Mathematik – Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz in Mathematik hilft dir beim Rechnen. Du kannst damit deine Rechnungen so vereinfachen, dass du schneller und leichter zum richtigen Ergebnis kommst. Wir zeigen dir mit vielen Beispielen, wie das geht. 

Das Kommutativgesetz ist eins der Gesetze in Mathe, die dir das Rechnen erleichtern. Es gehört zu einer Gruppe von drei wichtigen Rechengesetzen: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz. 

Was bedeutet das genau? Erst müssen wir verstehen, was mit „reinen Additionen“ und „reinen Multiplikationen“ gemeint ist:

• Eine reine Addition enthält nur Summanden (also nur Pluszeichen als Rechenoperatoren). 4+5+2$4+5+2$ ist eine reine Addition.
• Eine reine Multiplikation enthält nur Faktoren. 3⋅5⋅7$3\cdot 5\cdot 7$ ist eine reine Multiplikation
• Die Rechenoperatoren dürfen aber nicht gemischt sein: 3⋅5+4$3\cdot 5+4$ ist keine reine Addition oder Multiplikation. Hier darfst du das Kommutativgesetz nicht anwenden.

Deine Aufgabe enthält nur Plus- oder nur Malzeichen? Super! Dann darfst du die Summanden oder Faktoren vertauschen:

5+4=4+5$5+4=4+5$

3⋅7=7⋅3$3\cdot 7=7\cdot 3$

Dabei ist es egal, wie viele Summanden oder Faktoren vorkommen. Du darfst sie alle so sortieren, wie es für dich am leichtesten ist:

2+9+7+3=7+3+9+2$2+9+7+3=7+3+9+2$

Du kannst das Kommutativgesetz auch allgemein schreiben. Wir schreiben statt der Zahlen dann einfach Buchstaben, da wir ja nicht genau wissen, welche Zahlen vorkommen:

a+b=b+a$a+b=b+a$

a⋅b=b⋅a$a\cdot b=b\cdot a$

Nehmen wir an, du sammelst Karten in einer Sammelbox. Am ersten Tag legst du 5 Karten in deine Box. Am nächsten Tag legst du 2 weitere dazu und am dritten Tag noch einmal 3. So sieht deine Rechnung aus:

5+2+3=10$5+2+3=10$

Du könntest es aber auch so machen, dass du am ersten Tag den Stapel mit 2 Karten hineinlegst, am nächsten Tag den Stapel mit 5 Karten und zuletzt die verbleibenden 3 Karten:

2+5+3=10$2+5+3=10$

Du siehst: Am Ende hast du natürlich genauso viele Karten – eine einfache Erklärung für das Kommutativgesetz.

Das Ganze funktioniert genauso bei der Multiplikation. Wenn du 5 Karten hast und jemand bietet dir an, dir zweimal so viele Karten zu geben, dann hast du 10 Karten. Wenn du mit 2 Karten startest und jemand gibt dir fünfmal so viele, sind das ebenfalls 10. 

Rechengesetze wie das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz sind nicht (nur) zum Auswendiglernen da. Sie sollen dir vor allem helfen, leichter zu rechnen. Welche Vorteile hast du nun also davon? 

Das Kommutativgesetz in der Addition hilft dir vor allem dann weiter, wenn du zwei „verliebte Zahlen“ zusammenbringen kannst. „Verliebte Zahlen“ sind zwei Zahlen, die zusammen 10 ergeben, also zum Beispiel 7 und 3.

Beispiel 1: Kommutativgesetz in der Addition

Du hast diese Aufgabe vor dir:

8+3+12=?$8+3+12=?$

Das kannst du jetzt einfach von links nach rechts ausrechnen: 8+3=11$8+3=11$, plus 12$12$ ist gleich 23$23$.

Vielleicht fällt er dir aber leichter, so zu rechnen:

12+8+3=?$12+8+3=?$

12+8$12+8$ lässt sich (dank der "verliebten Zahlen" 2 und 8) leicht zu 20$20$ addieren, und dann musst du nur noch 3$3$ hinzurechnen.

Beispiel 2: Kommutativgesetz in einer längeren Rechnung (Addition)

Aufgaben zum Kommutativgesetz enthalten oft viele Summanden. Auch dann kann es vorteilhaft sein, wenn du „verliebte Zahlen“ zusammenziehst, um leichter zu rechnen:

6+25+15+13+5+14=?$6+25+15+13+5+14=?$

In dieser Reihenfolge rechnet es sich einfacher (vor allem dann, wenn du jeweils zwei Zahlen  zusammenrechnest):

27+13+15+5+14+6=40+20+20=80$27+13+15+5+14+6=40+20+20=80$

Beispiel 3: Kommutativgesetz in der Multiplikation

Schau dir diese Aufgabe an:

5⋅7⋅2=?$5\cdot 7\cdot 2=?$

Das kannst du vielleicht noch recht einfach im Kopf rechnen. Aber einfacher wäre trotzdem:

5⋅2⋅7=10⋅7=70$5\cdot 2\cdot 7=10\cdot 7=70$

Beispiel 4: Kommutativgesetz mit Zehnern und Hundertern (Multiplikation)

In längeren Multiplikationen solltest du danach Ausschau halten, ob du zwei Faktoren zu Zahlen wie 10 oder 100 zusammenziehen kannst:

20⋅6⋅5=?$20\cdot 6\cdot 5=?$

Hier siehst du vielleicht, dass 5⋅20=100$5\cdot 20=100$ ist. Und damit lässt es sich leichter rechnen:

5⋅20⋅60=100⋅6=600$5\cdot 20\cdot 60=100\cdot 6=600$

Das Assoziativgesetz besagt, dass du in Additionen und Multiplikationen die Klammern beliebig setzen darfst. 

Das Kommutativgesetz sagt dir, dass du die Summanden und Faktoren beliebig tauschen darfst.

Das lässt sich oft super kombinieren, um Rechnungen zu vereinfachen.

Schau dir diese Aufgabe an:

(6⋅8)⋅(5⋅5)=?$(6\cdot 8)\cdot (5\cdot 5)=?$

Hier sollst du eigentlich die Klammern zuerst ausrechnen:

(6⋅8)⋅(5⋅5)=48⋅25=?$(6\cdot 8)\cdot (5\cdot 5)=48\cdot 25=?$

Das ist gar nicht so leicht auszurechnen. Aber: Dank Assoziativ- und Kommutativgesetz darfst du die Faktoren beliebig vertauschen und auch die Klammern so setzen, wie es dir hilft. Zum Beispiel so:

(6⋅5)(˙8⋅5)=30⋅40=1.200$(6\cdot 5)\dot{(}8\cdot 5)=30\cdot 40=1.200$

Das ist einfacher, oder?

Vorsicht: Du darfst Aufgaben nur mit dem Kommutativgesetz lösen, wenn du eine reine Addition oder Multiplikation vor dir hast. 

Gehen wir noch einmal zu unserem Beispiel mit den Sammelkarten zurück: Wenn du 25 Karten in deiner Box hast und dann am ersten Tag 12 und am zweiten Tag 6 Karten herausnimmst, sieht deine Rechnung so aus:

25−12−6=7$25-12-6=7$

Hier darfst du die Zahlen aber nicht beliebig vertauschen. Du kannst ja nicht 12 Karten in deiner Box haben und dann 25 herausnehmen.

Genauso ist es bei der Division. Wenn du 10 Karten hast und sie an 5 Leute verteilen möchtest, bekommt jeder 2. Wenn du aber nur 5 Karten hast, kannst du sie ja schon gar nicht mehr an 10 Leute verteilen. 

Achte deshalb bei Übungen zum Kommutativgesetz immer genau darauf, ob du wirklich eine reine Addition oder Multiplikation vor dir hast. 

Mathematische Gesetze wie das Kommutativgesetz funktionieren auch mit negativen Zahlen. Hier musst du nur sehr darauf achten, dass du das Vorzeichen beim Tauschen immer mitnimmst – und es nicht mit einem Rechenzeichen verwechselst. 

Beispiel 1:

−7+10−5=−2$-7+10-5=-2$

Du darfst ebenso schreiben:

−5+10+(−7)=−2$-5+10+(-7)=-2$

Schauen wir uns außerdem ein Beispiel zum Kommutativgesetz in der Multiplikation an.

Beispiel 2:

−2⋅7⋅(−3)=42$-2\cdot 7\cdot (-3)=42$

Du könntest ebenso schreiben:

−2⋅(−3)⋅7=42$-2\cdot (-3)\cdot 7=42$

Auch in der Bruchrechnung kann das Kommutativgesetz nützlich sein – besonders beim Addieren von Brüchen. Denn: Um Brüche zusammenzurechnen, musst du sie ja auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Das kann manchmal ganz schön kompliziert werden:

13+25+23+27+35+57=?$\frac{1}{3}+\frac{2}{5}+\frac{2}{3}+\frac{2}{7}+\frac{3}{5}+\frac{5}{7}=?$

Du hast hier drei verschiedene Nenner. Der kleinste gemeinsame Nenner wäre 35$35$ – ganz schön aufwendig, die Brüche so zu erweitern!

Zum Glück kannst du die Brüche mit dem Kommutativgesetz einfacher addieren, indem du sie einfach anders sortierst:

13+23+25+35+27+57=?$\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2}{5}+\frac{3}{5}+\frac{2}{7}+\frac{5}{7}=?$

Jetzt kannst du noch klammern setzen:

(13+23)+(25+35)+(27+57)=33+55+77=1+1+1=3$(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{2}{5}+\frac{3}{5})+(\frac{2}{7}+\frac{5}{7})=\frac{3}{3}+\frac{5}{5}+\frac{7}{7}=1+1+1=3$

Super, oder?

• Das Kommutativgesetz in Mathe ist ein wichtiges Rechengesetz. 
  
• Es besagt, dass du in Additionen und Multiplikationen die Summanden bzw. Faktoren vertauschen darfst. Das hilft dir, vorteilhafter zu rechnen. 
  
• Du darfst das Kommutativgesetz in einer reinen Addition oder einer reinen Multiplikation anwenden. 
  
• In der Subtraktion und Division gilt das Kommutativgesetz nicht. 
  
• Du darfst es aber verwenden, um negative Zahlen oder Brüche zu addieren oder zu multiplizieren.