Mathematik – Grundrechenarten

Was sind die 4 Grundrechenarten?

Die Grundrechenarten gehören zu den wichtigsten Grundlagen der Mathematik. Für alles, was du später in Mathe lernst, brauchst du die Grundrechenarten. Nimm dir daher die Zeit, die Grundrechenarten zu verstehen und zu üben. Mit unseren Beispielen klappt’s leichter!

Die vier Grundrechenarten sind:

• Addition: „Plus rechnen“ – du zählst Zahlen zusammen (+)
• Subtraktion: „Minus rechnen“ – du ziehst eine oder mehrere Zahlen voneinander ab ( - )
• Multiplikation: „Mal rechnen“ – du berechnest das Vielfache einer Zahl ( · oder x )
• Division: „Geteilt rechnen“ – du teilst eine Zahl durch eine andere Zahl ( : oder ÷ )

Hier siehst du alle Begriffe der Grundrechenarten auf einen Blick:

Auch wenn es nicht ganz einfach ist: Am besten lernst du die Fachbegriffe der Grundrechenarten auswendig. Du wirst sie in der Schule immer und immer wieder brauchen.

Die erste Grundrechenart, die du in der Schule lernst, ist die Addition (Plusrechnung). So sieht das Pluszeichen aus: +                  

Bei der Addition zählst du zwei oder mehr Zahlen zusammen. Du sagst dazu „addieren“. Die Zahlen, die du zusammenzählst, heißen Summanden. Das Ergebnis, das du ausrechnest, heißt Summe.

Deshalb sagt man:

Summand plus Summand gleich Summe

Beispiele für Addition:

7 + 2 = 9

 25 + 13 = 38

172 + 353 = 525

Die Farben verraten dir, welche Zahlen Summanden sind und welche Zahl die Summe ist.

Wie du siehst, kannst du kleine Summen noch im Kopf rechnen. Ist der Wert der Summe aber größer, ist es sinnvoll, schriftlich zu addieren. Schriftliches Addieren ermöglicht es dir, auch sehr große Zahlen zusammenzurechnen.

Beispiel aus dem Leben: Wozu brauchst du Addition?

Du planst deine Geburtstagsparty und hast nur drei Chipstüten in der Küche gefunden. Das reicht natürlich nicht! Schließlich ist ein Filmabend geplant. Du kaufst also drei weitere Tüten. Drei plus drei ergibt sechs – ob sechs Tüten reichen werden?

Die zweite wichtige Grundrechenart ist die Subtraktion (Minusrechnung). Hier das Minuszeichen :\( -\)

Du ziehst hier eine oder mehrere Zahlen von einer anderen Zahl (oder mehreren Zahlen) ab. Das heißt in der Fachsprache „subtrahieren“. Anders als bei der Addition gibt es hier nicht nur zwei, sondern gleich drei Fachbegriffe zu lernen:

• Die Zahl, von der du eine andere Zahl abziehst, heißt Minuend.
• Die Zahl, die du abziehst, heißt Subtrahend.
• Das Ergebnis heißt Differenz.

Deshalb sagt man:

Minuend minus Subtrahend gleich Differenz

Beispiele für Subtraktion

7 - 2 = 5

25 - 13 = 12

353 - 172 = 181

Achte auch hier auf die Farben. Sie zeigen dir Minuend, Subtrahend und Differenz an.

Hier gilt wieder: Kopfrechnen ist toll, aber wenn die Zahlen zu groß werden, ist schriftliches Subtrahieren eine gute Idee.

Beispiel aus dem Leben: Wozu brauchst du Subtraktion?

Jetzt hast du deine sechs Chipstüten gekauft und deine beste Freundin sagt ab! Sowas. Ihre Schwester, die du ebenfalls eingeladen hattest, kommt dann auch nicht. Du hast jetzt nur noch zwölf minus zwei, also zehn Gäste. Das konntest du im Kopf rechnen, oder? 

Machen wir weiter mit der Malrechnung. Sie heißt mit dem Fachbegriff Multiplikation. So sieht das Malzeichen aus: \(· \)

Weil man dieses kleine Pünktchen nicht immer so gut sehen kann, findest du statt Malpunkt manchmal auch dieses Zeichen: \(x\)

Bei der Multiplikation bildest du das Vielfache einer Zahl. Wenn du zum Beispiel eine Zahl mit zwei malnimmst, erhältst du als Ergebnis das Zweifache. Wenn du mit fünf multiplizierst, bekommst du das Fünffache. Die Zahlen, die du multiplizierst, heißen mit Fachbegriff Faktoren. Das Ergebnis ist das Produkt. 

Deshalb sagt man:

Faktor mal Faktor gleich Produkt

Beispiele für Multiplikation

7 · 5 = 35

20 · 5 = 100

123 · 632 = 77.736

  Die Farben zeigen dir die Faktoren und das Produkt.

Du siehst, dass beim Multiplizieren die Ergebnisse schnell sehr groß werden. Mit dem kleinen Einmaleins kommst du nicht so weit. Schriftliches Multiplizieren ist daher sehr wichtig. Wenn du unterwegs bist und gerade nicht schriftlich multiplizieren kannst, hilft dir auch der Überschlag.

Beispiel aus dem Leben: Wozu brauchst du Multiplikation?

Zehn Geburtstagsgäste sind noch übrig und natürlich braucht jeder Gast mindestens drei Flaschen Limo – und du auch. Sind also elf mal drei gleich dreiunddreißig. Das wusstest du, oder?

Fast geschafft! Wir sind bei der Division – beim „Geteiltrechnen“ – angekommen. Das Geteiltzeichen sieht so aus: \(÷\)

Oft wirst du auch eine Art Doppelpunkt \( : \) sehen. 

Aus der Beschreibung „geteilt rechnen“ kannst du schon sehr gut erschließen, worum es hier geht: Du teilst eine Menge (zum Beispiel an Keksen) auf eine Anzahl (zum Beispiel an Personen) auf. Dazu teilst du eine Zahl durch eine andere. Die Zahl, die du teilst – also die Gesamtmenge – heißt Dividend. Die Zahl, durch die du teilst, heißt Divisor. Und das Ergebnis nennst du Quotient.

Es heißt also:

Dividend geteilt durch Divisor gleich Quotient

Beispiele für Division

35 ÷ 5 = 7

100 ÷ 5 = 20

77.736 ÷ 123 = 632

Die Farben zeigen dir den Dividend, den Divisor und den Quotienten.

Kleine Zahlen kannst du leicht im Kopf dividieren, insbesondere wenn du das kleine Einmaleins gut beherrschst. Bei größeren hilft dir schriftliches Dividieren weiter. Das gilt umso mehr, wenn dein Ergebnis keine natürliche Zahl mehr ist. Mehr dazu erfährst du gleich, wenn wir uns die Zahlenmengen genauer ansehen.

Beispiel aus dem Leben: Wozu brauchst du Division?

Ihr seid elf Leute bei deiner Party und du hast siebenundsiebzig Luftballons, die alle aufgepustet werden sollen. Das wären für jede Person siebenundsiebzig geteilt durch elf gleich sieben Luftballons. Wie immer drücken sich aber vermutlich ein paar vor der Aufgabe, sodass die Rechnung nicht ganz aufgeht.

Wenn es darum geht, Grundrechenarten zu lernen, musst du auch die Zahlenmengen kennen, mit denen du rechnest. Wir stellen dir hier verschiedene Zahlenmengen vor.

Natürliche Zahlen

In der Grundschule lernst du zunächst die natürlichen Zahlen kennen. Das sind alle ganzen Zahlen, die größer als null sind. Es gibt also keine negativen Zahlen bei den natürlichen Zahlen. Manchmal wird die Null dazugezählt, manchmal nicht. Das siehst du am Zeichen für die Zahlenmenge:

• \(ℕ\)  = natürliche Zahlen ohne die Null – \({1; 2; 3; ...}\)
• \(ℕ₀\)   = natürliche Zahlen mit der Null –  \({0; 1; 2; 3; ...}\)

Ganze Zahlen

Später lernst du, mit ganzen Zahlen zu rechnen. Ganze Zahlen sind wie die natürlichen Zahlen, aber die Null gehört dazu und auch alle negativen ganzen Zahlen sind dabei.

• \(ℤ\) = \({...; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}\)
  

Rationale Zahlen

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die du als Verhältnis aus zwei ganzen Zahlen darstellen kannst. Dazu schreibst du eine Zahl in den Zähler eines Bruchs und die andere in den Nenner. Zum Beispiel so:  \( \frac{1}{2} \)

Du kannst jede rationale Zahl auch als eine Dezimalzahl schreiben:  \( \frac{1}{2} \) = 0,5

Das Zeichen für die rationalen Zahlen ist \(ℚ.\)

Reelle Zahlen

Die reellen Zahlen sind alle rationalen und alle irrationalen Zahlen zusammen. Irrationale Zahlen sind Zahlen, die man nicht als Quotient aus zwei ganzen Zahlen darstellen kann. Beispiele sind  \( \sqrt 2 \)  oder die Zahl π.

Dieses Zeichen brauchst du für die reellen Zahlen: \(ℝ \)

Es gibt viele wichtige Regeln beim Rechnen. Wir zeigen dir hier drei der wichtigsten, die du schon für die Grundrechenarten brauchst.

1. Das Kommutativgesetz

Dieses Gesetz heißt auch „Vertauschungsgesetz“. Es sagt dir, dass du beim Addieren und Multiplizieren die Summanden oder Faktoren beliebig vertauschen kannst. Damit kannst du manchmal geschickter rechnen.

Beispiel:

\(3 + 12 + 7 + 8 = ?\)

Hier ist es leichter, wenn du so rechnest:

\(3 + 7 + 12 + 8 = 10 + 20 = 30\)

Du darfst also die Summanden – oder bei der Malrechnung die Faktoren – so vertauschen, wie es für dich am leichtesten ist. 

Allgemein schreibt man:

\(a + b = b + a\)

\(a · b = b · a\)

2. Das Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz brauchst du manchmal, wenn du es mit Klammern zu tun hast. Wenn du in deiner Rechnung nur Summanden oder nur Faktoren hast, dann darfst du es anwenden und die Klammern anders setzen. Wie das Kommutativgesetz hilft dir auch das Assoziativgesetz, geschickter zu rechnen.

Beispiel:

\(( 4 · 2 ) · 5 = ?\)

Da \(2 · 5 = 10\) ist, wäre es hier etwas leichter, so zu rechnen:

\(4 · ( 2 · 5 ) = 4 · 10 = 40\)

Genauso gehst du auch bei der Plusrechnung vor. Weil du die Summanden und Faktoren anders verbinden darfst, heißt das Assoziativgesetz auch „Verbindungsgesetz“.

Allgemein schreibt man: 

\(( a + b ) + c = a + ( b + c )\)

\(( a · b ) ·  c = a · ( b · c )\)

3. Das Distributivgesetz

Das Distributivgesetz hilft dir beim Auflösen von Klammern oder beim Ausklammern. Es heißt auch Verteilungsgesetz. Im Gegensatz zu den anderen beiden gilt es nur für die Multiplikation und die Division.

Allgemein schreibt man hier:

\(a · ( b + c ) = a · b + a · c\)

Beispiel:

\(5 · ( 4 + 3 ) = 5 · 4 + 5 · 3 = 20 + 15 = 35\)

Eine andere Möglichkeit wäre es, zuerst die Klammer auszurechnen und dann malzunehmen:

\(5 · ( 4 + 3 ) = 5 · 7 = 35\)

Wichtige Rechenregeln

Beachte bei Aufgaben zu den Grundrechenarten diese Regeln, damit du in der richtigen Reihenfolge rechnest. Du kommst sonst eventuell zum falschen Ergebnis!

1. Löse zuerst die Klammern auf (durch Ausrechnen oder mit dem Distributivgesetz).
2. Rechne danach zuerst Punktrechnung (mal und geteilt) und erst dann Strichrechnung (plus und minus). Die Regel heißt „Punkt vor Strich“.
3. Rechne danach alles von links nach rechts aus.
   

Auf diese Weise kann nichts schiefgehen!

Dieses Merkblatt mit den Regeln der Grundrechenarten kannst du die kopieren, abschreiben oder ausdrucken und zum Lernen nutzen.

Rechengesetze im Überblick