Mathematik – Logarithmus-Regeln

Du arbeitest in der Schule mit der Logarithmusfunktion? Super! Hier findest du wichtige Regeln zum Logarithmus und zur ln-Funktion. Wir erklären dir die Rechenregeln an einfachen Beispielen, damit du sie leicht verstehen kannst. 

Bevor wir uns die Rechenregeln zum Logarithmus anschauen, lass uns kurz wiederholen, was es mit "log" und "ln" überhaupt auf sich hat.

Schau dir dazu folgende einfache Ausgabe an:

4x=1.024

Wie können wir hier x ausrechnen? Wir wenden die Logarithmusfunktion an. Da schreiben wir so:

x=1.024

Wie haben wir das gemacht? Achte auf die Farben:

4x=1.024

x=1.024

Die erste Funktion nennen wir eine Exponentialfunktion. Sie hat eine Basis (4), die wir hier grün markiert haben. Außerdem gibt es in Exponentialfunktionen immer auch einen Exponenten (hier x). Wir haben ihn gelb markiert. Schließlich gibt es noch das Ergebnis (1.024), hier in Blau. 

Die Regeln für die Exponentialfunktion und den Logarithmus sind ähnlich, denn die Exponentialfunktion ist die Umkehrfunktion des Logarithmus. Deshalb können wir eine Exponentialfunktion in eine Logarithmusfunktion umwandeln. Dabei passiert Folgendes:

• Die Basis (4) bleibt dabei gleich und wird nun zur Basis des Logarithmus. 
• Das ursprüngliche Ergebnis (1.024) wird zum Numerus des Logarithmus. Manchmal wird der Numerus auch Argument genannt. 
• Aus dem Exponenten x wird das Ergebnis.

So sieht die Funktion jetzt aus:

x=1.024

Das rechnest du einfach mit deinem Taschenrechner aus:

1.024=5

Übrigens: "log" ist die Abkürzung für Logarithmus.

Allgemein kannst du schreiben:

b=x

• a ist die Basis.
• b ist der Numerus bzw. das Argument.

Weiter unten stellen wir dir wichtige Rechenregeln zum Logarithmus vor. Du musst aber zunächst ein paar grundlegende Regeln kennen: 

• Die Basis des Logarithmus muss immer größer als null sein.
• Der Numerus darf ebenfalls nur größer als null sein. 
• Wenn du eine Zahl mit 0 potenzierst, ist das Ergebnis immer 1. Daher gilt: 1=0. Das gilt unabhängig von der Basis. Du kannst daher für a hier alle zulässigen Zahlen (also Zahlen größer als null) einsetzen und die Regel stimmt trotzdem. 
• Wenn du eine Zahl mit 1 potenzierst, ist das Ergebnis immer die Zahl selbst. Daher gilt: a=1. Auch hier spielt es keine Rolle, welche Basis du hast. 

Wir schauen uns zuerst alle log-Rechenregeln im Überblick an. Danach zeigen wir dir Beispiele dazu, wie du Aufgaben zum Logarithmus damit lösen kannst. 

Logarithmus-Regel für Addition (Produktregel)

(x⋅y)=x+y

Logarithmus-Regel für Subtraktion (Quotientenregel)

xy=x−y

1. Potenzregel des Logarithmus (Regel für Potenzen)

xy=y⋅x

2. Potenzregel des Logarithmus (Regel für Wurzeln)

y√x=1y⋅x

Basiswechsel beim Logarithmus

x=xa

Die Produktregel ist eine der wichtigsten Regeln des Logarithmus. Du kannst mit dieser Regel den Logarithmus eines Produkts berechnen, und zwar, indem du die Summe aus den einzelnen Logarithmen bildest. 

Beispiel: 

27⋅81

Wie kannst du diesen Logarithmus berechnen? Du bildest zu den beiden Faktoren 27 und 81 zuerst separat die Logarithmen. Dann addierst du die Ergebnisse:

27⋅81=27+81=3+4=7

Tipp: Genauso richtig wäre es, wenn du zuerst das Produkt aus den beiden Faktoren bilden und dann davon den Logarithmus berechnen würdest. Also: 

27⋅81=log32.187=7

Warum gibt es dann überhaupt diese Logarithmus-Regel zur Summe? Weil du manchmal Aufgaben zum Logarithmus lösen musst, in denen Variablen vorkommen. Dann kannst du das Produkt eben nicht so leicht bilden und musst daher den Umweg über diese Regel nehmen. 

Noch ein Beispiel:

625⋅25=625+25=4+2=6

Allgemein lautet diese Regel so:

(x⋅y)=x+y

Mit dieser Regel kannst du Logarithmusgleichungen lösen, in denen Brüche vorkommen. Analog zur Regel oben bildest du den Logarithmus eines Bruchs, indem du den Logarithmus des Zählers und des Nenners separat bildest – und dann die Differenz daraus berechnest. 

Beispiel: 

864=8−64

Wir rechnen aus:

864=8−64=3−6=−3

Auch hier hast du die Möglichkeit, zuerst den Quotienten zu bilden und dann davon den Logarithmus zu berechnen: 

864=0,125=−3.

Sehr nützlich ist diese Logarithmus-Regel, wenn dein Bruch Variablen enthält und du nicht ohne Weiteres den Quotienten bilden kannst.  

Ein weiteres Beispiel für dich:

21636=216−36=3−2=1

Allgemein geschrieben lautet diese Logarithmus-Regel:

xy=x−y

Manchmal bearbeitest du Aufgaben mit Logarithmen, die eine Potenz haben. Auch dafür gibt es zum Glück die passende Regel. Schauen wir uns ein Beispiel dazu an.

Beispiel:

815

Wie gehst du nun vor? Du musst einfach nur den Exponenten als Faktor vor den Logarithmus ziehen. Ansonsten veränderst du nichts – die Basis und das Argument (der Numerus) bleiben gleich. Du erhältst dann folgendes Ergebnis:

815=5⋅81

Wir rechnen aus:

815=5⋅81=5⋅2=10

Und gleich noch ein Beispiel:

643=3⋅64=3⋅3=9

So schreibt man die Logarithmus-Regel für Exponenten allgemein:

xy=y⋅x

Diesmal sollst du den Logarithmus einer Wurzel bilden. Auch dafür gibt es eine Regel. Wir erklären sie dir an einem Beispiel. 

Beispiel: 

6√256=16⋅256

Was ist hier passiert? Zuerst musst du den Wurzelexponenten finden. Er steht an der Wurzel – wir haben ihn hier gelb markiert. Du bildest daraus den Nenner eines Bruchs und mit diesem Bruch nimmst du dann den Logarithmus des Radikanden mal. Der Radikand ist die Zahl unter der Wurzel. Die Basis bleibt wieder gleich.

Und so rechnest du es aus:

6√256=16⋅256=16⋅4=46=23

Schauen wir uns noch ein Beispiel an:

√125=12⋅125

Warum steht hier eine 2 im Nenner? Das ist der Wurzelexponent. Denn wir ziehen ja die zweite Wurzel: 2√ Das ist eine Quadratwurzel. Normalerweise wird der Wurzelexponent 2 nicht hingeschrieben.

Und so sieht die allgemeine Schreibweise für diese Logarithmus-Regel aus:

y√x=1y⋅x

Vielleicht ist dir aufgefallen, dass alle Beispiele der Logarithmus-Regeln bisher immer dieselbe Basis hatten. Was passiert aber, wenn du zwei (oder mehr) Logarithmen mit unterschiedlicher Basis kombinieren sollst?

Dann musst du einen sogenannten Basiswechsel durchführen. Dafür gibt es auch wieder Regeln. 

Diesmal schauen wir uns zuerst die allgemeine Schreibweise an:

x=xa

Hier musst du mit den Bezeichnungen sehr genau sein, damit du nichts durcheinander bringst. Mit dem Buchstaben a bezeichnen wir hier (wie bisher auch) eine Basis. Der Buchstabe b ist diesmal aber nicht der Numerus, sondern die andere Basis. Das ist die Basis, in die du umwandeln willst.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Wir haben 8 und wollen dieses Logarithmus zur Basis 4 umformen. 

2 ist die Basis, die wir haben, und 4 ist die Basis, in die wir umwandeln wollen. Das setzen wir jetzt in unsere Formel ein: 

8=8a

8=82

Jetzt können wir das ausrechnen:

8=82=1,50,5=3

Und so kommst du von einer Basis zur anderen. Schauen wir uns noch ein Beispiel an, in dem Variablen vorkommen.

Beispiel: Basiswechsel mit Variablen

Folgenden Ausdruck hast du gegeben: 

x x

Wir wollen jetzt dieselbe Basis herstellen. Wir entscheiden uns, die Basis 16 auf die Basis 4 zu bringen. Dann ist 16 die Basis, die wir haben (a in unserer Formel), und 4 die Basis, in die wir umwandeln wollen (b in der Formel).

Jetzt müssen wir einfach nur einsetzen (und dabei sehr genau auf die Buchstaben achten): 

x=xa

x=x16

Jetzt haben wir den Basiswechsel erfolgreich durchgeführt. Wir sind aber noch nicht fertig, denn wir wollten ja unseren ursprünglichen Ausdruck vereinfachen. Unser Ergebnis von hier setzen wir daher jetzt in diesen ursprünglichen Ausdruck ein:

x x=x16⋅x

Was hat uns das jetzt gebracht? Zum einen können wir sofort den Nenner ausrechnen: 

x16⋅x=x2⋅x

Und den Zähler können wir zumindest vereinfachen: 

(x)22

Mit diesem Ausdruck können wir jetzt leichter rechnen. 

Du weißt bereits, dass die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion die Exponentialfunktion ist. Nun gibt es eine besondere Exponentialfunktion, nämlich die e-Funktion. Sie hat als Basis die Eulersche Zahl e. Deshalb ist auch ihre Umkehrfunktion besonders. Das ist nämlich der natürliche Logarithmus. 

Die Regeln für den natürlichen Logarithmus sind dieselben wie die Logarithmus-Rechenregeln, die du oben kennengelernt hast. Sie sehen nur etwas anders aus. Hier eine Übersicht der ln-Regeln für den Logarithmus mit der Basis e:

Produktregel des Logarithmus:

ln ln(x⋅y)=ln ln(x)+ln(y)

Quotientenregel des Logarithmus:

ln ln(yx)=ln ln(x)−ln ln(y)

1. Potenzregel des Logarithmus:

ln ln(xy)=y⋅ln(x)

2. Potenzregel des Logarithmus:

ln ln(y√x)=1y⋅ln(x)

Basiswechsel beim Logarithmus:

ln ln(x)=xe

Wie kannst du den Logarithmus ableiten? Schauen wir uns zuerst die Regeln zum Ableiten des natürlichen Logarithmus an.

Logarithmus-Regeln: ln ableiten

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist ganz einfach:

f(x)=ln(x)

f′(x)=1x

Allerdings kommt der natürliche Logarithmus selten in so einfacher Form daher. Oft brauchst du daher auch andere Ableitungsregeln, vor allem die Kettenregel. Schau dir gern unsere Seiten dazu an!

Logarithmus-Regeln: Logarithmus ableiten

Beim Ableiten der Logarithmusfunktion musst du außerdem noch die Basis beachten:

f(x)=x

f′(x)=1ln(a)⋅x

• Die Logarithmus-Rechenregeln helfen dir, Aufgaben mit Logarithmusfunktionen leichter zu bearbeiten.
  
• Du musst unterscheiden zwischen den log-Rechenregeln (für die Logarithmusfunktion) und den ln-Rechenregeln (für den natürlichen Logarithmus). 
  
• Die Umkehrfunktion der Logarithmusfunktion ist die Exponentialfunktion. Die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus ist die e-Funktion. 
  
• Daher hängen die Regeln für (natürlichen) Logarithmus und e-Funktion bzw. Exponentialfunktion eng zusammen.
  
• Du kannst sowohl die Logarithmusfunktion als auch die ln-Funktion ableiten. 

Hier noch einmal alle Regeln zum Logarithmus in Worten zusammengefasst: 

• Du berechnest den Logarithmus eines Produkts, indem du die Summe aus den Logarithmen den einzelnen Faktoren bildest. 
  
• Du berechnest den Logarithmus eines Bruchs (Quotienten), indem du den Logarithmus des Nenners vom Logarithmus des Zählers abziehst. 
  
• Du berechnest den Logarithmus einer Potenz, indem du den Logarithmus der Basis (des Exponenten) mit dem Exponenten multiplizierst.
  
• Du berechnest den Logarithmus einer Wurzel, indem du den Logarithmus des Radikanden mit dem Kehrwert des Wurzelexponenten malnimmst (oder durch den Wurzelexponenten teilst). 
  
• Nicht zuletzt kannst du auch die Basis des Logarithmus umwandeln, damit du deine Rechnung vereinfachen kannst.