Mathematik – Radius berechnen

Schon in der Grundschule musst du in Mathematik den Radius berechnen – nämlich dann, wenn du den Kreis näher kennenlernst. Später geht es auch an den Radius einer Kugel, eines Zylinders oder eines Kegels. Hier lernst du alle wichtigen Formeln für den Radius. 

Stell dir vor, du schneidest eine Pizza in mehrere Teile. Du beginnst am Rand der Pizza und schneidest bis zum Mittelpunkt – das ist genau der Radius. Schneidest du hingegen durch die gesamte Pizza hindurch, ist diese Strecke der Durchmesser.

Du kannst den Radius mit einer einfachen Formel berechnen, die wir dir gleich zeigen. Und wenn du erst einmal den Radius eines Kreises finden kannst, kannst du dann auch den Radius einer Kugel berechnen – oder den eines Zylinders oder Kegels. 

Wir haben viele klare Berechnungsbeispiele zum Radius für dich. Damit du sie gut verstehst, schauen wir uns zuerst einige wichtige Begriffe an.

• Kreislinie: Die Kreislinie ist die äußerste Linie eines Kreises. Sie entspricht dem Umfang. Alle Punkte auf der Kreislinie haben exakt denselben Abstand zum Mittelpunkt – nämlich den Radius.
  
• Durchmesser: Wenn du eine gerade Strecke von einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie durch den Mittelpunkt und zum gegenüberliegenden Punkt auf der Kreislinie ziehst, entspricht das dem Durchmesser. Er ist doppelt so lang wie der Radius – das ist für die Berechnung sehr nützlich. 
  
• Pi: Pi (π) wird auch die Kreiszahl genannt. Diese Zahl brauchst du für fast jede Formel für Kreise. Sie hat unendlich viele Stellen, aber du kannst vereinfacht mit π≈3,14 rechnen. 
  
• Höhe: Die Höhe (h) brauchst du, um zum Beispiel den Radius aus dem Volumen eines Zylinders zu berechnen. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundfläche und geht bis zur Deckfläche oder Spitze eines Körpers. 
  
• Mantelfläche: Kegel und Zylinder haben eine Mantelfläche – das ist die Fläche, die den Körper „ummantelt“ und weder Grund- noch Deckfläche ist. Sie heißt M. 
  
• Mantellinie: Die Mantellinie (s) findest du beim Kegel. Sie beginnt auf der Kreislinie der Grundfläche und geht dann gerade bis nach oben zur Spitze. 
  

Und wie berechnet man nun den Radius eines Kreises? Das zeigen wir dir jetzt, da du nun gut auf die Aufgaben vorbereitet bist!

Die einfachste Aufgabe in der Geometrie ist es, den Radius zu berechnen, wenn du den Durchmesser gegeben hast. Denn Radius und Durchmesser hängen eng zusammen. Da der Durchmesser doppelt so lang ist wie der Radius, kannst du nämlich diese Formel verwenden:

r=d2

r=7cm2=3,5cm

Diese Formel für den Radius funktioniert auch andersrum – wenn du den Durchmesser aus dem Kreisradius berechnen sollst. Dann gilt: d=2⋅r

Wenn du den Umfang eines Kreises kennst, kannst du ebenfalls den Radius ausrechnen. Denn die Formel für den Kreisumfang lautet:

U=2⋅π⋅r

Diese Formel kannst du umstellen, um den Radius zu berechnen:

r=U2⋅π

Beispiel:

Berechne den Radius eines Kreises mit einem Umfang von U=20 cm.

Wir setzen in die Formel für den Radius ein:

r=U2⋅π

r≈20cm2⋅3,14≈3,18cm

Wenn du die Größe eines Kreises kennst, also seinen Flächeninhalt, kannst du ganz einfach den Radius ermitteln. Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises lautet nämlich:

A=π⋅r2

Für die Berechnung des Radius lautet die Formel umgestellt:

r=√aπ

Beispiel:

Berechne den Radius eines Kreises mit der Fläche A=55 cm².

Wir setzen wieder in die Formel ein:

r=√Aπ

r≈√55cm²3,14≈4,19cm

Da eine Kugel auf einem Kreis basiert, kannst du den Radius einer Kugel sofort berechnen, wenn du den Durchmesser der Kugel kennst. Vielleicht hast du auch die Länge des Umfangs gegeben. Oder du kennst den Flächeninhalt des Kreises, der durch den Mittelpunkt der Kugel geht. Dann funktionieren die Formeln, die du gerade alle gelernt hast.

Es gibt aber noch eine weitere einfache Berechnung für den Radius einer Kugel, nämlich über das Volumen. Dazu musst du das Volumen einer Kugel kennen:

V=34⋅π⋅r3

Das stellen wir wieder nach dem Radius um:

r= 3√3⋅V4⋅π

Beispiel:

Berechne den Radius einer Kugel, die ein Volumen von V=99 cm³ hat.

Wir setzen ein:

r= 3√3⋅V4⋅π

r≈ 3√3⋅99cm³4⋅3,14≈2,87cm

Es gibt noch eine Möglichkeit, nämlich wenn du die Oberfläche der Kugel kennst. Dann hilft dir folgende Formel:

0=4⋅π⋅r2

Und wir stellen wieder nach dem Radius um:

r=√04⋅π

Beispiel:

Eine Kugel hat eine Oberfläche von 75 cm². Wie groß ist ihr Radius?

Wir setzen ein:

r=√04⋅π

r≈√75cm²4⋅3,14≈2,44cm

Ein Zylinder hat als Grundfläche einen Kreis. Wenn du diesen kennst, kannst du aus dem Kreis den Radius berechnen, so wie du es bereits gelernt hast (zum Beispiel den Radius aus dem Flächeninhalt berechnen). Aber wie berechnet man den Radius eines Zylinders, wenn nur das Volumen gegeben ist?

Dann hilft dir diese Formel weiter, die das Volumen eines Zylinders angibt:

V=h⋅π⋅r2

Du kannst die Formel so umstellen:

r=√Vh⋅π

Wichtig: Diese Formel funktioniert nur, wenn du neben dem Volumen auch die Höhe des Zylinders kennst. 

Beispiel: 

Gegeben ist ein Zylinder mit dem Volumen V=120 cm³ und einer Höhe von 12 cm. Berechne den Radius.

Wir nutzen unsere Formel:

r=√Vh⋅π

r≈√120cm³12⋅3,14≈1,78cm

Es gibt noch eine weitere Möglichkeit: Du kannst den Radius auch berechnen, wenn du die Mantelfläche des Zylinders kennst. Dann gilt diese Formel:

M=2⋅π⋅r⋅h

Wir stellen die Formel für die Berechnung des Radius um:

r=M(2⋅π⋅h)

Beispiel: 

Du sollst den Radius eines Zylinders berechnen. Er hat eine Mantelfläche von M=150 cm² und eine Höhe von h=9 cm. 

Wir nutzen unsere Formel und setzen die bekannten Werte ein:

r=√M(2⋅π⋅h)

r≈150cm²(2⋅3,14⋅9cm)≈2,65cm

Auch beim Kegel gilt: Er hat als Grundfläche einen Kreis. Wenn du diesen kennst, kannst du also wie gelernt den Radius aus der Fläche berechnen. Du kannst auch den Radius aus dem Umfang berechnen, aber nur an der Basis des Kegels, denn nach oben hin verändert sich der Umfang. 

Wenn du das Volumen kennst, kannst du Übungen zum Radius ebenfalls lösen, denn beim Kegel gilt:

V=13⋅π⋅r2⋅h

Du siehst: Diese Formel ist gleich der Formel für das Volumen beim Zylinder, nur noch einmal durch drei geteilt. Und so stellst du sie um, damit du als Ergebnis den Radius bekommst:

r=√3⋅Vπ⋅h

Beispiel:

Du sollst den Radius eines Kegels berechnen, der ein Volumen von V=250 cm³ und eine Höhe von h=15 cm hat. 

Wir nutzen unsere Formel und setzen die zwei Werte für Volumen und Höhe ein:

r=√3⋅Vπ⋅h

r≈√3⋅250cm³3,14⋅15cm≈3,99cm

Schließlich kannst du den Radius eines Kegels berechnen, indem du die Formel für die Mantelfläche nutzt:

M=π⋅r⋅s

Wir stellen um:

r=Mπ⋅s

Beispiel:

Du sollst in Mathe den Radius üben und hast einen Kegel mit einer Mantelfläche von M=82 cm² und einer Mantellinie von s=7 cm gegeben. Wie lang ist der Radius?

Wir setzen in unsere Formel ein:

r=Mπcdots

r≈82cm²3,14⋅7cm≈373cm

• Du brauchst den Radius in Mathe für viele Berechnungen rund um den Kreis. Radius und Kreisberechnung hängen auch dann eng zusammen, wenn es um geometrische Körper wie Zylinder oder Kegel geht.
  
• Die einfachste Möglichkeit, den Radius in einem Kreis zu berechnen, ist, wenn der Durchmesser bekannt ist. 
  
• Du kannst den Radius aber auch mit dem Umfang berechnen oder aus dem Flächeninhalt eines Kreises ermitteln. 
  
• Bei geometrischen Körpern wie Kugeln, Kegeln und Zylinder helfen dir außerdem Formeln zum Radius weiter, die auf dem Volumen oder der Oberfläche basieren. 
  
• Dazu musst du die entsprechende Formel einfach so umstellen, dass du den Radius als Ergebnis erhältst.