Mathematik – Sinusfunktion

Die Sinusfunktion ist eine der wichtigsten trigonometrischen Funktionen in Mathe. Wir erklären dir hier, wie sie aussieht, welche Parameter die Sinusfunktion verschieben und wie du Nullstellen und mehr berechnest. Dazu haben wir viele Beispiele und Grafiken für dich!

Die Sinusfunktion gehört wie die Kosinusfunktion und die Tangensfunktion zu den trigonometrischen Funktionen. Du kennst wahrscheinlich diese vereinfachte Formel für die Sinusfunktion:

f(x)=sin(x)$f(x)=sin(x)$

Man sagt auch: Das ist die „normale“ Sinusfunktion. Die Sinusfunktion kann auch komplizierter aussehen, aber schauen wir uns zunächst einmal die normale Sinusfunktion an:

Vielleicht fällt dir auf, dass die Achseneinteilung eine andere ist, als du es gewohnt bist: Die x-Achse ist hier nicht mit ganzen Zahlen, sondern mit Vielfachen von π$\pi$ (gesprochen: Pi) beschriftet. Das liegt daran, dass viele Eigenschaften der Sinusfunktion mit der Kreiszahl Pi zusammenhängen. Du kannst diese Eigenschaften der Sinusfunktion besser ablesen, wenn du in Vielfachen von Pi rechnest. 

Eine weitere Besonderheit ist die Wertemenge der Sinusfunktion. Du siehst hier, dass die Werte niemals größer als 1 und niemals kleiner als –1 werden. Die Definitionsmenge der Sinusfunktion ist R$R$. Du kannst also jeder reellen Zahl einen Wert im Intervall [–1;1]$[–1;1]$ zuordnen. 

Diese Hinweise helfen dir, Aufgaben zur Sinusfunktion zu lösen. 

Definitions- und Wertebereich der Sinusfunktion

Darüber haben wir schon kurz gesprochen. Hier noch einmal der Vollständigkeit halber:

• Der Definitionsbereich der Sinusfunktion ist D=R$D=R$.
  
• Die Wertemenge der Sinusfunktion ist W=R$W=R$, [−1;1]$[-1;1]$
  

Die Periode der Sinusfunktion

Die Sinusfunktion ist eine periodische Funktion. Das bedeutet, dass sie einem bestimmten Muster folgt, das sich in festen Abständen wiederholt. Die Periode der „normalen“ Sinusfunktion ist 2π$2\pi$. Am Graphen der Sinusfunktion kannst du das gut sehen:

• Beginne im Ursprung und folge der Sinuskurve.
• Du siehst, dass bei x=2π$x=2\pi$ das Muster von vorn beginnt.
  

Es gibt Möglichkeiten, die Periodenlänge der Sinusfunktion zu verändern. Mehr dazu erzählen wir dir gleich. 

Die Amplitude der Sinusfunktion

Die Amplitude der Sinusfunktion gibt an, wie stark Werte nach oben oder unten (also entlang der y-Achse) „ausschlagen“. Du kannst dir vorstellen, dass der Graph der Sinusfunktion zwischen den höchstmöglichen und den niedrigsten Werten auf und ab schwingt. Dieser Bereich ist die Amplitude.

Die Amplitude der Sinusfunktion ist A=1$A=1$. Alle Werte liegen maximal 1 von der x-Achse entfernt. Daraus ergibt sich das Intervall [–1;1]$[–1;1]$. Wie bei der Periode ist es aber auch möglich, die Amplitude der Sinusfunktion zu verändern. Dazu kommen wir noch. 

Neben der „normalen“ Funktionsgleichung der Sinusfunktion gibt es auch noch die „allgemeine“ Form. Die allgemeine Sinusfunktion enthält die Parameter a$a$, b$b$, c$c$ und d$d$. So sieht sie aus:

f(x)=a⋅sin sin(b⋅x+c)+d$f(x)=a\cdot \sin sin(b\cdot x+c)+d$

Jeder dieser Parameter hat Einfluss auf die Sinusfunktion. Wir schauen uns jetzt alle Parameter der Reihe nach an und zeigen dir, was du damit erreichen kannst. 

Parameter a$a$ der Sinusfunktion: Amplitude verändern

f(x)=a⋅sin sin(b⋅x+c)+d$f(x)=a\cdot \sin sin(b\cdot x+c)+d$

Der Parameter a$a$ verändert die Amplitude der Sinusfunktion. Das bedeutet, die Ausschläge nach oben und unten (entlang der y-Achse) werden kleiner oder größer. Entsprechend verändert sich auch die Wertemenge der Sinusfunktion – das Intervall verkleinert oder vergrößert sich. 

Anders ausgedrückt: Du kannst damit die Sinusfunktion strecken und stauchen, und zwar entlang der y-Achse. Dabei gilt:

• Wenn der Betrag von a$a$ kleiner als 1 ist, wird die Amplitude kleiner.
• Wenn der Betrag von a$a$ größer als 1 ist, wird die Amplitude größer. 
• Wenn a$a$ ein negatives Vorzeichen hat, wird die Sinuskurve außerdem noch gespiegelt.

Schauen wir uns dazu einige Beispiele an:

Die grüne Kurve zeigt die normale Sinusfunktion. Du kannst gut erkennen, dass die Periode immer genau gleichbleibt – nur die Amplitude verändert sich. Die orangefarbene Kurve hat die gleiche Amplitude wie die „normale“ Kurve, aber der Graph wurde wegen des negativen Vorzeichens gespiegelt. 

Parameter b der Sinusfunktion: Periode verändern

f(x)=a⋅sin sin(b⋅x+c)+d$f(x)=a\cdot \sin sin(b\cdot x+c)+d$

Der Parameter b$b$ der Sinusfunktion verändert die Länge der Periode. In der normalen Sinusfunktion ist die kleinste Periode 2π$2\pi$. Fügst du einen Parameter b$b$ hinzu, der nicht 1 ist, wird die Periode länger oder kürzer. Dabei gilt:

• Wenn der Betrag von b$b$ größer als 1 ist, wird die Periode kürzer.
• Wenn der Betrag von b$b$ kleiner als 1 ist, wird die Periode länger.
• Wenn b$b$ ein negatives Vorzeichen hat, wird die Sinuskurve gespiegelt.

Hier siehst du auch dazu ein paar Beispiele:

Du kannst also mit dem Parameter b$b$ eine Streckung oder Stauchung entlang der x-Achse erreichen. Die Amplitude bleibt dabei aber unverändert (es sein denn, der Parameter a$a$ ist entsprechend enthalten).

Parameter c$c$ der Sinusfunktion: Sinusfunktion verschieben (x-Richtung)

f(x)=a⋅sin sin(b⋅x+c)+d$f(x)=a\cdot \sin sin(b\cdot x+c)+d$

Mit dem Parameter c$c$ kannst du eine Verschiebung der Sinusfunktion in x-Richtung erreichen. Dabei gilt:

• Wenn c$c$ kleiner ist als 0$0$, dann verschiebt sich die Sinuskurve nach rechts.
• Wenn c$c$ größer ist als 0$0$, dann verschiebt sich die Sinuskurve nach links.

Auch das kannst du gut an dieser Grafik erkennen:

Beachte, dass Amplitude und Periode der Sinusfunktion hier unverändert bleiben. Der Parameter c$c$ bewirkt nur eine Verschiebung der Sinusfunktion.

Parameter d$d$ der Sinusfunktion: Sinusfunktion verschieben (y-Richtung)

f(x)=a⋅sin sin(b⋅x+c)+d$f(x)=a\cdot \sin sin(b\cdot x+c)+d$

Analog dazu funktioniert auch die Verschiebung der Sinusfunktion in y-Richtung mit dem Parameter d$d$.

Du musst dir nur merken:

• Wenn d$d$ kleiner ist als 0$0$, dann verschiebt sich die Kurve nach unten.
• Wenn d$d$ größer ist als 0$0$, dann verschiebst sich die Kurve nach oben.

Hier siehst du ein paar Beispiele dazu:

Beachte, dass auch hier Periode und Amplitude gleich bleiben und nur eine Verschiebung stattfindet.

Alle Parameter kombinieren

Natürlich ist es auch möglich, dass du eine Sinusfunktion berechnen oder zeichnen sollst, die alle der genannten Parameter enthält. Hier ein Beispiel für eine Gleichung so einer Sinusfunktion:

Hier kannst du die verschiedenen Verschiebungen sowie die Veränderung von Periode und Amplitude erkennen. 

Da die Sinusfunktion periodisch ist, kannst du die Nullstellen berechnen, indem du lediglich eine einzelne Periode betrachtest. 

Bei der normalen Sinusfunktion finden wir Nullstellen bei x=0$x=0$ und x=π$x=\pi$. Diese wiederholen sich dann periodisch. 

Die Sinusfunktion kann aber auch verschoben, gestreckt oder gestaucht sein. Dann musst du die allgemeine Formel gleich null setzen und kannst errechnen, wo die Nullstellen sich befinden: 

a⋅sin sin(b⋅x+c)=0|÷a$a\cdot \sin sin(b\cdot x+c)=0|÷a$

sin sin(b⋅x+c)=0|sin−1$\sin sin(b\cdot x+c)=0|si{n}^{-1}$

b⋅x+c=sin−1(0)$b\cdot x+c=si{n}^{-1}(0)$

b⋅x+c=0|−c$b\cdot x+c=0|-c$

b⋅x=−c|÷b$b\cdot x=-c|÷b$

x=−ab$x=-\frac{a}{b}$

Nach dieser Formel kannst du die Nullstellen der Sinusfunktion berechnen. Auch diese wiederholen sich entsprechend der Periode. 

Die Sinusfunktion ist abschnittsweise streng monoton steigend oder streng monoton fallend. Der Wechsel findet immer an den Extrempunkten statt, also an einem Minimum oder einem Maximum. Für die normale Sinusfunktion in Mathe gilt:

• Zwischen −π2$-\frac{\pi }{2}$ und π2$\frac{\pi }{2}$ ist die Funktion streng monoton steigend.
• Zwischen π2$\frac{\pi }{2}$ und 3π2$\frac{3\pi }{2}$ ist die Funktion streng monoton fallend.

Die unveränderte Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Deshalb gilt:

sin sin(−x)=−sin(x)$\sin sin(-x)=-sin(x)$

Achsensymmetrie liegt nicht vor.

Im Rahmen der Kurvendiskussion der Sinusfunktion musst du Hoch- und Tiefpunkte berechnen. Die normale Sinusfunktion hat einen Tiefpunkt bei −π2$-\frac{\pi }{2}$ und einen Hochpunkt bei π2$\frac{\pi }{2}$. Diese wiederholen sich wieder periodisch, wie du es schon kennst.

Um bei veränderten Sinusfunktionen die Extremwerte zu berechnen, musst du die Stelle finden, an denen die Steigung gleich null ist. Das erreichst du mit der Ableitung der Sinusfunktion.

Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion:

f(x)=sin(x)$f(x)=sin(x)$

f′(x)=cos(x)$f^{\prime }(x)=cos(x)$

Allerdings musst du häufig nicht nur eine einfache Sinusfunktion ableiten, sondern verkettete Funktionen. Dafür brauchst du weitere Ableitungsregeln. Wir zeigen dir das exakte Vorgehen auf unserer Seite über die Ableitung der Sinusfunktion.

Du hast in Mathe den Graphen einer Sinusfunktion gegeben und sollst nun die Funktionsgleichung aufstellen. Wie gehst du vor?

Am besten zeichnest du dir zum Vergleich zunächst den Graphen der unveränderten Funktion ins Koordinatensystem. Dann kannst du Schritt für Schritt die Parameter der Sinusfunktion bestimmen.

Beispiel:

Du hast diesen Graphen gegeben:

Du kannst anhand dieser Kurve Folgendes feststellen:

• Parameter a$a$: Ist die Amplitude der Sinusfunktion verändert? Ja, du siehst, dass die Amplitude hier doppelt so stark nach oben und unten ausschlägt. Entsprechend muss a=2$a=2$.
• Parameter b$b$: Ist die Periode der Sinusfunktion verändert? Hier erkennst du: Die Periode ist kleiner. Im Intervall, in dem die normale Sinusfunktion eine Periode durchläuft, durchläuft die graue Kurve drei Perioden. Daher kannst du b$b$ für die Sinusfunktion berechnen: b=3$b=3$.
• Parameter c$c$: Ist die Kurve in x-Richtung verschoben? Du kannst eine Verschiebung feststellen, denn die Kurve bewegt sich ab dem Ursprung zuerst nach unten (statt nach oben). Allerdings gibt es hier mehrere Möglichkeiten, denn du kannst nicht sicher sagen, ob die Kurve nach rechts oder links verschoben wurde. Eine Möglichkeit wäre: c=π$c=\pi$. Aber auch c=−π$c=-\pi$ wäre richtig. Möglich wäre auch eine Spiegelung der Kurve.
• Parameter d$d$: Wurde die Kurve in y-Richtung verschoben? Nein, sie befindet sich auf der gleichen Höhe wie die normale Sinuskurve. Also ist d=0$d=0$.

So könnte die Funktionsgleichung aussehen:

f(x)=2⋅sin(3x+π)$f(x)=2\cdot sin(3x+\pi )$

• Die Sinusfunktion gehört wie der Cosinus und der Tangens zu den trigonometrischen Funktionen.
• Die Funktion ist periodisch, das bedeutet, dass ihr Muster sich in gewissen Abständen immer wiederholt.
• Die normale Sinusfunktion hat eine Periode von 2π$2\pi$ und eine Amplitude, die sich im Intervall [−1;1]$[-1;1]$ bewegt.
• Die Sinusfunktion wird unter anderem definiert durch ihre Amplitude (wellenförmige Ausschläge nach oben und unten) und ihre Periode (Intervall, nach dem sich das Muster wiederholt).
• Du kannst mit verschiedenen Parametern die Amplitude und Periode der Sinusfunktion verändern und den Graphen entlang der x-Achse oder der y-Achse verschieben.