Mathematik – Volumen berechnen
Wenn du wissen willst, wie man Volumen berechnet, dann bist du hier genau richtig. Steig direkt ins Thema ein!
Grundlagen: Was bedeutet „das Volumen berechnen“?
Geometrische Körper haben einen Rauminhalt – im Gegensatz zu geometrischen Formen, die einen Flächeninhalt haben. Das bedeutet, dass du Körper mit etwas füllen kannst, zum Beispiel mit einer Flüssigkeit oder auch mit Gas oder Masse. Hier ein paar Beispiele:
- Du füllst einen (kugelförmigen) Luftballon mit Helium.
- Du füllst Wasser in eine (prismenförmige) Vase.
- Du füllst einen (zylinderförmigen) Eimer mit Sand.
Wie viel in einen Körper hineinpasst, findest du heraus, indem du das Volumen berechnest. Um das Volumen eines Körpers zu berechnen, brauchst du die Einheit Kubikmeter (m³). Kleinere Einheiten sind zum Beispiel Kubikdezimeter (dm³, das entspricht Litern bei Flüssigkeiten) oder Kubikzentimeter (cm³).
Wenn du nicht sicher bist, wie du das Volumen in m³ berechnen sollst, schau auf unsere Seite zum Thema Kubikmeter berechnen. Dort lernst du auch, das Volumen in Litern zu berechnen.
Formel für das Berechnen des Volumens
Bei den meisten Körpern kannst du das Volumen mit dieser Formel berechnen:
Dabei in die Grundfläche und die Höhe des Körpers. Es gibt aber Körper, bei denen diese Formel abgewandelt werden muss oder auch gar nicht gilt – die Kugel hat zum Beispiel eine ganz eigene Formel.
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Diese Begriffe brauchst du, um das Volumen zu berechnen
Möchtest du Aufgaben zum Volumen berechnen, triffst du immer wieder auf dieselben Fachbegriffe. Wir erklären sie dir hier – so kannst du immer wieder nachschauen, wenn du etwas vergessen hast.
Seite und Seitenlänge: Viele geometrische Körper haben Seiten. Ein Würfel hat zum Beispiel 12 Seiten, die alle gleich lang sind. Wir nennen die Seitenlänge . Beim Würfel heißen alle Seiten , eben weil sie gleich lang sind. Ein Quader hat unterschiedlich lange Seiten. Wir nutzen die kleinen Buchstaben des Alphabets: , , und so weiter.
Fläche und Grundfläche: Alle geometrischen Körper haben Flächen. Beim Würfel sind sie gerade, eine Kugel hat dagegen nur eine einzige gekrümmte Fläche. Beim Berechnen des Volumens ist oft die Grundfläche wichtig. Das ist die Fläche, auf der der Körper steht. Bei manchen Körpern (z. B. beim Quader oder Prisma) liegt gegenüber die Deckfläche (wie ein Deckel).
Höhe: Zum Berechnen des Volumens brauchst du in vielen Fällen auch die Höhe. Sie steht senkrecht (also im rechten Winkel) auf der Grundfläche und geht bis zur Spitze oder Deckfläche des Körpers.
Radius: Wenn du runde Flächen oder das Volumen runder Körper berechnen willst, brauchst du den Radius. Der Radius ist die Strecke zwischen dem Mittelpunkt eines Kreises und einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie.
- Pi: Die Kreiszahl Pi ( ) ist eine Zahl mit unendlich vielen Stellen. Du brauchst sie für die Berechnung von Kreisen und Kugeln. Gerundet kannst du mit rechnen.
Prima! Jetzt können wir loslegen.
Volumen beim Würfel berechnen
Ein Würfel hat 12 gleich lange Seiten und 6 gleich große, quadratische Flächen. Es gilt die grundlegende Formel, um das Volumen zu berechnen:
Das macht es sehr einfach, das Volumen eines Würfels zu berechnen, denn die Grundfläche ist quadratisch. Für den Flächeninhalt eines Quadrats gilt:
Du kannst also das Volumen mit diesem Quadrat berechnen – du musst es nur noch mit der Höhe malnehmen. Da diese ebenfalls die Länge a hat, ergibt sich diese Formel, um das Volumen eines Würfels zu berechnen:
Beispiel:
Ein Würfel hat eine Seitenlänge von . Wie groß ist das Volumen?
Rechnung:
Volumen von Quadern berechnen
Beim Quader kannst du ebenfalls die grundlegende Formel verwenden. Allerdings sind bei einem Quader nicht alle Seiten gleich lang. Deshalb berechnen wir die Grundfläche mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks:
Um das Volumen zu berechnen, nehmen wir das Rechteck mit der Höhe mal. Somit lautet die Formel, um das Volumen beim Quader zu berechnen:
Beispiel:
Ein Quader hat die Seitenlängen und sowie eine Höhe von . Wie kannst du das Volumen des Quaders berechnen?
Rechnung:
Volumen eines Prismas berechnen
Auch beim Prisma gilt die grundlegende Formel für das Berechnen des Volumens, also Grundfläche mal Höhe. Die vieleckigen Grundflächen können aber ganz unterschiedlich aussehen. Daher musst du unterschiedliche Flächeninhalte berechnen. Hier drei Beispiele:
- Flächeninhalt eines Dreiecks:
- Flächeninhalt eines Trapezes:
- Flächeninhalt eines Sechsecks:
Du rechnest also den Flächeninhalt der Grundfläche aus und nimmst ihn dann mit der Höhe mal. Dann nutzt du die grundlegende Formel, um das Volumen des Primas auszurechnen:
Schau auf unsere Seite zum Thema Flächeninhalt, wenn du das Volumen eines Prismas berechnen sollst. Oft kannst oder musst du die Grundfläche auch in andere Flächen zerlegen, deren Inhalt du dann berechnen kannst.
Wenn ein Prisma übrigens eine quadratische Grundfläche hat, dann handelt es sich um einen Quader. Wenn die Höhe die gleiche Länge hat wie die Seiten der Grundfläche, dann hast du wieder einen Würfel.
Wir schauen uns als Beispiel einmal an, wie du das Volumen eines Dreiecksprismas berechnen kannst.
Beispiel:
Berechne das Volumen eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche und der Höhe . Gegeben sind eine Seitenlänge des Dreiecks, , und die dazugehörige Höhe .
Rechnung:
Wir müssen zuerst den Flächeninhalt für ein Dreieck berechnen, um dann das Volumen zu bestimmen (indem wir mit der Höhe malnehmen).
Es gibt Rechner, mit denen du online das Volumen berechnen kannst. Diese solltest du nicht verwenden, um bei Aufgaben zu schummeln, denn du musst ja das Prinzip verstehen. Es kann aber nützlich sein, deine Ergebnisse damit zu überprüfen.
Volumen einer Pyramide berechnen
Auch Pyramiden können unterschiedliche (vieleckige) Grundflächen haben – zum Beispiel ein Dreieck, ein Quadrat oder ein Sechseck. Die Formel ist fast die gleiche wie beim Prisma, jedoch musst du das Ergebnis noch durch drei teilen. Das kommt daher, dass die Pyramide nach oben hin spitz zusammenläuft und daher ein deutlich kleineres Volumen hat als ein Prisma.
Daher gilt diese Formel, um das Volumen einer Pyramide zu berechnen:
Die Grundfläche musst du jeweils wieder einzeln ausrechnen. Es können dreieckige, quadratische oder vieleckige Grundflächen vorkommen. Wir schauen uns als Beispiel an, wie du bei einer quadratischen Pyramide das Volumen berechnen kannst.
Beispiel:
Du sollst das Volumen einer Pyramide berechnen. Sie hat eine quadratische Grundfläche mit einer Seitenlänge von , und die Höhe ist .
Rechnung:
Volumen einer Kugel berechnen
Um das Volumen einer Kugel zu berechnen, brauchst du eine ganz andere Formel als die, die wir bisher kennengelernt haben. Diese Formel beinhaltet den Radius und die Kreiszahl .
Formel, um das Volumen einer Kugel zu berechnen:
Beispiel:
Du sollst das Volumen einer Kugel berechnen. Gegeben it nur der Radius .
Rechnung:
Volumen eines Zylinders berechnen
Für den Zylinder gilt wieder die grundlegende Formel für das Volumen, in der du Grundfläche und Höhe multiplizierst. Die Grundfläche eines Zylinders ist aber rund, daher brauchen wir wieder den Radius und die Kreiszahl Pi. Damit können wir für das Volumen zuerst den Kreis berechnen:
Das setzen wir in die grundlegende Formel ein. So ergibt sich diese Formel, um das Volumen eines Zylinders zu berechnen:
Beispiel:
Wie kannst du bei einem Zylinder das Volumen berechnen, wenn der Radius der Grundfläche und die Höhe sind?
Rechnung:
Volumen eines Kegels berechnen
Ein Kegel verhält sich zu einem Zylinder wie eine Pyramide zum Prisma: Der Körper läuft nach oben spitz zu und verliert daher an Volumen. Deshalb kannst du auch hier zwar die grundlegende Formel nutzen, musst aber das Ergebnis wieder durch drei teilen. Die Grundfläche ist wie beim Zylinder rund.
Daher ergibt sich diese Formel, um das Volumen eines Kegels zu berechnen:
Beispiel:
Wie kannst du das Volumen eines Kegels berechnen, wenn du den Radius und die Höhe gegeben hast?
Rechnung:
Übungen: Volumen berechnen aus anderen Angaben
Manchmal kannst du in Aufgaben das Volumen berechnen, indem du andere Formeln umstellst – zum Beispiel Formeln zum Umfang oder zur Oberfläche von Figuren oder Körpern. Dazu zeigen wir dir hier ein paar Beispiele.
Beispiel: Volumen berechnen aus dem Flächeninhalt
Wenn du den Flächeninhalt eines Körpers schon gegeben hast, ist es meist einfach, das Volumen zu berechnen. Du musst dann nur mit der Höhe multiplizieren. Beim Würfel kannst du diese sogar über den Flächeninhalt ermitteln.
Beispiel:
Ein Würfel hat einen Flächeninhalt von . Wie groß ist das Volumen?
Du weißt, dass der Flächeninhalt eines Würfels . Daher kannst du ausrechnen, dass eine Seitenlänge lang sein muss, denn . Damit kennst du auch die Höhe, denn bei einem Würfel sind alle Seiten gleich lang. Du kannst also das Volumen des Würfels so berechnen:
Beispiel: Volumen berechnen aus der Oberfläche
Für die Oberfläche einer Kugel gilt die Formel . Damit kannst du die folgende Aufgabe lösen.
Beispiel:
Eine Kugel hat eine Oberfläche von . Wie groß ist ihr Volumen?
Für die Formel für das Volumen brauchen wir den Radius. Den können wir ermitteln, indem wir die Formel für die Oberfläche umstellen:
Wir setzen ein:
Und jetzt können wir das Volumen der Kugel berechnen, indem wir unsere bekannte Formel nutzen:
Beispiel: Volumen berechnen aus dem Umfang
Wenn du bei einem Zylinder nur Umfang und Höhe gegeben hast, kannst du mithilfe der Formel für den Kreisumfang des Radius berechnen:
Beispiel:
Gegeben ist ein Zylinder. Der Umfang der Grundfläche ist und die Höhe ist . Wie kannst du das Volumen berechnen?
Wir stellen zuerst die Formel für den Umfang um, sodass wir den Radius erhalten:
Damit können wir jetzt das Volumen für den Zylinder berechnen:
Zusammenfassung: Volumen von Körpern berechnen
- Geometrische Körper haben einen Rauminhalt. Du kannst dessen Volumen berechnen.
- Oft multiplizierst du dazu den Flächeninhalt der Grundfläche mit der Höhe. Das gilt aber nicht für alle Körper.
- Die Einheit für das Volumen ist Kubikmeter (m³). Du kannst aber auch das Volumen in Litern berechnen. Ein Liter entspricht einem Kubikdezimeter (dm³).
- Profitipp: Du kannst das Volumen zusammengesetzter Körper berechnen, indem du die Körper in Kugeln, Quader, Zylinder etc. zerlegst. Dann rechnest du die einzelnen Volumina aus und addierst sie zum Schluss.
- Manchmal musst du Formeln umstellen – zum Beispiel für den Umfang oder die Oberfläche –, um das Volumen zu berechnen.
Was ist der Unterschied zwischen Volumen und Flächeninhalt?