Mathematik – Kreis berechnen

Wenn du in der Schule einen Kreis berechnen sollst, geht es meist um Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt. Hier findest du alle wichtigen Formeln mit kurzen Erklärungen, Beispielen und – wenn du es brauchst – weiteren Übungen. Danach bist du fit für die Kreisberechnung!

Bevor wir uns die Berechnung des Kreises genau ansehen, lass uns festhalten, was ein Kreis überhaupt ist. Ein Kreis ist eine geometrische Form. Er ist perfekt rund, hat also weder Ecken noch Kanten. Begrenzt wird ein Kreis durch die Kreislinie. Alle Punkte, die auf der Kreislinie liegen, haben exakt den gleichen Abstand zum Mittelpunkt des Kreises.

Außerdem kannst du dir merken, dass ein Kreis symmetrisch ist – und zwar sowohl punktsymmetrisch (zum Mittelpunkt) als auch achsensymmetrisch. Ein Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen, die alle durch den Mittelpunkt verlaufen.

Diese Fachbegriffe solltest du kennen, wenn du einen Kreis berechnen willst:

• Kreislinie (Kreisumfang): Die äußere Linie des Kreises heißt Kreislinie. Sie begrenzt den Kreis. Alles, was innerhalb der Kreislinie liegt, ist der Flächeninhalt des Kreises (A), auch Kreisfläche genannt. Außerdem entspricht die Kreislinie dem Umfang des Kreises (U).
• Mittelpunkt: Der Mittelpunkt eines Kreises (M) liegt exakt im Zentrum. Jeder Punkt auf der Kreislinie hat denselben Abstand zum Mittelpunkt.
• Radius: Wenn du eine gerade Linie vom Mittelpunkt zu einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie ziehst, erhältst du den Radius des Kreises (r). Er ist daher eine Strecke und außerdem genau halb so groß wie der Durchmesser.
• Durchmesser: Den Durchmesser (d) findest du, indem du von einem beliebigen Punkt auf der Kreislinie eine gerade Linie durch den Mittelpunkt und dann zum gegenüberliegenden Punkt auf der Kreislinie ziehst. Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius.
• Kreiszahl Pi: Die Kreiszahl Pi brauchst du für sehr viele Berechnungen zum Kreis. Man bezeichnet sie mit dem kleinen griechischen Buchstaben Pi: π. Pi hat unendlich viele Stellen, daher runden wir beim Berechnen eines Kreises meist auf ungefähr 3,14.

Jetzt bist du gut vorbereitet. Schauen wir uns Formeln und Beispiele zum Berechnen des Kreises an!

In vielen Aufgaben, wenn du einen Kreis berechnen sollst, hast du den Radius  gegeben, denn er ist die Grundlage für den Umfang und den Flächeninhalt eines Kreises.

Manchmal hast du aber auch nur den Durchmesser eines Kreises vorgegeben. Da er doppelt so lang ist wie der Radius, kannst du den Radius des Kreises so berechnen:

\(r = \frac{d}{2}\) 

Radius im Kreis berechnen – Beispiel

Gegeben ist ein Kreis mit einem Durchmesser von 7cm . Berechne den Radius.

So berechnest du den Radius:

\(r = \frac{7}{2}\)  

Das Ergebnis lautet. \(r= 3,5 \, \text{cm}\)

Tipp: Du kannst den Radius auch berechnen, wenn du den Umfang oder den Flächeninhalt gegeben hast. Dazu musst du die Formeln umstellen, die wir dir weiter unten zeigen. Ganz genau und mit vielen Beispielen erklären wir dir auf einer anderen Seite, wie du den Radius im Kreis berechnen kannst.

Wenn du den Radius eines Kreises gegeben hast, ist es leicht, den Durchmesser zu errechnen. Denn der Durchmesser ist genau doppelt so lang wie der Radius:

\[
d = 2r
\]

Durchmesser im Kreis berechnen – Beispiel

Gegeben ist ein Kreis mit einem Radius von 2,75 cm . Berechne den Durchmesser.

So rechnest du den Durchmesser aus:

\[
d = 2(2,75)
\]

Das Ergebnis lautet. \[d= 5,5 \, \text{cm}
\]

Tipp: Mach dich schlau und lies unsere Seite zum Berechnen des Durchmessers im Kreis.

Wenn du den Radius gegeben hast, kannst du problemlos den Kreisumfang (die Länge der Kreislinie) berechnen:

\[ U = 2 \pi r \]

Und mit dieser Formel kannst du den Umfang berechnen, wenn der Durchmesser gegeben ist:

\[ U = \pi d \]

Tipp: Du möchtest dein Wissen auffrischen? Lies unsere Seite dazu, wie du den Umfang eines Kreises berechnen kannst.

Beispiel: Umfang eines Kreises berechnen – Radius

Gegeben ist ein Kreis mit einem Radius von 4 cm. Wie groß ist der Umfang des Kreises?

Erinnere dich: Für die Kreiszahl Pi rechnen wir mit ungefähr 3,14. Deshalb müssen wir auch statt des Gleichheitszeichens beim Rechnen das „ungefähr“-Zeichen (≈) nutzen. Wir setzen die Werte für Pi und für den Radius in die Formel ein:

\[ U = 2 · (3,14) · (4) \]

Das Ergebnis lautet  \[
U \approx 25,12 \, \text{cm}
\]

Beispiel: Umfang eines Kreises berechnen – Durchmesser

Gegeben ist ein Kreis mit einem Durchmesser von 6,5 cm. Wie groß ist der Kreisumfang?

Wir setzen die Werte für den Durchmesser und für Pi ein und können so den Umkreis des Kreises berechnen:

\[ U = (3,14) · (6,5) \]

Das Ergebnis lautet
\[
U \approx 20,41 \, \text{cm}
\]

Auch um die Fläche eines Kreises zu berechnen, kannst du eine Formel nutzen.

Wenn du den Radius gegeben hast, nutze diese Formel:

\[
A = \pi r^2
\]

Wenn du den Durchmesser kennst, kannst du die Fläche des Kreises mit dieser Formel berechnen:

\[A = \frac{\pi d^2}{4}\]

Tipp: Auch hierzu kannst du dein Wissen auffrischen – mit unserer Seite zum Thema Fläche von einem Kreis berechnen.

Übrigens ist in der Mathematik die Kreisfläche nicht nur zur reinen Übung interessant. Du kannst damit auch die Grundfläche berechnen, wenn ein Kreis die Basis eines dreidimensionalen Körpers ist – zum Beispiel bei einem Zylinder oder Kegel. Das brauchst du dann für die Berechnung des Volumens.

Beispiel: Fläche eines Kreises berechnen – Radius

Gegeben ist ein Kreis mit dem Radius 3 cm. Berechne den Flächeninhalt des Kreises.

Wir setzen die Werte für den Radius und für die Kreiszahl Pi in unsere Formel ein:

\[A = (3,14)(3)^2\]

Das Ergebnis lautet

\[A \approx 28,26\text{cm}^2\]

Achtung: Da wir jetzt zum Kreis die Fläche berechnen, müssen wir die Einheit anpassen und Quadratmeter bzw. Quadratzentimeter nutzen.

Beispiel: Fläche eines Kreises berechnen – Durchmesser

Gegeben ist ein Kreis mit einem Durchmesser von 7 cm. Berechne die Kreisfläche.

Wir setzen die Werte wieder in unsere Formel ein:

\[A = \frac{(3,14) (7)^2}{4}\]

Das Ergebnis lautet

\[A \approx 38,47\text{cm}\]

Falls du es einfacher findest, kannst du stattdessen auch erst den Radius berechnen, indem du den Durchmesser durch zwei teilst, und dann die erste Formel nutzen.

Was ist ein Kreis?

Ein Kreis ist eine geometrische Form, bei der alle Punkte auf der äußeren Linie denselben Abstand zum Mittelpunkt haben. Daher hat ein Kreis auch keine Ecken und keine Kanten.

Wie viel Grad hat ein Kreis?

Ein Kreis hat 360°. Das bedeutet: Wenn du einen Kreis vom Mittelpunkt ausgehend in 360 „Tortenstücke“ teilst, hat jedes davon am Mittelpunkt einen Winkel von 1°. Teilst du den Kreis nur in vier Stücke, hat jedes Stück einen Winkel von 90°.

Wie berechnet man das Volumen von einem Kreis?

Ein Kreis hat kein Volumen, denn er ist zweidimensional. Daher hat er einen Flächeninhalt. Eine Kugel hat drei Dimensionen und daher kannst du das Volumen einer Kugel berechnen.