Mathematik – Mengenlehre

Bevor wir über die Mengenlehre sprechen, lass uns ein paar Grundbegriffe der Mengenlehre klären. Was ist überhaupt eine Menge?

Mengen können aber nicht nur Zahlen enthalten. Du könntest zum Beispiel auch eine Menge mit Tieren erstellen:

Hier siehst du eine Menge A. Wir haben sie durch einen blauen Kreis bildlich dargestellt. In der Menge befinden sich verschiedene Elemente, zum Beispiel Vogel und Fisch. Aber Vorsicht: Nur weil alle Begriffe hier Tiere sind, heißt das nicht, dass sie alle zur Menge gehören. Die Elemente Esel und Tiger liegen außerhalb der Menge. Man sagt auch: Sie sind nicht Teil der Menge A.

Es gibt in der Mengenlehre einige Symbole, die du kennen solltest. Das erste ist ∈. Das bedeutet „ist ein Element von“. 

Schau dir noch einmal den blauen Kreis an. Fisch ist ein Element der Menge A. Du kannst daher mathematisch schreiben:

Fisch∈A

Eine andere Schreibweise wäre:

A={Fisch,Vogel,Huhn,Katze}

Die Reihenfolge ist dabei egal. 

Dann gibt es in der Mengenlehre noch das Zeichen ∉. Das bedeutet „ist kein Element von“. Tiger ist kein Element unserer Menge. Deshalb kannst du schreiben:

Tiger∉A.

Wichtig ist für die Mengenlehre in der Grundschule auch noch das Zeichen für die leere Menge. Die leere Menge enthält gar keine Elemente. Dafür gibt es dieses Zeichen: ∅. Du kannst schreiben:

∅={}

Jetzt kennst du die wichtigsten mathematischen Zeichen der Mengenlehre. 

Eine Menge kann andere Mengen enthalten. Diese Mengen heißen in der Mengenlehre Teilmengen. Schau dir dazu diese Grafik an:

Hier siehst du wie vorher die Menge A. Die Menge A enthält vier Elemente: Vogel, Fisch, Huhn und Katze. Sie enthält außerdem die Teilmenge B. Die Teilmenge B enthält auch Elemente, aber nur zwei: Huhn und Katze. B ist eine Teilmenge von A. Umgekehrt kannst du sagen: A ist die Obermenge von B.

Mit den mathematischen Symbolen der Mengenlehre können wir schreiben:

B⊂A

Man liest: „B ist eine Teilmenge von A.“

Es gibt echte und unechte Teilmengen. Eine echte Teilmenge enthält weniger Elemente als die Obermenge. Sie wird aber nie genauso groß wie die Obermenge. Dafür schreibt man dann, wie du gerade gesehen hast: 

B⊂A

Wenn sie genauso viele Elemente enthält wie die Obermenge, ist sie eigentlich gar keine Teilmenge mehr, sondern mit der Obermenge gleich. Daher sagt man dazu auch unechte Teilmenge. Wenn das erlaubt sein soll, kannst du schreiben:

B⊆A

Man sagt dann: „B ist eine Teilmenge von oder gleich A.“ 
Die leere Menge ist übrigens eine Teilmenge von allen Mengen!

Beispiel: Aufgaben zur Mengenlehre – Teilmengen
Schauen wir uns diese Menge an:

A={1,2,3,4}

Wie verhält sich 1 zu A? 
Und wie verhält sich {1} zu A?
Außerdem wollen wir eine echte Teilmenge von A angeben.

Lösung:
1 ist ein Element (aber keine Teilmenge) von A. Deshalb schreiben wir:

1∈A

{1} ist hingegen eine Teilmenge. Deshalb brauchen wir das Zeichen für die Teilmenge und schreiben:

{1}⊂A

Jetzt wollen wir noch eine echte Teilmenge angeben. Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten, zum Beispiel: 

{1,2}⊂A

Oder auch:

{2,4}⊂A

Wichtig ist, dass alle Elemente in der Teilmenge auch Elemente von A sind. 

Schauen wir uns noch ein paar weitere Grundlagen der Mengenlehre an. Du kannst Mengen auch anhand ihrer Eigenschaften beschreiben. Zum Beispiel so:

A={x∈N∣10≤x≤20}

Das sieht erstmal kompliziert aus, ist aber eigentlich nicht schwierig. Hier geht es wieder um eine Menge A. Das kennst du schon.

In der Klammer wird zuerst definiert, aus welcher Zahlenmenge die Elemente (x) in A stammen dürfen. Hier sind es die natürlichen Zahlen N. Danach folgt ein senkrechter Strich:

∣

Dieser zeigt dir einfach nur, dass jetzt noch ein paar wichtige Eigenschaften folgen. Bei uns steht:

10≤x≤20

Das heißt: Alle Elemente (x) müssen kleiner gleich 20 und größer gleich 10 sein. Da es nicht so viele Zahlen sind, auf die das zutrifft, können wir sie alle aufschreiben:

A={10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}

Mehr Elemente gibt es hier nicht. Weil es manchmal nicht möglich oder praktisch ist, alle Elemente aufzuschreiben, kannst du auch schreiben:

A={10,11,...19,20}

Das geht aber nur, wenn auch klar ist, welche Zahlen dazwischen fehlen – also nur bei einer logischen Zahlenfolge. Deswegen kannst du diese Schreibweise nicht immer anwenden.

Die Kardinalität einer Menge
Bei Übungen zur Mengenlehre musst du manchmal die Kardinalität einer Menge angeben. Ein anderes Wort dafür ist Mächtigkeit. Hinter diesen großen Begriffen versteckt sich einfach nur die Frage: Wie viele Elemente sind in der Menge?

Schauen wir uns noch einmal unseren Kreis von oben an:

In der Menge A gibt es vier Elemente: Vogel, Fisch, Huhn und Katze. Die Menge A hat also die Kardinalität (oder Mächtigkeit) 4. 
Auch hier gibt es in der Mengenlehre in der Mathematik wieder ein Symbol. Man schreibt die Menge zwischen zwei senkrechte Striche – das bedeutet dann Kardinalität:

|A|=4

Du kannst auch schreiben:

#A=4

Manche Mengen in der Mengenlehre werden unendlich groß. Dann kannst du die Kardinalität natürlich nicht so einfach aufschreiben!

Übungsaufgabe zur Mengenlehre:
Hier kannst du üben: Wie mächtig sind die folgenden Mengen?
a) A={Kreuz,Pik,Herz,Karo}
b) B={1,5,100}
c) C={a,b,c,d,...,x,y,z}

Lösung:
a) |A|=4 (Menge der Spielkartenfarben)
b) |B|=3 (Menge der Zahlen)
c) |C|=26 (Menge der Buchstaben)

Gleichheit von Mengen
Zwei Mengen sind dann gleich, wenn jedes Element der einen Menge auch in der anderen Menge vorkommt – und umgekehrt. 

Beispiel:
A={1,2,3,4}
B={3,1,4,2}
C={2,4,1}
Welche Mengen sind gleich?

 
Lösung:
Die Mengen A und B sind gleich. Sie enthalten genau die gleichen Elemente, auch wenn die Reihenfolge eine andere ist.
C ist aber nicht gleich zu A und auch nicht zu B. Zwar enthält C alle Elemente von A und von B – aber umgekehrt ist das nicht so. Deshalb sind die Mengen nicht gleich. 

Wenn zwei (oder mehrere) Mengen einige gleiche Elemente haben, dann kannst du aus diesen Elementen die Schnittmenge der anderen Mengen bilden.

Beispiel:

A={1,2,3,4,5}

B={2,4,6,8,10}

Hier siehst du, dass zwei Elemente (die Zahlen 2 und 4) in beiden Mengen vorkommen. Daraus kannst du eine Schnittmenge bilden. Auch für die Schnittmenge gibt es in der Mengenlehre wieder ein Zeichen:

∩

Und so schreibst du die Schnittmenge von A und B:

A∩B={2,4}

Man liest: „A geschnitten B“

Allgemein – und etwas komplizierter – kannst du schreiben:

A∩B={x∣(x∈A)∧(x∈B)}

Der erste Teil ist einfach nur die Bezeichnung für die Schnittmenge: A∩B  

In der geschweiften Klammer findest du den senkrechten Strich wieder, den du schon kennst. Du weißt also, dass jetzt die Eigenschaften der Elemente genannt werden. Es gibt zwei Eigenschaften, die mit einem „und“-Zeichen (∨) verbunden werden:

(x∈A) und (x∈B)  

Und das heißt nichts anderes, als dass die Elemente in der Schnittmenge eben auch Elemente von A und B sein müssen.

Tipp: Wenn zwei Mengen keine Schnittmenge haben, dann sagt man, dass sie zueinander disjunkt sind.

Oft wirst du in der Mengenlehre auch Aufgaben zur Vereinigung bekommen. Vereinigung bedeutet in der Mengenlehre, dass du aus zwei (oder mehreren) Mengen eine große, übergreifende (vereinigte) Menge bildest.

Auch dafür gibt es in der Mengenlehre wieder ein Symbol:

∪

Es sieht aus wie das Symbol, das du von den Schnittmengen kennst, aber es steht auf dem Kopf. Wenn du die Mengen A und B vereinigen willst, schreibst du:

A∪B

Und welche Eigenschaften hat die Vereinigung? Das kannst du so schreiben:

A∪B={x∣(x∈A)∨(x∈B)}

Das bedeutet: Die Vereinigung aus den Mengen A und B enthält alle Elemente, die entweder Element von A oder (∨) Element von B sind. Es reicht also, wenn ein Element nur in einer der beiden Mengen vorkommt – es darf aber auch in beiden enthalten sein. 

Schauen wir uns dazu eine kleine Übung zur Mengenlehre an: Wie lautet die Vereinigung von A={1,2,3,4}; B={1,5}?

Lösung:

A∪B={1,2,3,4,5}

Die 1 kommt zwar in beiden Mengen vor, wird aber bei der Vereinigung nur einmal verwendet, da in Mengen keine „Duplikate“ vorkommen dürfen. Die restlichen Zahlen kommen in genau einer der beiden Mengen vor. 

Eine Differenz in der Mengenlehre ist so ähnlich, wie du es schon von der Subtraktion kennst. Du ziehst also alle Elemente in einer Menge von den Elementen einer anderen Menge ab. Man schreibt dafür:

A∖B

Das spricht man: „A ohne B.“
So schreibt man die Differenz von Mengen mathematisch:

A∖B={x∣(x∈A)∧(x∉B)}

Sieht kompliziert aus, heißt aber nur: Die Differenz der Mengen A ohne B enthält alle Elemente, die Elemente von A sind, aber nicht in B liegen. 
In der Mengenlehre sind viele Übungen sinnvoll, damit du die komplizierten Zeichen im Gedächtnis behältst. Deshalb hier gleich eine Aufgabe dazu:
Wie lautet die Differenz A∖B von A={1,2,3}; B={1,2}?

Lösung:

A∖B={3}
Wenn du alle Elemente, die in B (und auch in A) vorkommen, von A abziehst, bleibt nur die Zahl 3 übrig. 

Für jede Menge A gibt es auch eine Potenzmenge: Die Potenzmenge enthält alle Teilmengen der Menge A und außerdem auch die Menge A selbst. 

Beispiel:

A={1,2,3}

Wir haben eine Aufgabe zur Mengenlehre bekommen und sollen die Potenzmenge von A herausfinden. Zwei Teilmengen, die in der Potenzmenge sind, wissen wir sofort: die Menge A selbst und die leere Menge (denn die leere Menge ist ja von jeder Menge eine Teilmenge). Wir haben also schon:

A (das ist die Menge {1,2,3}) und ∅

Außerdem kann jedes einzelne Element von A eine eigene kleine Teilmenge bilden:

{1},{2},{3}

Jetzt gibt es noch einige Teilmengen, in denen mehr als ein Element, aber nicht alle Elemente von A enthalten sind:

{1,2},{1,3} und {2,3}

Also gibt es insgesamt acht Teilmengen. Sie sind alle Mengen in der Potenzmenge. Die Potenzmenge hat das Zeichen P.

Und so lautet unsere Potenzmenge:

P(A)={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

Zu jeden Menge gibt es in der Mengenlehre ein Komplement. Das sind alle Elemente, die nicht in der Menge enthalten sind. Ganz einfach zu verstehen ist das an unserem ursprünglichen Beispiel zur Mengenlehre:

Hier kannst du sehen: Esel und Tiger sind nicht in der Menge A enthalten. Sie bilden deshalb das Komplement zur Menge A.

Jetzt hast du eine gründliche Einführung in die Mengenlehre erhalten, die dir bestimmt in der Schule weiterhilft!

• In der Mengenlehre geht es um Mengen. Eine Menge fasst verschiedene Elemente zusammen. In der Mengenlehre sind das oft Zahlen, aber theoretisch können es auch Tiere, Buchstaben, Farben etc. sein.
• Nur bestimmte Elemente gehören zu einer Menge. Die anderen Elemente liegen außerhalb. Sie sind nicht Teil der Menge, sondern das Komplement.
• Es gibt in der Mengenlehre auch Teilmengen. Eine echte Teilmenge enthält nur einige (nicht alle) Elemente der Obermenge.
• Die leere Menge enthält gar keine Elemente. Deshalb ist sie eine Teilmenge jeder anderen Menge.
• Die Regeln der Mengenlehre verstehst du am besten, wenn du dir die Mengen bildlich (zum Beispiel als Kreise) anschaust. Dann wird dir schnell klar, was Schnittmengen, vereinigte Mengen und so weiter sind.

Tipp: Lade dir unsere Arbeitsblätter zur Mengenlehre herunter, wenn du noch mehr üben möchtest.