Mathematik – Gleichseitiges Dreieck

Wie jedes Dreieck hat auch ein gleichseitiges Dreieck drei Ecken, drei Seiten und drei Innenwinkel. Das Besondere an dem gleichseitigen Dreieck ist, wie der Name des Dreiecks schon verrät, dass alle drei Seiten gleich sind, also gleich lang sind, und die drei Winkel des Dreiecks die gleiche Größe von 60° haben.

Ein gleichseitiges Dreieck hat einige besondere Eigenschaften. Du findest in einem gleichseitigen Dreieck drei gleichgroße Höhen (h). Die jeweilige Höhe ist immer die Strecke zwischen dem Mittelpunkt einer Seite (a) und der gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks (A, B oder C).

Gleichzeitig bilden die drei Höhen auch die drei gleichlangen Seitenhalbierenden (S_a) des Dreiecks sowie die drei Symmetrieachsen, die du in einem gleichseitigen Dreieck finden kannst.

Die Symmetrieachse im gleichseitigen Dreieck ist die Linie, an der du das Dreieck falten könntest, sodass die beiden Hälften des gleichseitigen Dreiecks passgenau aufeinanderliegen. An solch einer Linie spiegelt sich das Dreieck.

Ein weiteres besonderes Merkmal in einem gleichseitigen Dreieck ist, dass es drei gleichlange Winkelhalbierende (W_α, W_β oder W_γ) hat, die mit den drei Seitenhalbierenden übereinstimmen.

Um dich mit dem gleichseitigen Dreieck richtig gut auszukennen, solltest du wissen, wie du es selbst zeichnen kannst und den Inkreis sowie den Umkreis am Dreieck konstruierst. Außerdem solltest du den Umfang, die Höhe und auch den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks nach Formeln berechnen können. Wie du beim Zeichnen und beim Rechnen am gleichseitigen Dreieck vorgehst, lernst du jetzt. 

Du bekommst die Aufgabe, ein gleichseitiges Dreieck mit einer bestimmten Seitenlänge zu konstruieren (z. B. 4 cm). Du benötigst dafür nur ein weißes Blatt Papier, deinen Bleistift, ein Lineal und einen Zirkel. 

Zuerst zeichnest du mit Bleistift und Lineal eine Seite des gleichseitigen Dreiecks, indem du eine Strecke von A nach B aufzeichnest, die die gegebene Länge hat (z. B. 4 cm). Das ist dann deine Seite a.

Nun nimmst du deinen Zirkel mit der Zirkelspanne der gegebenen Seite, also hier 4 cm. Du setzt deine Zirkelspitze erst einmal im Punkt A an und zeichnest mit der eingestellten Zirkelspanne einen vollständigen Kreis um den Punkt A. Das Gleiche machst du im Punkt B.

Wie du dann sehen kannst, schneiden sich diese zwei Kreise in zwei Punkten oberhalb und unterhalb deiner Seite a. Du wählst dir einen der beiden Schnittpunkte aus (z. B. den oberen) und nennst ihn „Punkt C“.

Nun hast du alle drei Punkte (A, B, C) deines gleichseitigen Dreiecks festgelegt. Jetzt verbindest du mit Bleistift und Lineal nur noch den Punkt A mit dem Punkt C und den Punkt B mit dem Punkt C. Damit erhältst du die restlichen zwei Seiten des Dreiecks, die genauso lang sind wie die erste Seite a (nämlich 4 cm).

Und schon ist dein gleichseitiges Dreieck (hier mit der Seitenlänge 4 cm) fertig. Die Hilfskreislinien für die Konstruktion deines gleichseitigen Dreiecks kannst du am Ende noch wegradieren.

Der Inkreis eines gleichseitigen Dreiecks ist der größtmögliche Kreis im Innern des Dreiecks. Er berührt alle drei Seiten der Figur. Um ihn zu zeichnen, benötigst du den Mittelpunkt des gleichseitigen Dreiecks sowie den Inkreisradius, den du für das Zeichnen mit dem Zirkel brauchst.

Um den Mittelpunkt zu markieren, zeichnest du vorab die drei Seitenhalbierenden des gleichseitigen Dreiecks. Diese erhältst du, indem du von jeder Seite des Dreiecks den Mittelpunkt abmisst und diesen dann mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks verbindest. 

Wenn du das mit allen drei Seiten gemacht hast, dann bemerkst du einen Schnittpunkt, an dem sich die drei Seitenhalbierenden treffen. Dieser Schnittpunkt ist der Mittelpunkt des gleichseitigen Dreiecks. Dort setzt du deinen Zirkel mit der Spitze an. 

Die richtige Zirkelspanne, mit der du dann deinen Inkreis zeichnest, bekommst du heraus, wenn du den Inkreisradius (r) des Dreiecks berechnest. Dafür verwendest du eine spezielle Formel:

r=√36⋅a

Für diese Formel misst du vorher die Seitenlänge (a) deines gleichseitigen Dreiecks ab. Du kannst aber auch die Höhe (oder die Länge der Seitenhalbierenden) nutzen, indem du vom Mittelpunkt einer Seite zum gegenüberliegenden Eckpunkt die Höhe (h) einzeichnest. Dann rechnest du so:

r=h3

Mal angenommen, du hast ein gleichseitiges Dreieck gegeben mit einer Seitenlänge a=6cm und der Höhe h=5,20cm, dann kannst du auf folgende Weise deinen Inkreisradius (r) bestimmen:

• Mit der Seitenlänge: r=√36⋅a=√36⋅6cm≈1,73cm
  
  
• Oder mit der Höhe: r=h3=5,20cm3≈1,73cm

Mit diesem Radius, den du als Zirkelspanne einstellst, zeichnest du abschließend deinen Inkreis im gleichseitigen Dreieck.

Der Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks umschließt dieses und berührt dabei alle drei Eckpunkte. 

Um den Umkreis zu zeichnen, brauchst du neben deinem Zirkel nur noch den Umkreisradius (r) und den Mittelpunkt deines gleichseitigen Dreiecks. Diesen erhältst du auch hier, indem du die drei Seitenhalbierenden (oder Höhen oder Winkelhalbierenden) in einem Punkt (dem Mittelpunkt) sich schneiden lässt.

Dort setzt du deine Zirkelspitze an und spannst deinen Zirkel so weit, bis er einen Eckpunkt des gleichseitigen Dreiecks erreicht. Diese Spannweite entspricht dem Umkreisradius (r). Du kannst den Radius aber auch berechnen:

Formel: r=√33⋅a

Hast du also ein gleichseitiges Dreieck gegeben, zum Beispiel mit der Seitenlänge a=6cm, dann rechnest du den Umkreisradius so aus:

• r=√33⋅6cm
  
  
• r≈3,46cm

Du zeichnest nun mit der richtigen Zirkelspanne (3,46cm) deinen Umkreis um dein Dreieck herum. Dieser Kreis sollte all deine drei Eckpunkte des Dreiecks berühren.

Der Umfang in einem gleichseitigen Dreieck entspricht der Länge, die sich aus allen drei Seitenlängen zusammengerechnet ergibt. Du addierst für den Umfang also Seite a+Seite b+Seite c. 

Da alle drei Seiten in einem gleichseitigen Dreieck die gleiche Länge haben, rechnest du den Umfang eines gleichseitigen Dreiecks mit folgender Formel aus:

Ugleichseitig=3⋅a

Hast du ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a=5cm gegeben, dann rechnest du also:

• Ugleichseitig=3⋅5cm
• Ugleichseitig=15cm

Du brauchst dir für die Berechnung des Umfangs in einem gleichseitigen Dreieck, nur die Umfangformel zu merken um herauszufinden, wie lang eine Seite im Dreieck ist. Damit rechnest du schnell und einfach deinen Umfang aus.

Wie du jetzt schon weißt, entspricht eine Höhe in einem gleichseitigen Dreieck einer Seitenhalbierenden und einer Winkelhalbierenden. Sie verläuft vom Mittelpunkt einer Seite bis zur gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks. Da die drei Höhen gleich groß sind, kannst du auch von „der Höhe“ im gleichseitigen Dreieck sprechen. 

Auch für die Berechnung der Höhe (h) im gleichseitigen Dreieck gibt es eine Formel:

h=a2⋅√3

Aus der Formel kannst du ablesen, dass du nur noch die Länge einer Seite im gleichseitigen Dreieck benötigst, um deine Höhe ermitteln zu können. Hast du ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a = 3 cm gegeben, dann rechnest du die Höhe des Dreiecks so aus:

h=3cm2⋅√3

h≈2,60cm

Damit hast du deine Höhe berechnet. Neben der Höhe und dem Umfang fragen deine Lehrer:innen dich wahrscheinlich nach dem Flächeninhalt in einem gleichseitigen Dreieck. Wie du den ermitteln kannst, erfährst du jetzt.

Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks ist die gesamte Fläche, die die drei Seitenlinien des Dreiecks gemeinsam einschließen.

Für die Berechnung des Flächeninhaltes (A) benötigst du die Länge einer Seite a und die Höhe (h) des Dreiecks. Damit rechnest du den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks nach folgender Formel aus:

A=a⋅h2

Hast du ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge a = 5 cm und einer Höhe h = 4,33 cm gegeben, berechnest du den Flächeninhalt wie folgt:

A=5cm⋅4,33cm2

A≈10,83cm2

Nicht in jeder Aufgabe hast du jedoch auch die Höhe angegeben. Dann kannst du mit einer weiteren Formel für den Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks nur mit der Angabe zur Seitenlänge a die Fläche des gleichseitigen Dreiecks ausrechnen:

A=a24⋅√3

Hast du ein Dreieck mit a = 5 cm, berechnest du:

A=(5cm)24⋅√3

A≈10,83cm2

Jetzt bist du fit und kannst ein gleichseitiges Dreieck berechnen und zeichnen. Präge dir die Formeln zum gleichseitigen Dreieck gut ein, und du wirst im Matheunterricht leicht zu deinen Ergebnissen kommen!

• Gleichseitige Dreiecke haben drei gleichlange Seiten und drei gleichgroße Innenwinkel von jeweils 60°.
• Alle drei Höhen eines gleichseitigen Dreiecks sind gleichlang und entsprechen den drei Seitenhalbierenden, den drei Winkelhalbierenden sowie den drei Symmetrieachsen. Sie verlaufen vom Mittelpunkt einer Seite zur gegenüberliegenden Ecke des Dreiecks.
• Der Inkreis eines gleichseitigen Dreiecks ist der größtmögliche Kreis im Innern des Dreiecks. Seinen Radius berechnest du mit einer der folgenden Formeln:
  r=√36⋅a oder r=h3
• Der Umkreis umschließt das gleichseitige Dreieck und berührt alle drei Dreiecksecken. Den Radius des Umkreises ermittelst du mit der Formel: r=√33⋅a
• Weitere wichtige Formeln zu Berechnungen am gleichseitigen Dreieck lauten:
  Ugleichseitig=3⋅a [Umfang],
  h=a2⋅√3 [Höhe],
  A=a⋅h2 [Flächeninhalt]