Mathematik – Primfaktorzerlegung
Wenn du wissen willst, was die Primfaktorzerlegung ist, dann bist du hier genau richtig. Steig direkt ins Thema ein!
Was ist die Primfaktorzerlegung und wofür wird sie gebraucht?
Die Primfaktorzerlegung begegnet dir wahrscheinlich in der 5. Klasse. Im Matheunterricht hast du sicher schon einmal von Primzahlen gehört:
Das sind natürliche Zahlen, die größer sind als 1. Sie sind so besonders, weil sie nur durch sich selbst oder durch 1 teilbar sind, wie zum Beispiel die 2, die 3 , die 5 , die 7 und die 11 . Alle Primzahlen sind ungerade Zahlen. Die Primzahl 2 ist die einzige Ausnahme, sie ist eine gerade Zahl.
Was Primfaktorzerlegung bedeutet, ist ganz einfach erklärt:
Mit der Primfaktorzerlegung stellst du eine Zahl als Produkt von Primzahlen dar. Zum Beispiel kannst du die Zahl 42 in sein Primzahlenprodukt 2 · 3 · 7 umwandeln.
Eine größere Zahl in ihre Primzahlen zu zerlegen, ist eine hilfreiche Technik:
- Manchmal hast du in Mathe die Aufgabe, mithilfe der Primfaktorzerlegung Brüche zu kürzen.
- Oder aber du sollst über die Primfaktorzerlegung das kleinste gemeinsame Vielfache (KgV) mehrerer Zahlen bestimmen.
- Genauso wird vielleicht von dir verlangt, den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von verschiedenen Zahlen zu ermitteln.
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Das mathematische Vorgehen bei der Primfaktorzerlegung
Damit du weißt, wie die Primfaktorzerlegung genau geht, merke dir folgendes Vorgehen in 4 Schritten:
Schritt 1:
Überlege dir, durch welche Primzahl deine Ausgangszahl teilbar ist. Prüfe zuerst die kleinste Primzahl, die du kennst: die Zahl 2. Wenn deine Ausgangszahl nicht genau durch die 2 teilbar ist und ein Rest übrigbleiben würde, dann versuche es mit der nächstgrößeren Primzahl (3) und so weiter.
Beispiel 1:
42 ÷ 2 = 21
Beispiel 2:
81 ÷ 2 → nicht ohne Rest lösbar
hier bleibt ein Rest übrig: 81 ÷ 2 = 40 Rest 1
81 ÷ 3 = 27
Schritt 2:
Jetzt schreibst du dein Ergebnis in ein Produkt um.
Beispiel 1:
42 = 2 · 21
Beispiel 2:
81= 3 · 27
Schritt 3:
Wiederhole nun die Schritte 1 und 2 mit allen neu berechneten Faktoren, bis alle Faktoren nur aus Primzahlen bestehen.
Beispiel 1:
42 = 2 · 21
= 2 · 3 · 7
Beispiel 2:
81 = 3 · 27
= 3 · 3 · 9
= 3 · 3 · 3 · 3
Wenn du alle Primzahlen gefunden hast, bist du fast fertig.
Den letzten Schritt musst du nicht unbedingt machen und auch nur dann, wenn er machbar ist. Vielleicht kannst du damit bei deinen Mathelehrern:innen Pluspunkte sammeln.
Schritt 4:
Prüfe als Letztes, ob deine gefundenen Primzahlen (Primfaktoren) mehrmals vorkommen. Wenn das so ist, kannst du sie in der Potenzschreibweise aufschreiben.
Beispiel 1:
42 = 2 · 3 · 7 (hier nicht)
Beispiel 2:
81 = 3 · 3 · 3 · 3
81 = 3⁴
Das alles geht viel leichter, wenn du die Teilbarkeitsregeln gut kennst.
Beispiele für die Primfaktorzerlegung mit kleineren Zahlen
Damit du in Mathe die Primfaktorzerlegung richtig gut beherrschst, sieh dir die folgenden Beispiele und die Regeln der Primfaktorzerlegung noch einmal ganz genau an. Mit etwas Übung berechnest du die Primzahlen für deine Primfaktorzerlegung immer schneller.
Daher bekommst du hier zwei Übungsaufgaben zur Primfaktorzerlegung:
Zerlege folgende Zahlen in Primfaktoren:
a) 36 b) 95
Aufgabe a)
Schritt 1: Frage dich, ob 36 surch die kleinste Primzahl 2 teilbar ist.
Antwort: Ja.
36 ÷ 2 = 18
Schritt 2: Schreibe die Zahl 36 in ein Produkt um.
36 = 2 · 18
Schritt 3: Wiederhole Schritt 1 und 2, bis alle Faktoren in Primzahlen umgewandelt sind.
36 = 2 · 18
= 2 · 2 · 9 weil: 18 = 2 · 9
= 2 · 2 · 3 · 3 weil 9 = 3 · 3
Schritt 4: Prüfe, ob die Potenzschreibweise bei deinen Primfaktoren möglich ist.
Antwort: Ja
36 = 2 · 2 · 3 · 3
= 2² · 3² weil: 2² = 4 und 3² = 9 und 4 · 9 = 36
Aufgabe b)
Schritt 1: Frage dich, ob 95 durch die kleinste Primzahl 2 teilbar ist.
Antwort: Nein (nicht ohne Rest.)
Frage dich, ob 95 durch die nächstgrößere Primzahl 5 teilbar ist.
Antwort: Ja.
95 ÷ 5 = 19
Schritt 2: Schreibe die Zahl 95 in ein Produkt.
95 = 5 · 19
Schritt 3: Wiederhole Schritt 1 und 2, bis alle Faktoren in Primzahlen umgewandelt sind.
Antwort: 19 ist eine Primzahl. Sie ist nur durch sich selbst und durch 1 teilbar.
Daher bist du fertig mit Schritt 3.
95 = 5 · 19
Schritt 4: Prüfe, ob die Potenzschreibweise bei deinen Primfaktoren möglich ist.
Antwort: Nein.
Beispiele für die Primfaktorzerlegung mit großen Zahlen über 100
Auch wenn du die Aufgabe bekommst, die Primfaktorzerlegung mit einer Zahl durchzuführen, die größer als 100 ist, kannst du deine Aufgabe ab jetzt problemlos lösen.
Gehe wieder Schritt für Schritt die Primfaktorzerlegung durch, wie du sie gelernt hast. Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele an.
Zerlege folgende Zahlen in Primfaktoren:
a) 126 b) 375
Aufgabe a)
Schritt 1: Frage dich, ob 126 durch die kleinste Primzahl 2 teilbar ist.
Antwort: Ja.
126 ÷ 2 = 63
Schritt 2: Schreibe die Zahl 126 in ein Produkt
126 = 2 · 63
Schritt 3: Wiederhole Schritt 1 und 2, bis alle Primfaktoren in Primzahlen umgewandelt sind.
126 = 2 · 63
= 2 · 3 · 21 weil: 63 = 3 · 21 weil: 63 ÷2 → Es bleibt kein Rest.
= 2 · 3 · 3 · 7 weil: 21 = 3 · 7 weil: 21 ÷ 2 → Es bleibt kein Rest.
Schritt 4: Prüfe, ob die Potenzschreibweise bei deinen Primfaktoren möglich ist.
Antwort: Ja.
126 = 2 · 3 · 3 · 7
= 2 · 3² · 7 weil: 3² = 9 und 2 · 9 = 18 und 18 · 7 = 126
Aufgabe b)
Schritt 1: Frage dich, ob 375 durch die kleinste Primzahl 2 teilbar ist.
Antwort: Nein (nicht ohne Rest).
Frage dich weiter, ob 375 durch die nächstgrößere Primzahl 3 teilbar ist.
Antwort: Ja.
375 ÷ 3 = 125
Schritt 2: Schreibe die Zahl 375 in ein Produkt um.
375 = 3 ÷ 125
Schritt 3: Wiederhole Schritt 1 und 2, bis alle Primfaktoren in Primzahlen umgewandelt sind
375 = 3 · 125
= 3 · 5 · 25 weil: 125 = 5 · 25 weil: 125 ÷ 2 → Es bleibt ein Rest.
weil: 125 ÷ 3 → Es bleibt ein Rest.
= 3 · 5 · 5 · 5 weil: 25 = 5 · 5 weil: 25 ÷ 2 → Es bleibt ein Rest.
weil: 25 ÷ 3 → Es bleibt ein Rest.
Schritt 4: Prüfe, ob die Potenzschreibweise bei deinen Primfaktoren möglich ist.
Antwort: Ja.
375 = 3 · 5 · 5 · 5
= 3 · 5³ weil: 5³ = 125 und 3 · 125 = 375
Übungen zur Primfaktorzerlegung
Gehe diese Übungen zur Primfaktorzerlegung in Ruhe durch und teste dein Mathe-Wissen.
Aufgabe: Zerlege die folgenden Zahlen in Primzahlen.
a) 88 b) 152 c) 620
d) 999 e) 312 f) 4104
Lösungen:
a) 88 = 2 · 44 b) 152 = 2 · 76
= 2 · 2 · 22 = 2 · 2 · 38
= 2 · 2 · 2 · 11 = 2 · 2 · 2 · 19
= 2³· 11 = 2³ · 19
c) 620 = 2 · 310 d) 999 = 3 · 333
= 2 · 2 · 155 = 3 · 3 · 111
= 2 · 2 · 5 · 31 = 3 · 3 · 3 · 37
= 2² · 5 · 31 = 3³ · 37
e) 321 = 2 · 156 f) 4104 = 2 · 2052
= 2 · 2 · 78 = 2 · 2 · 1026
= 2 · 2 · 2 · 39 = 2 · 2 · 2 · 513
= 2 · 2 · 2 · 3 · 13 = 2 · 2 · 2 · 3 · 171
= 2³ · 3 · 13 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 57
= 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 19
= 2³ · 3² · 19
Zusammenfassung: Die Primfaktorzerlegung in der Grundschule
- Für die Primfaktorzerlegung brauchst du Wissen über Primzahlen. Eine Primzahl lässt sich nur durch die Zahl 1 und durch sich selbst teilen.
- Bei der Primfaktorzerlegung wandelst du eine Zahl in ein Produkt aus Primzahlen um.
- Du brauchst in Mathe die Primfaktorzerlegung zum Beispiel beim Finden des größten gemeinsamen Teilers (ggT) oder des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) von Zahlen.
- Du prüfst Schritt für Schritt, durch welche Primzahl deine Ausgangszahl oder der entstandene Faktor teilbar sind, und teilst die Faktoren so lange durch die Primzahlen, bis am Ende nur noch Primzahlen übrigbleiben.
- Die kleinste Primzahl ist die 2. Sie ist die einzige gerade Primzahl.
- Alle anderen Primzahlen sind ungerade. Du beginnst bei deiner Primfaktorzerlegung immer mit der Zahl 2 und wenn durch sie nicht geteilt werden kann, nimmst du dir die nächstgrößere Primzahl vor.
Was ist eine Primzahl?