Mathematik – Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktionen heißen auch Polynomfunktionen. Sie haben bestimmte Eigenschaften, die immer gleich bleiben. Hier zeigen wir dir die Besonderheiten von ganzrationalen Funktionen an Beispielen und erklären dir alle Fachbegriffe leicht verständlich. 

Ganzrationale Funktionen sind eine Untergruppe der rationalen Funktionen. Die andere Untergruppe sind die gebrochen-rationalen Funktionen. Diese erkennst du daran, dass sie in Form eines Bruchs dargestellt werden können und (mindestens) im Nenner eine Variable (x) haben, die du nicht wegkürzen kannst. Ihre Graphen sehen zum Beispiel so aus:

Nicht-ganzrationale Funktionen / Nicht-Polynomfunktionen

• gebrochen-rationale Funktionen
  
• Wurzelfunktionen, bei denen die Variable unter der Wurzel steht
  
• Exponentialfunktionen (Variable im Exponenten)
  
• trigonometrische Funktionen (Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion)
  

Alle diese Funktionen sind keine ganzrationalen Funktionen.

Nun wollen wir uns aber die ganzrationalen Funktionen ansehen. Ganzrationale Funktionen sind eigentlich Summen, wobei jeder Summand eine eigene kleine Potenzfunktion darstellt. Jede einzelne Potenzfunktion kannst du allgemein so schreiben:

f(x)=a⋅xn$f(x)=a\cdot x^n$

Das heißt a$a$ Koeffizient und n$n$ ist der Exponent. x$x$ ist einfach eine Variable - die kennst du sicher schon.

Beispiel:

f(x)=3⋅x2$f(x)=3\cdot x^2$

Wenn du jetzt mehrere solcher Einzelfunktionen addierst (oder auch subtrahierst), erhältst du eine längere Kette - die ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion:

f(x)=2x4+4x3−3x2+x+7$f(x)=2x^4+4x^3-3x^2+x+7$

Du siehst, dass die Exponenten n$n$ immer kleiner werden. Das muss nicht zwingend so sein – wir haben sie hier nur schön sortiert. Da du die Summanden vertauschen darfst, könntest du zum Beispiel auch schreiben:

f(x)=4x3+2x4+x−3x2+7$f(x)=4x^3+2x^4+x-3x^2+7$

Es ist aber üblich, den Term mit dem größten Exponenten nach vorn zu stellen und die restlichen in absteigender Reihenfolge zu sortieren. Das hilft auch, auf einen Blick den Grad der ganzrationalen Funktion zu erkennen – diesen liest du nämlich am größten Exponenten ab. Hier ist der größte Exponent eine 4 2x4$2x^4$. Daher handelt es sich um eine ganzrationale Funktion oder eine Polynomfunktion 4. Grades. Man sagt auch: Polynom der Ordnung 4. 

Theoretisch können diese Ketten unendlich lang werden. In der Praxis hast du es aber meist nur mit zwei bis fünf Funktionstermen zu tun. 

So können ganzrationale Funktionen zum Beispiel als Funktionsgraphen aussehen:

So sieht die allgemeine Schreibweise für ganzrationale Funktionen aus:

f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a2x2+a1x+a0$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

Das sind viele Buchstaben und Zahlen, doch lass dich davon nicht verwirren: Das n$n$ im Exponenten steht einfach für eine Zahl. xn$x^n$ könnte also einfach x3$x^3$ bedeuten. Hier kannst du jede positive natürliche Zahl einsetzen. Also gilt für den Definitionsbereich:

für den Exponenten: n∈N$n\in N$

Das n$n$ am Koeffizienten a$a$ zeigt an, dass dieser Koeffizient genau zur Variable mit demselben Wert gehört. Der Koeffizient selbst kann aber auch andere Zahlen annehmen, sogar jede reelle Zahl:

für den Koeffizienten: a∈R$a\in R$

Eine wichtige Regel gibt es aber noch: Das a$a$, das zum Term mit der höchsten Potenz gehört, heißt Leitkoeffizient. Hier siehst du ein Beispiel:

f(x)=2x4+4x3−3x2+x+7$f(x)=2x^4+4x^3-3x^2+x+7$

Dieser Leitkoeffizient darf nicht Null sein. Denn dann würde der ganze Term (2x4)$(2x^4)$ wegfallen und wir hätten hier dann keine ganzrationale Funktion 4. Grades, sondern eine 3. Grades. Daher:

für den Leitkoeffizienten: a∈R$a\in R$, a≠0$a\ne 0$

Zuletzt musst du noch das Absolutglied kennen. Das Absolutglied ist die Zahl ohne Variable, die in der Regel ganz am Ende der Gleichung steht:

f(x)=2x4+4x3−3x2+x+7$f(x)=2x^4+4x^3-3x^2+x+7$

In der allgemeinen Form für ganzrationale Funktionen heißt es a0$a_0$. Nicht jede Gleichung hat ein Absolutglied, also wundere dich nicht, wenn du es nicht findest. Überhaupt müssen nicht alle Potenzen vorkommen - die Gleichung f(x)=6x5+x3+2$f(x)=6x^5+x^3+2$ ist zum Beispiel auch eine korrekte ganzrationale Funktion.

Anhand der Funktionsgleichung kannst du einige Aussagen über den Funktionsgraphen treffen. Das schauen wir uns gleich genauer an.

Wir sehen uns jetzt Beispiele von ganzrationalen Funktionen unterschiedlicher Grade an. Dann bekommst du ein Gefühl dafür, wie sie sich unterscheiden. 

Konstante Funktion (ganzrationale Funktion 0. Grades)

Die konstante Funktion besteht nur aus dem Absolutglied a0$a_0$, also aus einer Zahl. Denn: Beim 0. Grad ist ja der höchste Exponent eine Null. Du könntest also schreiben:

f(x)=x0⋅a0=1⋅a0=0$f(x)=x^0\cdot a_0=1\cdot a_0=0$

In der Regel schreibt man kürzer:

f(x)=c$f(x)=c$

Dabei ist c$c$ dasselbe wie a0$a_0$ - eine Konstante.

Die Besonderheit: Egal, welche Zahl du für x auch einsetzt, du bekommst als Ergebnis immer die Konstante c$c$.

Beispiel:

f(x)=3$f(x)=3$

Der Graph ist eine Gerade ohne Steigung:

Übrigens gehört die konstante Funktion zu den linearen Funktionen, auf die wir als Nächstes eingehen. Sie ist aber ein Sonderfall, da ihre Steigung gleich null ist. 

Lineare Funktion (ganzrationale Funktion 1. Grades)

Diese lineare Funktion ist die erste nicht konstante ganzrationale Funktion. Der höchste Exponent der linearen Funktion ist 1. Wir haben also eine Variable x$x$:

f(x)=a1x+a0$f(x)=a_{1}x+a_0$

Du könntest hier auch x1$x^1$ schreiben, üblicherweise lässt man die Potenz 1 aber einfach weg.

Beispiel:

f(x)=3x+2$f(x)=3x+2$

Üblich ist für lineare Funktionen auch folgende Schreibweise:

f(x)=mx+t$f(x)=mx+t$

Das sind einfach andere Buchstaben, die aber dieselbe Sache beschreiben: m$m$ ist unser Koeffizient a1$a_1$, die Variable x$x$ ist gleich geblieben, und t$t$ ist unser Absolutglied a0$a_0$.

Quadratische Funktion (ganzrationale Funktion 2. Grades)

Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel:

In unserer oben betrachteten Form schreibst du:

f(x)=a2x2+a1x+a0$f(x)=a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

Vermutlich bist du aber in Mathematik in der Schule auch schon auf diese Schreibweise gestoßen:

f(x)=ax2+bx+c$f(x)=a{x}^2+bx+c$

Lass dich nicht verwirren - das Format bleibt immer dasselbe, nur mit anderen Buchstaben. Hier ein Beispiel:

f(x)=4x2+3x+2$f(x)=4x^2+3x+2$

Du hast hier einen Leitkoeffizienten (4) mit der Potenz 2 (x2)$(x^2)$ im Exponenten.

Ganzrationale Funktionen zweiten Grades kannst du auch in der Scheitelpunktform schreiben. Es gibt auch eine faktorisierte Form für ganzrationale Funktionen. Im Koordinatensystem sehen die Graphen aber genauso aus – an den Eigenschaften der ganzrationalen Funktion ändert sich dadurch nichts. 

Kubische Funktion (ganzrationale Funktion 3. Grades)

Eine kubische Funktion hat als höchste Potenz eine 3 im Exponenten:

f(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0$f(x)=a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

Auch hier kennst du vielleicht aus der Schule folgende Schreibweise:

f(x)=ax3+bx2+cx+d$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

So kann eine ganzrationale Funktion dritten Grades zum Beispiel aussehen:

Du siehst: Sie sehen sehr unterschiedlich aus. Es sind aber ansatzweise Parabelformen erkennbar. 

Ganzrationale Funktion 4. Grades

Für die ganzrationale Funktion vierten Grades gibt es keinen besonderen Namen mehr – und das gilt auch für ganzrationale Funktionen mit höheren Graden. 

Die ganzrationale Funktion vierten Grades hat folgendes Format:

f(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0$f(x)=a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

Aus der Schule kennst du vielleicht auch diese Schreibweise:

f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e$f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$

Auch hier sind in den Graphen Parabelformen zu sehen:

Wir gehen jetzt nicht alle Möglichkeiten für ganzrationale Funktionen 5., 6. Grades und so weiter durch. Das Prinzip ist immer dasselbe. Hier zur Erinnerung noch einmal die allgemeine Formel für ganzrationale Funktionen:

f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a2x2+a1x+a0$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

Aus der Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion kannst du Merkmale ablesen – zum Beispiel Nullstellen oder Informationen zur Symmetrie. Dazu bekommst du hier eine einfache Anleitung.

Nullstellen von ganzrationalen Funktionen

Die Nullstellen von ganzrationalen Funktionen geben an, wo der Funktionsgraph die x-Achse schneidet. Dabei legt der Grad der Funktion die maximale Anzahl an Nullstellen fest. Willst du also die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades bestimmen, weißt du: Es kann (muss aber nicht) maximal drei Stück geben. 

Um die Nullstellen zu berechnen, musst du grundsätzlich die Funktionsgleichung gleich null setzen:

f(x)=0$f(x)=0$

Bei linearen Funktionen ist das Vorgehen dann einfach: Du nutzt einfach Äquivalenzumformungen, um die Nullstellen zu berechnen.

Bei ganzrationalen Funktionen höheren Grades ist die Berechnung etwas schwieriger:

• Bei quadratischen Funktionen hilft dir die pq-Formel bzw. die Mitternachtsformel weiter. 
  
• Ganzrationale Funktionen dritten Grades oder höher kannst du zum Beispiel mit Ausklammern oder der Polynomdivision lösen.
  

Tipp: Lies dazu unsere Seite zum Thema Nullstellen berechnen. 

Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen

Um bei ganzrationalen Funktionen den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, setzt du einfach x=0$x=0$ in die Funktionsgleichung ein – denn das ist ja genau der Punkt, den du herausfinden möchtest.

Jedoch brauchst du hier gar nicht zu rechnen, denn du kannst den Schnittpunkt direkt aus der Gleichung der ganzrationalen Funktion bestimmen: Die y-Koordinate entspricht dem Absolutglied.

Beispiel: 

Hier kannst du gut erkennen: Die Funktion f(x)=4x4+2x3+4x2+3x+2$f(x)=4x^4+2x^3+4x^2+3x+2$ schneidet die y-achse bei y=−2$y=-2$.

Einfach, oder?

Symmetrie bei ganzrationalen Funktionen

Achsensymmetrie liegt vor, wenn gilt:

f(x)=f(−x)$f(x)=f(-x)$

So ist es zum Beispiel bei dieser quadratischen Funktion:

Außerdem können Funktionen punktsymmetrisch sein. Dann gilt:

f(−x)=−f(x)$f(-x)=-f(x)$

Hier ein Beispiel dazu:

Und wenn du in einer ganzrationalen Funktion gerade Exponenten und ungerade Exponenten hast? Dann kannst du leider über die Symmetrie so einfach keine Aussage treffen.

Extrema (Extrempunkte) von ganzrationalen Funktionen

Hochpunkte (Maxima) und Tiefpunkte (Minima) heißen zusammen Extrempunkte (Extrema). Außerdem gibt es auch noch die Sattelpunkte. Mehr darüber erfährst du auf unserer Seite zu Extremstellen.

Oft haben ganzrationale Funktionen sogar mehrere Extremstellen. Um sie zu finden, musst du die erste Ableitung der ganzrationalen Funktion berechnen. Diese setzt du dann gleich null, denn die erste Ableitung zeigt ja die Steigung einer ganzrationalen Funktion an – und die ist an den Extremstellen eben genau null. Danach kannst du mit den weiteren Ableitungen berechnen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte oder eine ganzrationale Funktion mit Sattelpunkt handelt.

Aufgepasst: Lineare Funktionen (auch die konstanten Funktionen) haben keine Extrempunkte!

Grenzwerte von ganzrationalen Funktionen: Verhalten im Unendlichen

Wenn deine x-Werte unendlich klein oder groß werden, verhalten sich ganzrationale Funktionen auf eine bestimmte Art. Auch in Bezug auf die Grenzwerte von ganzrationalen Funktionen kannst du wieder einige Informationen an der Funktionsgleichung ablesen. 

Dazu schauen wir uns zuerst den größten Exponenten der Funktion an und unterscheiden, ob er gerade oder ungerade ist. 

Exponent ist gerade

Jetzt müssen wir noch anschauen, ob der Leitkoeffizient (der Faktor vor dem x mit dem größten Exponenten) größer oder kleiner als null ist. Bei einem Leitkoeffizienten größer als null gilt: 

an>0$a_n>0$

f(x)=∞$f(x)=\infty$

f(x)=∞$f(x)=\infty$

Das bedeutet: Wenn dein Leitkoeffizient größer als null ist, dann streben die beiden äußeren „Äste“ des Graphen ins Unendliche. So sieht das dann aus:

Wenn der Leitkoeffizient kleiner als null ist, ist die Parabel stattdessen nach unten geöffnet. Deshalb streben auch beide Parabeläste ins negative Unendliche:

an<0$a_n<0$

f(x)=−∞$f(x)=-\infty$

f(x)=−∞$f(x)=-\infty$

So sieht das dann aus:

Exponent ist ungerade

Analog funktioniert das Ganze für die Grenzwerte von ganzrationalen Funktionen, bei denen der größte Exponent ungerade ist. Wir unterscheiden hier genauso, ob der Koeffizient größer oder kleiner als null ist. 

Wenn er größer als null ist, gilt:

an>0$a_n>0$

f(x)=−∞$f(x)=-\infty$

f(x)=+∞$f(x)=+\infty$

Je kleiner deine x-Werte werden, desto stärker strebt der Graph ins negative Unendliche. Bei positiven x-Werten ist es umgekehrt. So sieht das dann aus:

Und zuletzt noch der Fall, dass der Leitkoeffizient kleiner als null ist:

an<0$a_n<0$

f(x)=+∞$f(x)=+\infty$

f(x)=−∞$f(x)=-\infty$

Hier ist es also genau umgekehrt:

Typische Aufgaben zu ganzrationalen Funktionen zielen darauf ab, dass du gegebene Funktionsgraphen ihren Funktionsgleichungen zuordnen sollst. Das gelingt dir mit der folgenden Checkliste – damit verschaffst du dir einen Überblick über die wichtigsten Eigenschaften der ganzrationalen Funktionen in deinen Aufgaben:

1. Finde zuerst den größten Exponenten der Funktionsgleichung und mach dir damit ein ungefähres Bild davon, welche Form der Graph haben muss. Nutze dazu, was du über die Grenzwerte bei ganzrationalen Funktionen gelernt hast.
   
2. Prüfe, ob es ein Absolutglied gibt – es verrät dir, wo der Graph die y-Achse schneidet.
   
3. Überlege, wie viele Nullstellen der Graph höchstens haben kann. Die Anzahl entspricht dem Grad der Funktion.
   
4. Prüfe, ob die Funktion achsen- oder punktsymmetrisch ist. 
   
5. Überlege, wie viele Extremstellen die Funktion höchstens haben kann: Grad der Funktion minus 1.
   
6. Wenn du Punkte gegeben hast, zeichne diese ins Koordinatensystem ein.
   
7. Jetzt kannst du eine ungefähre Annäherung der ganzrationalen Funktion zeichnen – genug, um sie einem passenden Graphen zuzuordnen.
   

Tipp: Ganz ausführlich und Schritt für Schritt gehen wir alle diese Etappen auf unserer Seite zur Kurvendiskussion durch. 

• Ganzrationale Funktionen heißen auch Polynomfunktionen. Sie sind die Summen einzelner Potenzfunktionen.
  Die allgemeine Formel für ganzrationale Funktionen lautet: f(x)=anxn+an−1xn−1+...+a2x2+a1x+a0$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$
  
• Dabei ist a$a$ der Koeffizient, x$x$ die Variable und n$n$ der Exponent. Der Koeffizient im Glied mit dem größten Exponenten heißt Leitkoeffizient.
• Der größte Exponent und der Leitkoeffizient geben dir viele Informationen über die Funktion und den Funktionsgraphen.
• Du kannst zum Beispiel Eigenschaften wie Symmetrie, Verhalten im Unendlichen und Nullstellen daran ablesen.
• Ausführlich werden alle dieser Schritte in einer Kurvendiskussion behandelt.