Mathematik – Maßstab berechnen

Stell dir vor, du möchtest die Einrichtung deines Zimmers neu planen. Dazu musst du wissen, wie groß dein Zimmer ist und welche Möbel hineinpassen. Am besten fertigst du dazu eine Zeichnung an. Wenn die Zeichnung aber so groß werden soll, wie dein Zimmer groß ist, hast du ein Problem. Hier hilft dir der Maßstab weiter: Du kannst damit dein Zimmer deutlich kleiner aufzeichnen – und trotzdem deine Möbel planen.

Bestimmt hast du schon einmal einen Maßstab auf einer Landkarte oder einem Stadtplan gesehen, denn Maßstab und Karten sind eng verknüpft. Maßstäbe sind daher besonders nützlich im Fach Erdkunde, denn du kannst auf einer Karte ablesen, was die reale Größe eines Landes, eines Bergs oder eines Meeres ist. Die Abbildungen, die du siehst, sind natürlich stark verkleinert. Sie bilden also die Wirklichkeit in einer kleineren Realität ab.

Umgekehrt funktioniert auch die Abbildung in eine größere Realität. Wenn du zum Beispiel in deinem Biologiebuch Bilder von Bakterien siehst, dann sind diese stark vergrößert dargestellt.

Wichtig: Die Proportionen bleiben beim Verkleinern und Vergrößern gleich. Wenn also deine Küche halb so groß ist wie dein Wohnzimmer, dann wird das auch in der Zeichnung so sein.

Maßstäbe werden zum Beispiel so angegeben:

1:20$1:20$

1:50$1:50$

1:500$1:500$

5:1$5:1$

500:1$500:1$

Der Doppelpunkt ist hier das sogenannte Verhältniszeichen. Du sprichst: „1 zu 20“, „1 zu 50“ oder „1 zu 500“. Dabei steht vorn immer die Zahl, die für die Abbildung oder das Modell gilt, und hinten die Zahl, die für die Wirklichkeit steht. Wo die 1 steht, verrät dir außerdem, ob der Maßstab dir zeigt, dass etwas kleiner oder größer ist als in Wirklichkeit. Du kannst auch lesen „1 wird zu 20“ – dann verstehst du besser, ob etwas größer oder kleiner wird.

Beispiel:

Auf einer Stadtkarte ist der Maßstab mit 1 : 5.000 angegeben. Wenn du auf der Karte also einen Zentimeter abmisst, beträgt die Entfernung in der Realität 5.000 Zentimeter. Das kannst du in Meter umrechnen: 5.000 Zentimeter = 50 Meter.

Lass uns üben, Längen auf der Karte mit dem Maßstab umzurechnen:

• Du planst, während deiner Reise in diese Stadt eine Shopping-Tour zu machen. Von deiner Ferienwohnung zum Einkaufszentrum sind es auf der Karte 7 cm.
• Anschließend möchtest du ein Picknick am Fluss machen. Laut Karte sind es vom Einkaufszentrum zum Fluss 12 cm.

Wie groß ist nun die Strecke, die du zurücklegen wirst? Da der Maßstab 1 : 5.000 beträgt, können wir die Entfernung berechnen, indem wir unsere Strecke in gemessenen Zentimetern mit 5.000 malnehmen:

• 7cm⋅5.000=35.000cm=350m$7cm\cdot 5.000=35.000cm=350m$
• 12cm⋅5.000=60.000cm=600m$12cm\cdot 5.000=60.000cm=600m$

Du musst also insgesamt 350m+600m=950m$350m+600m=950m$ laufen – und dann noch zurück nach Hause. Schaffst du, oder? 

Hier haben wir ein paar Beispiele für praktische Anwendungen von Maßstäben zusammengetragen, die dir zeigen, wie wichtig Maßstäbe im echten Leben sind. Zum Beispiel sind Maßstab und Architektur unzertrennlich, und auch in der Landschaftsplanung und sogar in der Astronomie braucht man Maßstäbe ständig.

• Dinge unter einem Mikroskop vergrößern: Wenn du unter einem Mikroskop etwas betrachtest, ist das normalerweise vergrößert. Ein Mikroskop in deinem Schullabor vergrößert vielleicht im Maßstab 100 : 1 – du siehst das Bild also hundertmal größer, als es tatsächlich ist.
• Landkarten und Stadtpläne: Karten und Pläne verkleinern hingegen in aller Regel. Hier kannst du sehr große Maßstäbe finden, zum Beispiel 1 : 50.000 oder sogar 1 : 2.000.000. Das sind sogenannte Längenmaßstäbe. Es gibt auch Höhenmaßstäbe, mit denen du zum Beispiel angeben kannst, wie hoch Berge sind.
• Architektur: Architekt:innen zeichnen und planen Gebäude kleiner, als sie werden sollen. Sie arbeiten zum Beispiel mit einem Maßstab von 1 : 50.
• Modelle und Miniaturen: Menschen, die Autos oder Flugzeuge planen, nutzen ebenfalls Maßstäbe. Sie können dann mit viel kleineren Modellen arbeiten. Hier ist ein Maßstab von beispielsweise 1 : 25 sinnvoll.
• Astronomie: Die gigantischen Entfernungen zwischen Sternen und anderen Phänomenen im Universum stellt man mit sehr großen Maßstäben dar – zum Beispiel 1 : 1 Milliarde.

Hier zeigen wir dir Schritt für Schritt die Maßstabsberechnung. Für die Umrechnung mit dem Maßstab hast du verschiedene Möglichkeiten:

1. Du rechnest von der Abbildung in die Wirklichkeit um.
2. Du rechnest von der Wirklichkeit in die Abbildung um.
3. Du rechnest den Maßstab aus.

Schauen wir uns für alle drei Fälle Beispiele für die Maßstabsberechnung an.

1. Mit dem Maßstab umrechnen von der Abbildung in die Wirklichkeit
Du hast einen Maßstab gegeben und eine Karte, ein Modell oder eine Abbildung. Nun möchtest du wissen, wie groß das Objekt in der Wirklichkeit ist. So gehst du vor:

1. Prüfe, ob das Objekt größer (x : 1) oder kleiner (1 : x) als in der Realität abgebildet wird.
2. Wenn es größer abgebildet wird, teilst du durch die Zahl für den Maßstab. Wird es kleiner abgebildet, nimmst du mit der Zahl für den Maßstab mal.
3. Zum Schluss rechnest du in die passende Einheit um. Wenn du dabei Hilfe brauchst, lies unsere Seite zum Thema Einheiten umrechnen.

Beispiel:

Auf einer Deutschlandkarte hast du die Strecke zwischen Berlin und München ausgemessen. Sie beträgt 25,25 cm. Der Maßstab ist 1 : 2.000.000. Wie groß ist die Entfernung in der Wirklichkeit?

• Zuerst prüfst du, ob kleiner oder größer abgebildet wird. Das ist bei einer Landkarte ziemlich eindeutig, aber auch die Schreibweise „1 : 2.000.000“ verrät uns, dass kleiner abgebildet wird.
• Deshalb musst du deine gemessene Strecke mit der Zahl für den Maßstab malnehmen. Also: 25,25cm⋅2.000.000=50.500.000cm$25,25cm\cdot \mathrm{2.000.000}=\mathrm{50.500.000}cm$. 
• Die passende Einheit für so große Strecken sind nicht Zentimeter, sondern eher Kilometer. Wir teilen durch 100, um Zentimeter in Meter umzurechnen, und erhalten 505.000 Meter. Jetzt teilen wir noch einmal durch 1.000 und erhalten 505 Kilometer. 

2. Mit dem Maßstab umrechnen von der Wirklichkeit in die Abbildung
Du hast ein Objekt gegeben und sollst davon mit einem bestimmten Maßstab eine Abbildung oder ein Modell erstellen. So gehst du vor:

• Zuerst musst du wissen, ob deine Abbildung größer (x : 1) oder kleiner (1 : x) als dein Objekt werden soll. Das verrät dir wieder der Maßstab.
• Wenn deine Abbildung größer werden soll, nimmst du die Größe deines Objekts mit der Maßstabszahl mal. Soll die Abbildung kleiner werden, teilst du durch die Maßstabszahl.
• Zum Schluss rechnest du, wenn nötig, wieder in die passende Einheit um.

Beispiel:

Du hast unter dem Mikroskop ein Haar betrachtet. Es ist 0,05 mm dick. Du möchtest nun eine Zeichnung davon erstellen, und zwar im Maßstab 200 : 1. Wie groß wird das Haar in deiner Zeichnung sein?

• Zuerst stellst du fest, dass deine Abbildung größer werden soll als das tatsächliche Haar.
• Daher multiplizierst du jetzt die Dicke des Haars mit der Maßstabszahl und erhältst 0,05mm⋅200=10mm$0,05mm\cdot 200=10mm$.
• Zuletzt wählst du die passende Einheit. 10 mm ist in Ordnung. Du könntest aber auch 1 cm schreiben, wenn dir das eine bessere Orientierung für deine Zeichnung gibt. Ist dein Haar zum Beispiel 75 mm lang, kannst du mit 7,5 cm vielleicht mehr anfangen.

3. Den Maßstab berechnen: Aufgaben mit zwei bekannten Strecken
Wie berechnet man den Maßstab, wenn die Angabe fehlt? Du kannst den Maßstab auch ohne Maßstabsangabe berechnen, wenn du die tatsächliche Größe eines Objekts und die Größe der Abbildung kennst. Das geht so:

• Du teilst die tatsächliche Strecke durch die gemessene Strecke in der Abbildung oder im Modell.

Beispiel:

Die Strecke zwischen zwei Städten beträgt 200 km. Auf dem Plan sind es nur 10 cm. Den Maßstab erhältst du, indem du 200 km durch 10 cm teilst. Vorsicht: Hier musst du zuerst beide Größen auf dieselbe Einheit bringen:

• 200km=200.000m=20.000.000cm$200km=200.000m=\mathrm{20.000.000}cm$

Jetzt kannst du 20.000.000cm÷10cm$\mathrm{20.000.000}cm÷10cm$ rechnen und erhältst eine Maßstabszahl von 2.000.000$\mathrm{2.000.000}$. Ist dein Maßstab jetzt 1 : 2.000.000 oder 2.000.000 : 1 – also ein Verkleinerungsmaßstab oder ein Vergrößerungsmaßstab? Das findest du heraus, indem du dir bewusst machst: Hier wird von der Realität in die Abbildung verkleinert. Der Maßstab ist also 1 : 2.000.000.

Du erkennst vielleicht: Du musst für den Maßstab keine Formeln auswendig lernen, sondern dir genau bewusst machen, was du in was umrechnen möchtest.

Manche Maßstäbe treten öfter auf als andere, weil sie in bestimmten Bereichen sehr nützlich sind. Hier ein paar Beispiele zum Berechnen mit einem Maßstab, dem du vermutlich häufiger in der Umrechnung begegnen wirst:

• 1 : 10: Mit diesem Maßstab kannst du zum Beispiel im Kunst- oder Werkunterricht Möbelstücke kleiner nachbauen.
• 1 : 50: Dieser Maßstab ist gut geeignet, um einen Grundriss zu berechnen.
• 1 : 100: Eisenbahnmodelle haben oft einen Maßstab von 1 : 100.
• 1 : 500: Dieser und größere Maßstäbe eignen sich zum Beispiel für die Stadtplanung.

• Ein Maßstab gibt an, wie groß ein Objekt im Verhältnis zur Wirklichkeit abgebildet wird.
• Das Objekt kann kleiner oder größer abgebildet werden, als es in der Realität ist.
• Eine kleinere Abbildung ist zum Beispiel bei Landkarten oder Stadtplänen sinnvoll.
• Größer möchtest du vielleicht etwas abbilden, das du unter einem Mikroskop gesehen hast.
• Du kommst in der Maßstabsrechnung ohne Formeln aus, wenn du dir bewusst machst, welche Größe du in welche umrechnen möchtest.