{cm}{)}^2\approx 12,56\cdot 16{\text{cm}}^2\approx 200,96{\text{cm}}^2$

Die Oberfläche der Kugel ist ungefähr 200,96 cm² groß. Beachte hier die Einheit: Da wir eine Fläche berechnen, müssen wir mit Quadratmetern (m²) (oder auch cm²) rechnen. Das ergibt sich auch aus der Formel für die Kugelberechnung, denn der Radius von 4 cm wird ja quadriert. 

Exkurs: Oberfläche einer Halbkugel berechnen

Möchtest du die Oberfläche einer halben Kugel berechnen, rechnest du zuerst die Oberfläche der gesamten Kugel aus und teilst sie dann durch zwei.

Hinzukommt nun aber noch die Fläche der Schnittfläche. Diese stellt einen Kreis dar. Daher kannst du diesen Teil der Kugeloberfläche berechnen, indem du die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises A$A$ nutzt:

AKreis=π⋅r2$A_{\text{Kreis}}=\pi \cdot r^2$

Für unsere Kugel oben bedeutet das:

A≈3,14⋅(4cm)2≈3,14⋅16cm2≈50,24cm2$A\approx 3,14\cdot (4\text{cm}{)}^2\approx 3,14\cdot 16{\text{cm}}^2\approx 50,24{\text{cm}}^2$

Zum Schluss addierst du diese beiden Flächen und erhältst folgendes Ergebnis:

OHalbkugel≈(200,96cm2÷2)+50,24cm2≈150,72cm2$O_{\text{Halbkugel}}\approx (200,96{\text{cm}}^2÷2)+50,24{\text{cm}}^2\approx 150,72{\text{cm}}^2$

So kannst du auch die Oberfläche von Viertel-, Achtelkugeln etc. berechnen. Dafür brauchst du etwas räumliches Vorstellungsvermögen, damit du dir die Schnittflächen vorstellen kannst. Eine Viertelkugel hat zum Beispiel zwei Schnittflächen, jeweils einen halben Kreis groß. 

In der Schule wirst du sicher auf Aufgaben stoßen, die nicht so klar sind wie unser Beispiel oben. Oft musst du dann die Oberflächenformel der Kugel umstellen, um die Aufgabe zu lösen. Daher zeigen wir dir hier ein paar weitere Möglichkeiten, wie du mit der Formel rechnen kannst.

Oberflächenberechnung der Kugel mit dem Durchmesser
Erinnere dich: Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius. Du kannst daher auch mit dem Durchmesser die Oberfläche einer Kugel berechnen. Am einfachsten geht das, wenn du den Durchmesser einfach durch zwei teilst und gleich mit dem Radius rechnest. Du hast aber auch die Möglichkeit, den Durchmesser direkt in die Formel einzusetzen.

Die ursprüngliche Formel lautet:

OKugel=4⋅π⋅r2$O_{\text{Kugel}}=4\cdot \pi \cdot r^2$

Wir wissen, dass gilt: d=2⋅r$d=2\cdot r$ oder r=12d$r=\frac{1}{2}d$

Daher können wir schreiben:

OKugel=4⋅π⋅(12d)2$O_{\text{Kugel}}=4\cdot \pi \cdot {\left(\frac{1}{2}d\right)}^2$

Wenn wir die Klammer auflösen, erhalten wir:

OKugel=4⋅π⋅14d2$O_{\text{Kugel}}=4\cdot \pi \cdot \frac{1}{4}{d}^2$

Wir kürzen und übrig bleibt folgende Formel:

OKugel=π⋅d2$O_{\text{Kugel}}=\pi \cdot d^2$

Jetzt musst du nur noch den Durchmesser einsetzen und kannst sofort das Ergebnis ausrechnen.

Radius aus der Oberfläche der Kugel berechnen
Manchmal ist auch die Fläche der Kugel gegeben und du sollst den Radius ermitteln. Auch dazu kannst du die Formel umstellen, indem du sie nach r$r$ auflöst:

OKugel=4⋅π⋅r2$O_{\text{Kugel}}=4\cdot \pi \cdot r^2$

r2=OKugel4⋅π$r^2=\frac{O_{\text{Kugel}}}{4\cdot \pi }$

r=OKugel4⋅π−−−−√$r=\sqrt{\frac{O_{\text{Kugel}}}{4\cdot \pi }}$

Auch hier kannst du dann einfach die Werte einsetzen, also die Oberfläche der Kugel und die Kreiszahl Pi, um die Aufgabe zu lösen.

In manchen Aufgaben hast du den Umfang der Kugel gegeben und sollst daraus die Kugeloberfläche berechnen. Doch in der Formel zum Berechnen der Kugel taucht der Umfang nicht auf. Was nun? Wir können einen kleinen Umweg gehen, und zwar mit der Formel für den Umfang eines Kreises. Der Kugelumfang entspricht nämlich genau dem Umfang des Kreises, der auf der Höhe des Mittelpunkts quer durch die Kugel geht.

Mit dieser Formel berechnest du den Umfang ( U$U$ ):

Schauen wir uns eine Übung dazu an:

Berechne die Oberfläche einer Kugel mit einem Umfang von 150 cm. 

Aus der gerade genannten Formel können wir den Radius berechnen, indem wir die Formel umstellen:

U=2⋅π⋅r$U=2\cdot \pi \cdot r$

r=U2⋅π$r=\frac{U}{2\cdot \pi }$

Wir setzen unsere bekannten Werte ein:

r=U2⋅π≈150cm2⋅3,14≈23,89cm$r=\frac{U}{2\cdot \pi }\approx \frac{150\text{cm}}{2\cdot 3,14}\approx 23,89\text{cm}$

Da wir jetzt den Radius kennen, können wir mit der Formel für die Oberfläche der Kugel weiterrechnen:

OKugel=4⋅π⋅r2≈4⋅π⋅(23,89cm)2≈7172,03cm2$O_{\text{Kugel}}=4\cdot \pi \cdot r^2\approx 4\cdot \pi \cdot (23,89\text{cm}{)}^2\approx 7172,03{\text{cm}}^2$

Fertig!

Das Volumen (V$V$) einer Kugel ist der gesamte Raum, der von der Kugeloberfläche eingeschlossen wird. Auch dafür gibt es eine Formel:

Du siehst: Auch das Volumen kannst du problemlos mit dem Radius berechnen. Schau dir dazu unsere Seite zum Volumen von Kugeln an. Dort ist alles ausführlich mit Beispielen und Übungen erklärt.

• Kugeln sind geometrische Körper. Sie sind perfekt rund und haben keine Kanten oder Ecken. Um die Oberfläche einer Kugel zu berechnen, brauchst du neben der Kreiszahl Pi (π$\pi$) andere Größen, zum Beispiel den Radius oder den Umfang.
• Die Formel, um die Oberfläche einer Kugel zu berechnen, lautet OKugel=4⋅π⋅r2$O_{\text{Kugel}}=4\cdot \pi \cdot r^2$.
• Du kannst auch die Oberfläche von Halbkugeln (oder Viertelkugeln etc.) berechnen.
• Indem du die Formeln umstellst oder weitere Formeln aus der Geometrie nutzt, kannst du den Radius oder Durchmesser aus der Kugeloberfläche berechnen oder Flächen mithilfe des Umfangs ermitteln.