Mathematik – Durchmesser berechnen

Endlich Sommer, 27 Grad und du möchtest einmal quer durch deinen Lieblingssee schwimmen! Aber – schaffst du wirklich die ganze Strecke? Mit ein bisschen Mathe (und einer Runde um den See) kannst du noch vom Ufer aus den Durchmesser berechnen und deine geschwommene Strecke später stolz in deine Fitness-App eintragen.

Okay, wahrscheinlicher ist es, dass du im Unterricht den Kreisdurchmesser berechnen musst. Was ist das genau?

Du kannst den Durchmesser auf verschiedene Arten berechnen, zum Beispiel aus dem Radius, aus dem Kreisumfang und aus dem Flächeninhalt des Kreises. Damit dir das leicht gelingt, schauen wir uns zuerst ein paar wichtige Grundlagen und Begriffe an.

• Die Kreislinie ist der äußere Rand – der Umfang (U$\mathit{U}$) des Kreises. Wenn du eine Runde um deinen Lieblingssee läufst, ist das der Umfang. Alle Punkte, die auf der Kreislinie liegen, haben exakt denselben Abstand zum Mittelpunkt (M$\mathit{M}$).
• Der Radius (r$\mathit{r}$) eines Kreises verläuft von einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie direkt zum Mittelpunkt. Er ist deshalb genau halb so lang wie der Durchmesser (d$\mathit{d}$). Wenn du vom Ufer direkt zur Mitte des Sees schwimmst, hast du den Radius zurückgelegt.
• Der Flächeninhalt (A$\mathit{A}$) eines Kreises ist die gesamte Fläche innerhalb der Kreislinie. Bei einem See wäre das die Wasseroberfläche.

So, jetzt bist du gut vorbereitet auf die Berechnung des Durchmessers und die entsprechenden Formeln.

Du hast verschiedene Möglichkeiten, den Kreisdurchmesser zu berechnen – je nachdem, welche Informationen du hast. Du kannst:

1. den Durchmesser aus dem Radius berechnen
2. den Durchmesser aus dem Umfang berechnen
3. den Durchmesser aus dem Flächeninhalt berechnen

1. Durchmesser aus dem Radius berechnen
Diese Berechnung ist super einfach, denn der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius:

Beispiel:

Gegeben ist ein Kreis mit einem Radius von 4 cm. Wie lang ist der Durchmesser?

Rechnung:

Setze r=4cm$r=4\text{cm}$ ein:

Schon hast du den Durchmesser berechnet!

2. Durchmesser berechnen mit dem Umfang eines Kreises
Die Formel, um den Umfang eines Kreises zu berechnen, lautet:

Weil der Radius (r$\mathit{r}$) ja halb so lang ist wie der Durchmesser (d$\mathit{d}$), kannst du auch schreiben:

Jetzt können wir die Formel so umstellen, dass wir d$\mathit{d}$ erhalten:

Beispiel:

Gegeben ist der Umfang eines Kreises U=25cm$U=25\text{cm}$. Berechne den Durchmesser.

Rechnung:

Wir können den Wert für den Umfang einsetzen:

3. Durchmesser aus dem Flächeninhalt berechnen
Du kannst außerdem den Kreisdurchmesser berechnen, wenn du nur die Fläche eines Kreises gegeben hast. So lautet die Formel für die Kreisfläche:

Wir stellen die Formel zunächst nach r$r$ um:

Wir wollen ja aber nicht mit dem Radius, sondern mit dem Durchmesser rechnen. Weil der Durchmesser doppelt so lang ist wie der Radius, können wir schreiben:

Beispiel:

Ein Kreis hat einen Flächeninhalt von 125 cm². Berechne den Durchmesser.

Rechnung:

Wir müssen den Wert für den Flächeninhalt einsetzen:

Tipp: Wenn du den Flächeninhalt der Grundfläche gegeben hast, kannst du auf diese Weise auch den Durchmesser eines Zylinders berechnen. Der bleibt nämlich gleich und wird weiterhin mithilfe der Fläche berechnet.

Jetzt hast du schon einige Male den Durchmesser berechnet. Im Matheunterricht begegnen dir vermutlich am ehesten Textaufgaben, die du lösen sollst. Schauen wir uns deshalb auch dazu ein paar Übungen und Beispiele zum Berechnen des Durchmessers an.

Beispiel 1
Aufgabe:

Das London Eye, das große Riesenrad in London, hat einen Radius von 60 Metern. Wie groß ist der Durchmesser?

Da der Radius gegeben ist, ist diese Aufgabe einfach zu lösen. Wir brauchen folgende Formel:

Wir setzen ein:

Antwortsatz: Der Durchmesser des London Eye beträgt 120 Meter.

Beispiel 2
Aufgabe:

Frau Krause hat um ihr rundes Beet herum Blumen gepflanzt. Bepflanzt hat sie eine Strecke von 240 cm. Pro 10 cm hat sie eine Blume gebraucht. Nun möchte sie auch noch eine „Linie“ mit Blumen quer durch das runde Beet ziehen. Wie lang wird diese Strecke sein und wie viele Blumen braucht sie?

In diesem Beispiel kennen wir die Länge des Umfangs. Daher brauchen wir für das Ergebnis diese Formel:

Wir setzen ein:

Da Frau Krause pro 10 cm eine Blume braucht, müssen wir das Ergebnis noch durch 10 teilen, wobei wir hier aufrunden können – Blumen gibt es schließlich nicht mit Kommastellen. 😉

Antwortsatz: Frau Krause braucht 8 Blumen, um die 76,39 cm Durchmesser ihres Beets zu bepflanzen.

Beispiel 3
Aufgabe:

Auf einer eingezäunten runden Fläche von 300 m²  sollen Wölfe und Schafe gehalten werden. Dazu muss genau in der Mitte ein Zaun gebaut werden, der die Fläche in zwei Hälften teilt. Wie lang muss dieser Zaun sein? 

In diesem Beispiel ist die Fläche gegeben. Wir müssen daher mit der Formel für den Flächeninhalt rechnen:

Wir müssen den bekannten Wert in die Formel einsetzen:

Jetzt können wir den Durchmesser berechnen:

Antwortsatz: Der Zaun muss 19,54 Meter lang sein.

• Der Durchmesser eines Kreises beginnt an einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie, geht dann gerade durch den Mittelpunkt des Kreises und endet am gegenüberliegenden Punkt auf der Kreislinie.
• Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Durchmesser zu berechnen: mithilfe des Radius, anhand des Umfangs oder mit der Fläche des Kreises.
• Dafür gibt es unterschiedliche Formeln, die du hier im Text kennengelernt hast. Oft brauchst du dabei die Kreiszahl Pi (π$\pi$). Sie hat unendlich viele Stellen, du kannst aber gerundet mit etwa 3,14 rechnen.

Wie rechnet man den Durchmesser von einem Kreis aus?
Du kannst den Durchmesser eines Kreises mit unterschiedlichen Formeln ausrechnen:

Radius gegeben:

Umfang gegeben:

Flächeninhalt gegeben: 

Wie kann ich den Radius berechnen?
Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius. Deshalb kannst du mit r=12⋅d$r=\frac{1}{2}\cdot d$ rechnen.

Ist der Durchmesser die Hälfte des Umfangs?
Der Durchmesser ist nicht halb so lang wie der Umfang. Er steht aber im Verhältnis zum Umfang, nämlich so:

Damit ist der Durchmesser ungefähr (aber nicht genau) ein Drittel des Umfangs.