Mathematik – p-q-Formel

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen. Die p-q-Formel ist eine dieser Möglichkeiten und erleichtert es dir, 

1. zu erkennen, ob eine quadratische Gleichung überhaupt lösbar ist, und
2. die Gleichung mit wenig Aufwand zu lösen.

Ob eine quadratische Gleichung lösbar ist, hängt davon ab, ob die Kurve bei der grafischen Darstellung die x-Achse schneidet, also Nullstellen hat:

Wie du siehst, gibt es bei quadratischen Gleichungen drei Möglichkeiten: 

1. Die in Blau dargestellte Funktion hat zwei Nullstellen, die Gleichung hat also zwei Lösungen.
2. Die in Grün dargestellte Funktion hat eine Nullstelle und die Gleichung damit eine Lösung.
3. Die in Rot dargestellte Funktion hat keine Nullstellen, die Gleichung ist also nicht lösbar.

Um welchen Fall es sich handelt – und auch die eventuelle(n) Lösung(en) der Gleichung – findest du mithilfe der p-q-Formel heraus. So sieht sie aus: 

Bevor wir uns das an ein paar Beispielen genau ansehen, lass uns zunächst betrachten, wann es überhaupt sinnvoll ist, die p-q-Formel zu nutzen. 

Du kannst die p-q-Formel für folgende Arten von quadratischen Gleichungen nutzen:

• reinquadratische Gleichungen (z.B.  x2=81$x^2=81$)
• gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied (z. B.  x2−6x=0$x^2-6x=0$)
  
• gemischtquadratische Gleichungen mit Absolutglied (z. B. x2−6x+5=0$x^2-6x+5=0$)
  

Vielleicht erkennst du bereits, dass die p-q-Formel für reinquadratische Gleichungen wie x2=81$x^2=81$ nicht zwingend notwendig ist, da es hier genügt, die Wurzel zu ziehen: 

 x2=81$x^2=81$

Daraus die Wurzel ziehen: x=9$x=9$

Bei gemischtquadratischen Gleichungen erleichtert die p-q-Formel den Rechenweg jedoch deutlich. 

Wann bringt dich die p-q-Formel nicht weiter?

Die p-q-Formel funktioniert nur dann, wenn vor dem  x2$x^2$ der Vorfaktor 1 steht. Dieser wird meist nicht ausgeschrieben:  (1)x2−8x+4=0$(1)x^2-8x+4=0$. Wenn vor dem x2$x^2$ ein anderer Vorfaktor steht – zum Beispiel 3x2−8x+4$3x^2-8x+4$ dann verwendest du stattdessen die Mitternachtsformel, die wir dir weiter unten erklären.

Du brauchst nur fünf Schritte, um die p-q-Formel zu nutzen. Auf diese kurze Anleitung kannst du immer wieder zurückgreifen. Wir gehen sie aber auch gleich an konkreten Beispielen durch, damit alles glasklar wird.

1. Bringe die quadratische Gleichung in die Normalform.

Du kannst die p-q-Formel nur dann anwenden, wenn die Gleichung in der Normalform ( 0=x2+px+q$0=x^2+px+q$ steht. Ist das nicht der Fall, musst du die Gleichung erst umstellen.

Beispiel: 15=x2+3x$15=x^2+3x$

Wir stellen um: 

15=x2+3x$15=x^2+3x$ | −15$-15$

0=x2−3x−15$0=x^2-3x-15$

Jetzt kannst du die p-q-Formel nutzen.

2. Ermittle p und q. Wie das genau geht, siehst du gleich im Beispiel. Achte dabei genau auf die Vorzeichen!

3. Setze p und q in die Formel ein.  

4. Löse die Gleichung. 

5. Schreibe die Lösungsmenge auf.

Schauen wir uns das Ganze jetzt an konkreten Beispielen genauer an!

Wir erklären dir jetzt die Anwendung der p-q-Formel in fünf Schritten. 

1. Bringe die quadratische Gleichung in die Normalform 0=x2+px+q$0=x^2+px+q$.

Hier ein Beispiel: 

−5=x2−6x$-5=x^2-6x$

Wir stellen um:

−5=x2−6x$-5=x^2-6x$ | +5$+5$

0=x2−6x+5$0=x^2-6x+5$

2. Ermittle p und q.

x1,2=−p2±(p2)2−q−−−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}$

0=x2−6x+5$0=x^2-6x+5$

Für unsere Beispielgleichung gilt also:

p (der Vorfaktor vor dem x1$x^1$)  =−6$=-6$ (Achtung, Vorzeichen!)

q (das Absolutglied) =5$=5$

3. Setze p und q in die Formel ein.

x1,2=−−62±(−62)2−5−−−−−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{-6}{2}\right)}^2-5}$

4. Löse die Gleichung.

x1,2=−−62±(−62)2−5−−−−−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{-6}{2}\right)}^2-5}$

x1,2=−−62±364−5−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm \sqrt{\frac{36}{4}-5}$

x1,2=−−62±9−5−−−−√$x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm \sqrt{9-5}$

x1,2=−−62±4–√$x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm \sqrt{4}$

x1,2=−−62±2$x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm 2$

x1,2=3±2$x_{1,2}=3\pm 2$

An dieser Stelle erkennst du nun, dass es zwei Lösungen (x1 und x2) gibt: 

x1=3+2=5$x_1=3+2=5$

x2=3−2=1$x_2=3-2=1$

5. Schreibe die Lösungsmenge auf.

Die Lösungsmenge lautet L={1;5}. Das bedeutet, dass die Funktion zwei Nullstellen hat, die x-Achse also bei 1 und 5 schneidet.

Manchmal möchtest du vielleicht nicht die gesamte Gleichung lösen, sondern lediglich feststellen, ob eine Funktion Nullstellen hat und wenn ja, wie viele. Dabei hilft dir die Diskriminante.

Die Diskriminante kann 

• >0$>0$ sein – dann gibt es zwei Nullstellen bzw. Lösungen;
• =0$=0$ sein – dann gibt es genau eine Lösung;
• <0$<0$ sein – dann gibt es keine Nullstellen bzw. Lösungen.
  

Diskriminante >0$>0$: zwei Nullstellen bzw. Lösungen

Werfen wir noch einmal einen Blick auf unsere Beispielrechnung: 

x1,2=−−62±(−62)2−5−−−−−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{-6}{2}\right)}^2-5}$

Die Diskriminante ist (−62)2−5${\left(\frac{-6}{2}\right)}^2-5$

Wir vereinfachen:

(364)−5$\left(\frac{36}{4}\right)-5$

9−5$9-5$

4$4$

Die Diskriminante ist mit 4 größer als 0. Du weißt also, dass es für diese Gleichung zwei Lösungen bzw. zwei Nullstellen in der Funktion gibt. 

Wenn nötig, kannst du nun die vereinfachte Diskriminante nutzen, um mithilfe der p-q-Formel die Gleichung zu lösen: 

x1,2=−−62±(−62)2−5−−−−−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{-6}{2}\right)}^2-5}$

x1,2=−−62±4–√$x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm \sqrt{4}$

x1,2=−3±2$x_{1,2}=-3\pm 2$

Und wie erwartet findest du hier dieselben zwei Lösungen (bzw. Nullstellen), die wir bereits oben berechnet haben:

x1=3+2=5$x_1=3+2=5$

x2=3−2=1$x_2=3-2=1$

Diskriminante =0$=0$: genau eine Nullstelle bzw. Lösung

Wir nehmen als Beispiel folgende Gleichung: 

0=x2−8x+16$0=x^2-8x+16$ (Achtung: Wir nehmen wieder die Vorzeichen mit: p=−8$p=-8$ und  q=16$q=16$)

Laut p-q-Formel lautet die Diskriminante:

(−82)2−16${\left(\frac{-8}{2}\right)}^2-16$

Wir vereinfachen:

(644)−16$\left(\frac{64}{4}\right)-16$

16−16$16-16$

0$0$

Die Diskriminante ist 0. Du weißt also, dass deine Gleichung genau eine Lösung bzw. die Funktion genau eine Nullstelle haben wird.

Diese kannst du, wenn nötig, auch berechnen: 

x1,2=−−82±(−82)2−16−−−−−−−−−−√$x_{1,2}=-\frac{-8}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{-8}{2}\right)}^2-16}$

x1,2=−−82±0–√$x_{1,2}=-\frac{-8}{2}\pm \sqrt{0}$

x1,2=4±0$x_{1,2}=4\pm 0$

Die beiden Möglichkeiten 4 + 0 und 4 − 0 ergeben beide 4. Die Lösungsmenge lautet also L={4}.

Diskriminante <0$<0$: keine Nullstellen bzw. Lösungen

Wir nehmen als Beispiel folgende Gleichung: 

 0=x2−4x+7$0=x^2-4x+7$ (Beachte wieder die Vorzeichen!)

Laut p-q-Formel lautet die Diskriminante:

(−42)2−7${\left(\frac{-4}{2}\right)}^2-7$

Wir vereinfachen:

(−42)2−7${\left(\frac{-4}{2}\right)}^2-7$

4−7$4-7$

−3$-3$

An dieser Stelle erkennst du, dass die Diskriminante negativ ist – du müsstest hier also die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen. Da das nicht möglich ist, brauchst du nicht weiterzurechnen. Die Lösungsmenge lautet hier: L={}

Wie du zu Anfang erfahren hast, kannst du die p-q-Formel nur anwenden, wenn der Vorfaktor vor dem x2=1$x^2=1$ ist. Was aber tust du bei folgender Gleichung? 

0=3x2−6x+12$0=3x^2-6x+12$

In diesem Fall hilft dir statt der p-q-Formel die sogenannte ABC-Formel, auch „Mitternachtsformel“ genannt. Sie lautet: 

x1,2=−b±b2−4ac√2a$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Das Vorgehen ist genau dasselbe wie bei der Anwendung der p-q-Formel:

1. Bringe die quadratische Gleichung in die Normalform. Für die Mitternachtsformel lautet diese 0=ax2+bx+c$0=a{x}^2+bx+c$.

Beispiel:

 −10=2x2+12x$-10=2x^2+12x$ | +10

 2x2+12x+10$2x^2+12x+10$

2. Ermittle a, b und c. Achte auch hier wieder auf die Vorzeichen!

 a=2$a=2$ ;  b=−12$b=-12$ ;  c=10$c=10$

3. Setze a, b und c in die Formel ein:

x1,2=−(−12)±122−4⋅2⋅10√2⋅2$x_{1,2}=\frac{-(-12)\pm \sqrt{{12}^2-4\cdot 2\cdot 10}}{2\cdot 2}$

4. Löse die Gleichung:

x1,2=12±122−4⋅2⋅10√2⋅2$x_{1,2}=\frac{12\pm \sqrt{{12}^2-4\cdot 2\cdot 10}}{2\cdot 2}$

x1,2=12±144−80√4$x_{1,2}=\frac{12\pm \sqrt{144-80}}{4}$

x1,2=12±64√4$x_{1,2}=\frac{12\pm \sqrt{64}}{4}$

x1,2=12±84$x_{1,2}=\frac{12\pm 8}{4}$

Es gibt zwei mögliche Lösungen, also auch zwei Nullstellen:

x1=12+84=204=5$x_1=\frac{12+8}{4}=\frac{20}{4}=5$

x2=12−84=44=1$x_2=\frac{12-8}{4}=\frac{4}{4}=1$

5. Schreibe die Lösungsmenge auf:

L={1;5}.

Übrigens: Die Mitternachtsformel funktioniert für alle quadratischen Gleichungen, für die du auch die p-q-Formel anwenden kannst. Wenn der Vorfaktor vor dem x2$x^2$ also 1$1$ ist, kannst du wählen, welche Formel du lieber nutzen möchtest.

Du weißt nun, dass die p-q-Formel dir hilft, quadratische – insbesondere gemischtquadratische – Gleichungen zu lösen.

Wichtiger Hinweis: Steht ein Vorfaktor vor dem x2$x^2$, der nicht 1$1$ ist, hilft dir die p-q-Formel nicht weiter. Nutze in diesem Fall die ABC- bzw. Mitternachtsformel.