Mathematik – Sinus, Cosinus und Tangens

Sinus, Cosinus und Tangens sind in der Trigonometrie wichtige Funktionen, die dir bestimmt schon begegnet sind. Sie verraten uns viel über die Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkeln in Dreiecken. Wir zeigen dir hier anhand vieler Beispiele, welche Formeln es für Sinus, Cosinus und Tangens gibt und wie du damit rechnest. 

Die Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens gehören in der Mathematik in den Bereich Trigonometrie. Das Wort „Trigonometrie“ kommt aus dem Altgriechischen und bedeutet so etwas wie „die Maße im Dreieck“. Genau darum geht es: Trigonometrische Funktionen zeigen uns, wie die Seitenlängen und die Winkel in einem Dreieck zusammenhängen. 

Es gibt verschiedene trigonometrische Funktionen, doch die bekanntesten sind:

• die Sinusfunktion
  
• die Cosinusfunktion
  
• die Tangensfunktion
  

In der Schule wirst du Berechnungen mit Sinus, Cosinus und Tangens meist im rechtwinkligen Dreieck durchführen. Manche Beziehungen, wie zum Beispiel der Sinussatz, gelten aber auch in Dreiecken ohne rechten Winkel. 

Schauen wir uns die Bezeichnungen eines Dreiecks genauer an.

• Seiten: Ein Dreieck hat drei Seiten. Sie heißen \( a \), \( b \) und \( c \).
  
• Eckpunkte: Die Eckpunkte, die den Seiten gegenüberliegen, werden mit den gleichen Buchstaben bezeichnet, aber in groß: \( A \), \( B \) und  \( C \).
  
• Winkel: Am Eckpunkt \( A \) liegt der Winkel α (Alpha), am Eckpunkt \( B \) der Winkel \( β \) (Beta) und am Eckpunkt \( C \) der Winkel \( γ \) (Gamma).
  So sieht das zum Beispiel aus:

Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck zeichnet sich dadurch aus, dass es einen rechten Winkel hat, also einen Winkel mit 90 Grad. Er heißt in der Regel \( γ \). Da die Summe der Winkel im Dreieck immer genau 180 Grad ergibt, müssen die anderen beiden Winkel kleiner als 90 Grad sein.

Die längste Seite im Dreieck – sie liegt dem rechten Winkel gegenüber – heißt Hypotenuse. Das ist die Seite \( c \).

Die anderen beiden Seiten, \( a \) und \( b \), heißen Ankathete und Gegenkathete. Welche Seite welche ist, hängt davon ab, welchen Winkel du dir gerade anschaust:

Wenn du den Winkel α untersuchst, ist die Seite \( b \) die Ankathete (denn sie liegt am Winkel an) und die Seite \( a \) ist die Gegenkathete (denn sie liegt dem Winkel gegenüber). 
Für den Winkel \( β \) ist es umgekehrt: \( a \) ist die Ankathete und \( b \) ist die Gegenkathete.
Jetzt hast du die Grundlagen im Kopf. Nun schauen wir uns die Sinus-, Cosinus- und Tangens-Funktionen genauer an. Dann verstehst du die gesamte Erklärung und die Beispiele zu Sinus, Cosinus und Tangens besser. 

Die Sinusfunktion beschreibt in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis der Länge der Gegenkathete eines Winkels zur Länge der Hypotenuse. Als Formel kannst du das für den Winkel  so schreiben:

sin \( sin (α) = \frac {Gegenkatete}{Hypotenuse} \ = \frac ac \)

Das gilt ebenso für den Winkel β:

sin \( sin (β) = \frac {Gegenkatete}{Hypotenuse} = \frac bc \)

Die Sinusfunktion sieht aus wie eine Welle und hat eine Periode von 2π. Das bedeutet, dass die Form sich alle 2π wiederholt. 

Außerdem geht die Sinusfunktion durch den Ursprung und hat immer im Abstand π Nullstellen. 

So sieht sie aus:

Für die Cosinusfunktion gilt: Sie beschreibt das Verhältnis der Länge der Ankathete eines Winkels zur Länge der Hypotenuse. So sieht die Formel zum Cosinus aus:

Cos \( cos (α) = \frac {Ankathete}{Hypotenuse} = \frac bc \)

Und für den Winkel β:

cos \( cos (β) = \frac {Ankathete}{Hypotenuse} = \frac ac \)

Die Cosinusfunktion sieht der Sinusfunktion sehr ähnlich, sie ist aber entlang der x-Achse verschoben. Sie geht nicht durch den Ursprung, dafür hat sie einen Hochpunkt bei (0|1) und dann immer Hoch- und Tiefpunkte im Abstand . 

So sieht sie aus:

Die Tangensfunktion setzt die Länge der Gegenkathete ins Verhältnis zur Länge der Ankathete – wieder in einem rechtwinkligen Dreieck:

tan \( tan (α) = \frac {Gegenkathete}{Ankathete} = \frac ab \)

Oder für den Winkel β:

tan \( tan (β) = \frac {Gegenkathete}{Ankathete} = \frac ba \)

Die Tangensfunktion hat dieselben Nullstellen wie die Sinusfunktion, sieht aber ansonsten ganz anders aus. Sie hat Definitionslücken dort, wo der Cosinus Nullstellen hat. 

So sieht sie aus:

Dieser Graph zeigt Sinus, Cosinus und Tangens in einem:

Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras:

\( a^2 + b^2 = c^2 \)

Wenn du also die Längen von zwei Seiten kennst, kannst du mit dieser Formel problemlos auch die Länge der dritten Seite im Dreieck berechnen. Aber was ist, wenn du Aufgaben hast, in denen du die Größe eines Winkels berechnen sollst? Dabei helfen uns Sinus, Cosinus und Tangens. Deshalb heißen sie auch Winkelfunktionen. 

Beispiel:

Du hast ein rechtwinkliges Dreieck gegeben, von dem du alle drei Seitenlängen kennst: \( a=6 cm, b=8 cm, c=10 cm \). Du sollst mithilfe von Sinus, Cosinus und Tangens die Winkel berechnen.

Die Rechenregeln für Sinus, Cosinus und Tangens zu Winkeln kennst du schon. Lass uns mithilfe des Sinus den Winkel α berechnen:

sin \( sin (α) = \frac {Gegenkathete}{Hypotenuse} = \frac ac \)

Da wir die beiden Werte für die Gegenkathete und die Hypotenuse kennen, können wir direkt einsetzen:

sin \( sin (α) = \frac {Gegenkathete}{Hypotenuse} = \frac {6cm}{10cm} = 0,6 \)

Aber \( 0,6 \) ist kein Winkel – oder? Nein, du hast hier den Sinuswert des Winkels berechnet. Um die Größe des Winkels herauszufinden, müssen wir die Umkehrfunktion des Sinus auf dem Taschenrechner benutzen. Sie heißt Arkussinusfunktion – auf deinem Taschenrechner „arcsin“. Geben wir 0,6 ein, erhalten wir als Ergebnis:

\( α ≈36,89 ° \)

Auch den Winkel ß können wir so berechnen:

sin \( sin (β) = \frac {Gegenkathete}{Hypotenuse} = \frac bc \)

sin \( sin (β) = \frac {Gegenkathete}{Hypotenuse} = \frac {8cm}{10cm} = 0,8 \)

Der Arkussinus liefert uns:

\( β ≈53,13 ° \)

Den dritten Winkel kennen wir bereits: Es ist der Winkel \( γ=90 ° \), den wir brauchen schließlich im rechtwinkligen Dreieck einen rechten Winkel.

Tipp: Nicht immer brauchst du einen Taschenrechner. Einige wenige Werte kannst du dir merken. Da deine Lehrer:innen das wissen, kommen sie in Aufgaben zu Sinus, Cosinus und Tangens häufiger vor: 

Was wir oben mit der Sinusfunktion gemacht haben, können wir auch mit der Cosinusfunktion machen. Die Rechenregeln für sin, cos und tan bleiben gleich, daher gilt für unser Beispiel:

cos \( cos (α) = \frac {Amkathete}{Hypotenuse} = \frac bc = 0,8 \)

Den Winkel berechnen wir jetzt mit der Umkehrfunktion des Cosinus, also mit der Arkuscosinusfunktion (arccos auf deinem Taschenrechner), und erhalten – wie erwartet – das gleiche Ergebnis: 

\( α ≈36,89 ° \)

Für β rechnen wir: 

cos \( cos (β) = \frac {Ankathete}{Hypotenuse} = \frac ac = 0,6 \)

Und das Ergebnis lautet:

\( β ≈53,13 ° \)

Zuletzt können wir das Ganze noch mit der Tangensfunktion durchrechnen:

tan \( tan (α) = \frac {Gegenkathete}{Ankathete} = \frac ab = 0,75 \)

Die Umkehrfunktion ist der Arkustangens (arctan auf deinem Taschenrechner).

Für β sieht die Rechnung so aus:

tan \( tan (β) = \frac {Gegenkathete}{Ankathete} = \frac ba ≈ 1,33 \)

Jetzt weißt du, wie du mit Sinus, Cosinus und Tangens Winkel berechnen kannst. Außerdem kennst du die Umkehrfunktionen von Sinus, Cosinus und Tangens: Arkussinus, Arkuscosinus und Arkustangens.

Der trigonometrische Pythagoras-Satz hilft dir weiter, wenn du den Sinuswert eines Winkels kennst du daraus den Cosinus berechnen willst – oder umgekehrt. Er macht sich die Beziehung trigonometrischer Funktionen zunutze. So lautet er: 

\( sin^2 (α) + cos^2 (α) = 1 \)

Wenn du also den Sinuswert sin \( sin (α) = 0,6 \) kennst, wie ihr ihn ja oben ausgerechnet haben, dann kannst du die Formel so umstellen, dass du auch den Cosinus berechnen kannst:

\( sin^2 (α) + cos^2 (α) = 1 \)

Daraus folgt:

cos \( cos (α) = \sqrt{1 - sin^2}{(α)} \)

Wir können hier unseren bekannten Sinuswert 0,6 einsetzen:

cos \( cos (α) = \sqrt{1 - (0,6)^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8 \)

Dass das Ergebnis richtig ist, wissen wir ja schon dank unserer Berechnungen oben!

Es gibt auch Formeln mit Sinus, Cosinus und Tagens, die dir mit Winkeln und Seiten helfen, wenn dein Dreieck nicht rechtwinklig ist. Die wichtigsten sind:

• der Sinussatz
  
• der Cosinussatz
  

Der Sinussatz

Der Sinussatz lautet: 

\( \frac a sin(α) = \frac b sin(β) = \frac c sin(γ) \)

Das ist hilfreich, wenn du Übungen zu Sinus, Cosinus und Tangens bearbeitest und ohne die Regeln für rechtwinklige Dreieck auskommen musst. 

Du kannst den Sinussatz umformen, um leichter an deine Lösungen zu kommen: 

\( \frac {sin(α)}{a} = \frac {sin(β)}{b} = \frac {sin(γ)}{c} \)

Oder auch:

\( \frac ab = \frac {sin(α)}{sin(β)} \)

\( \frac ac = \frac {sin(α}{sin(γ)} \)

\( \frac bc = \frac {sin(β)}{sin(γ)} \)

Der Cosinussatz

So sieht der Cosinussatz aus:

\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(α) \)

\( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot cos(β) \)

\( c = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ) \)

Die Additionstheoreme

Schließlich gibt es noch die Additionstheoreme. Sie sind nicht ganz so leicht auswendig zu lernen, da sie recht ähnlich sind. Wenn es bei dir in der Schule erlaubt ist, schreibst du sie daher am besten einfach auf – oder schaust in deine Formelsammlung.

So lauten sie:

\( sin(α + β) = sin (α) \cdot cos (β) + sin(β) \cdot cos (α) \)

\( cos (α + β) = cos (α) \cdot cos (β) - sin (α) \cdot sin (β) \)

\( sin (α - β) = sin (α) \cdot sin (β) - sin (β) \cdot sin (α) \)

\( cos (α - β) = cos (α) \cdot cos (β) + sin (α) \cdot sin (β) \)

• Sinus, Cosinus und Tangens sind Funktionen, die die Beziehungen von Seiten und Winkeln in Dreiecken beschreiben.
  
• Oft rechnest du mit Sinus, Cosinus und Tangens vor allem im rechtwinkligen Dreieck. Dann ist auch der Satz des Pythagoras für deine Berechnungen nützlich. 
  
• Man nennt die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen auch trigonometrische Funktionen oder Winkelfunktionen.
  
• Es gibt auch Formeln für Sinus, Cosinus und Tangens, die im nicht-rechtwinkligen Dreieck gelten. 
  
• Dazu gehören der Sinussatz, der Cosinussatz und die Additionstheoreme.