Mathematik – Hypotenuse berechnen

Das Wort Hypotenuse kommt aus dem Griechischen und heißt „die sich unten erstreckende Seite“. Du findest die Hypotenuse nur in einem speziellen Dreieck – im rechtwinkligen Dreieck. Hat ein Dreieck keinen rechten Winkel (90∘${90}^{\circ }$-Winkel), dann handelt es sich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck, und in diesem Dreieck gibt es auch keine Hypotenuse. 

Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks (Seite c$c$) und liegt laut ihrem Namen dem rechten Winkel gegenüber. Der rechte Winkel ist in einem Dreieck der größte Winkel. Eine wichtige Regel für Dreiecke besagt, dass die längste Seite dem größten Winkel gegenüberliegt. Deshalb ist die Hypotenuse auch die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. 

Die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen (Seiten a$a$ und b$b$), nennt man Katheten. Sie werden noch genauer voneinander unterschieden: 

• Die Seite a$a$, die dem Winkel α$\alpha$ gegenüberliegt, heißt Gegenkathete. 
• Die Seite b$b$, die an dem Winkel α$\alpha$ anliegt, nennt man Ankathete. 

In der Mathematik kannst du im rechtwinkligen Dreieck die Länge der Hypotenuse berechnen, wenn du den Winkel α$\alpha$ und eine Kathete gegeben hast oder wenn du die Länge beider Katheten kennst. Wie dir das gelingt, erfährst du jetzt. 

Wenn du die Längen der beiden Katheten (Seite a$a$, Seite b$b$) gegeben hast, kannst du die Hypotenuse (Seite c$c$) mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Der Satz des Pythagoras lautet:

a2+b2=c2$a^2+b^2=c^2$

Um die Hypotenuse (c$c$) zu ermitteln, musst du die Formel umstellen, nämlich aus c2$c^2$ die Wurzel ziehen – und natürlich auch auf der anderen Seite deiner Gleichung (a2+b2$a^2+b^2$):

c2−−√=c=a2+b2−−−−−−√$\sqrt{c^2}=c=\sqrt{a^2+b^2}$

Schauen wir uns das an zwei Beispielen an.

Beispiel 1

Gegeben ist ein Dreieck ABC$ABC$ mit den Katheten a=3cm$a=3\text{cm}$ und b=4cm$b=4\text{cm}$. Berechne die Länge der Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras. Dazu setzen wir die Werte in unsere Formel ein:

a2+b2=c2$a^2+b^2=c^2$

(3cm)2+(4cm)2=c2$(3\text{cm}{)}^2+(4\text{cm}{)}^2=c^2$

9cm2+16cm2=c2$9{\text{cm}}^2+16{\text{cm}}^2=c^2$

25cm2=c2$25{\text{cm}}^2=c^2$

Jetzt müssen wir noch die Wurzel ziehen:

c2−−√=25cm2−−−−−−√$\sqrt{c^2}=\sqrt{25{\text{cm}}^2}$

c=5cm$c=5\text{cm}$

Deine Hypotenuse ist hier also 5cm$5\text{cm}$ lang. Du ziehst die Wurzel entweder im Kopf (Welche Zahl mal welche Zahl ergibt 25$25$?) oder du benutzt einen Taschenrechner.

Beispiel 2 

Gegeben ist ein Dreieck ABC$ABC$ mit den Katheten a=2,5cm$a=2,5\text{cm}$ und b=3,2cm$b=3,2\text{cm}$. Berechne die Länge der Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras.

a2+b2=c2$a^2+b^2=c^2$
(2,5cm)2+(3,2cm)2=c2$(2,5\text{cm}{)}^2+(3,2\text{cm}{)}^2=c^2$
6,25cm2+10,24cm2=c2$6,25{\text{cm}}^2+10,24{\text{cm}}^2=c^2$
16,49cm2=c2$16,49{\text{cm}}^2=c^2$

16,49cm2−−−−−−−−√≈c$\sqrt{16,49{\text{cm}}^2}\approx c$

4,06cm≈c $4,06\text{cm}\approx c$

Wir runden auf 2$2$ Stellen nach dem Komma. Deine Hypotenuse ist hier ungefähr 4,06cm$4,06\text{cm}$ lang. 

So einfach hast du die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks in wenigen Schritten berechnet. 

Nicht immer hast du für das Berechnen der Hypotenuse die beiden Katheten des Dreiecks vorgegeben. Wenn du nur eine Seite von ihrer Länge her weißt und zudem noch einen weiteren Winkel (außer dem rechten Winkel) kennst, kannst du die Länge der Hypotenuse über das Berechnen mit Sinus oder Cosinus herausfinden. 

Wie du beim Berechnen der Hypotenuse mit Ankathete oder Gegenkathete genau vorgehst und welche Seitenlänge für welchen Rechenschritt gebraucht wird, zeigen wir dir jetzt an einigen Beispielen. 

Der rechte Winkel in deinem Dreieck ist also in der Mathematik für das Berechnen der Hypotenuse nicht nur der Hinweis, diese in der geometrischen Figur überhaupt zu finden, sondern er ist auch eine Rechenhilfe für dich. 

Hypotenuse mit Sinus berechnen

Die Berechnung der Hypotenuse (c$c$) funktioniert auch mit einem vorgegebenen Winkel α$\alpha$ und der Gegenkathete (a$a$). Du arbeitest dafür mit dem Sinus. Um mit dem Sinus die Hypotenuse zu berechnen, benötigst du die folgende Formel für den Sinus des Winkels α$\alpha$:

sin(α)=GegenkatheteHypotenuse=ac$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}={\displaystyle \frac{a}{c}}$

Wenn du dir das merkst, dann brauchst du für deine Berechnung jetzt nur noch die Formel nach c$c$ umzustellen, die Längenangabe von der Gegenkathete a$a$ sowie den Winkel α$\alpha$ einzusetzen und dein Ergebnis dann mit dem Taschenrechner auszurechnen. 

Lass uns diese Schritte nacheinander an zwei Beispielen durchgehen. 

Beispiel 1 

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC$ABC$ mit der Gegenkathete a=6cm$a=6\text{cm}$ und dem Winkel α=50∘$\alpha ={50}^{\circ }$. Berechne die Länge der Hypotenuse (c$c$) mit dem Sinus.

sin(α)=ac$\sin (\alpha )={\displaystyle \frac{a}{c}}$

Zum Umstellen nach c$c$ rechnest du ⋅c$\cdot c$ auf beiden Seiten der Gleichung.

sin(α)⋅c=ac⋅c$\sin (\alpha )\cdot c={\displaystyle \frac{a}{c}}\cdot c$

Im Bruch kannst du das c$c$ wegkürzen.

sin(α)⋅c=a$\sin (\alpha )\cdot c=a$

Nun teilst du beide Seiten der Gleichung durch sin(α)$\sin (\alpha )$.

sin(α)⋅csin(α)=asin(α)${\displaystyle \frac{\sin (\alpha )\cdot c}{\sin (\alpha )}}={\displaystyle \frac{a}{\sin (\alpha )}}$

Links im Bruch kürzt du sin(α)$\sin (\alpha )$ weg.

c=asin(α)$c={\displaystyle \frac{a}{\sin (\alpha )}}$

Diese Formel zur Berechnung der Hypotenuse solltest du dir gut merken!

Jetzt setzen wir unsere Werte ein.

c=6cmsin(50∘)$c={\displaystyle \frac{6\text{cm}}{\sin ({50}^{\circ })}}$

Rechne mit deinem Taschenrechner aus.

c≈7,83cm$c\approx 7,83\text{cm}$

Runde dein Ergebnis auf 2$2$ Stellen nach dem Komma und vergiss die Einheit cm$\text{cm}$ nicht.

Die Länge der Hypotenuse beträgt ungefähr 7,83cm$7,83\text{cm}$.

Beispiel 2

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC$ABC$ mit der Seite a=8m$a=8\text{m}$ und dem Winkel β=37∘$\beta ={37}^{\circ }$. Berechne die Länge der Hypotenuse c$c$ mit dem Sinus.

Diese Formel haben wir in Beispiel 1 herausgefunden. Dafür hast du bereits die Seite a$a$ gegeben und benötigst noch den Winkel α$\alpha$. Diesen ermittelst du über die Innenwinkelsumme: 180∘−90∘−37∘=53∘${180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{37}^{\circ }={53}^{\circ }$. Der Winkel ist α=53∘$\alpha ={53}^{\circ }$.

Rechne mit dem Taschenrechner aus.

Runde dein Ergebnis auf 2$2$ Stellen nach dem Komma und achte auf die richtige Einheit m$m$.

Die Länge der Hypotenuse beträgt ungefähr 10,02m$10,02\text{m}$.

Hypotenuse mit Cosinus berechnen

Damit du nicht immer erst den fehlenden Winkel über die Innenwinkelsumme eines Dreiecks errechnen musst, kannst du auch mit Hilfe des Cosinus die Länge deiner Hypotenuse herausfinden.

Du benötigst folgende Angaben dafür:

• ein rechtwinkliges Dreieck
• die Länge der Ankathete
• den Winkel α$\alpha$

Die Formel für die Berechnung der Hypotenuse leitet sich von der Cosinus-Formel ab:

Zum Umstellen nach c$c$ rechnest du ⋅c$\cdot c$ auf beiden Seiten der Gleichung.

Im Bruch rechts kannst du das c$c$ wegkürzen.

Nun teilst du beide Seiten der Gleichung durch cos(α)$\cos (\alpha )$.

Links im Bruch kürzt du das cos(α)$\cos (\alpha )$ weg.

Präge dir diese Formel gut ein.

Rechne nun an zwei Beispielen mit. 

Beispiel 1

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Ankathete b=15cm$b=15\text{cm}$ und dem Winkel α=29∘$\alpha ={29}^{\circ }$. Berechne die Länge der Hypotenuse c$c$ mit dem Cosinus.

Setze in die Formel die gegebenen Werte ein:

Berechne das Ergebnis mit deinem Taschenrechner:

Runde dein Ergebnis auf 2$2$ Stellen nach dem Komma und vergiss die Einheit cm$cm$ nicht.

Die Länge der Hypotenuse beträgt ungefähr 17,15cm$17,15\text{cm}$.

Beispiel 2

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Ankathete b=6,8dm$b=6,8\text{dm}$ und dem Winkel α=32∘$\alpha ={32}^{\circ }$. Berechne die Länge der Hypotenuse c$c$ mit dem Cosinus.

Setze in die Formel deine Werte ein:

Rechne mit dem Taschenrechner aus:

Runde dein Ergebnis auf 2$2$ Stellen nach dem Komma und vergiss die Einheit dm$dm$ nicht.

Die Länge der Hypotenuse beträgt ungefähr 8,02dm$8,02\text{dm}$.

Nun weißt du auch, wie du mit der Ankathete und dem Winkel α$\alpha$ die Hypotenuse berechnen kannst. Mit etwas Übung wird dir dieser Rechenweg genauso leichtfallen wie das Berechnen der Hypotenuse mit dem Sinus oder dem Satz des Pythagoras.

• Die Hypotenuse (c$c$) ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt dem rechten Winkel (90∘${90}^{\circ }$) gegenüber. 
• Die beiden anderen Seiten des Dreiecks heißen Katheten. Sie schließen den rechten Winkel ein. Die Seite, die dem Winkel α$\alpha$ gegenüberliegt, heißt Gegenkathete (a$a$). Die Seite, die an dem Winkel α$\alpha$ anliegt, nennt man Ankathete (b$b$). 
• Wenn du die Länge der Gegenkathete (a$a$) und die Länge der Ankathete (b$b$) weißt, kannst du mit der umgestellten Formel des Satzes des Pythagoras (c=a2+b2−−−−−−√$c=\sqrt{a^2+b^2}$) die Hypotenuse im Dreieck berechnen. 
• Hast du die Länge der Gegenkathete (a$a$) und die Größe des Winkels α$\alpha$ gegeben, benutzt die umgestellte Sinus-Formel (c=asin(α)$c={\displaystyle \frac{a}{\sin (\alpha )}}$) für deine Hypotenusen-Berechnung. 
• Sind dir die Länge der Ankathete (b$b$) und die Größe des Winkels α$\alpha$ bekannt, dann kannst du die umgestellte Cosinus-Formel (c=bcos(α)$c={\displaystyle \frac{b}{\cos (\alpha )}}$) zur Berechnung der Hypotenuse anwenden.