Mathematik – Äquivalenzumformung
Wenn du wissen willst, was eine Äquivalenzformung ist, dann bist du hier genau richtig. Steig direkt ins Thema ein!
Äquivalenzumformung einfach erklärt: Beispiele und Übungsaufgaben
Äquivalenzumformungen sind super nützlich. Sie helfen dir, Gleichungen zu lösen, ohne dass du dabei lange raten musst. Wir zeigen dir hier viele Beispiele für Äquivalenzumformungen, damit du sie in Mathe sicher drauf hast.
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Was bedeutet „äquivalent“?
Äquivalent ist einfach nur ein Fachwort für „gleich“. Zum Beispiel sind die beiden Seiten dieser Gleichung äquivalent:
3+11=15−1
Du kannst diese Gleichung nämlich vereinfachen und dann steht dort:
14=14
Der Wert ist auf beiden Seiten gleich – also äquivalent.
Das ist auch nützlich, wenn wir Gleichungen mit Variablen lösen wollen. Eine solche Gleichung kann zum Beispiel so aussehen:
5x+3=8
Dann ist es deine Aufgabe, durch Äquivalenzumformungen herauszufinden, wie groß x sein muss. Du kannst zum Beispiel nicht für x = 2 einsetzen, denn dann passiert Folgendes:
5𝑥+3=8
5⋅2+3≠8
13≠8
Diese Gleichung ist nicht wahr. Wenn wir aber x = 1 einsetzen, steht dort:
5⋅1+3=8
8=8
Wir haben also eine richtige Lösung für x gefunden. Damit du nicht lange raten musst, welcher Wert für x passt, kannst du Äquivalenzumformungen anwenden.
Was ist eine Äquivalenzumformung?
Äquivalenzumformungen sind Umformungen, die du auf beiden Seiten einer Gleichung durchführst, die aber den Wert der Gleichung nicht verändern.
Das hier ist zum Beispiel eine Äquivalenzumformung:
3x=9|⋅2
Wir nehmen diese Gleichung auf beiden Seiten mit 2 mal:
2⋅3𝑥=2⋅9
6x=18
Der Wert der Gleichung ist immer noch derselbe. In beide Gleichungen kannst du x = 3 einsetzen, damit die Gleichung wahr ist:
3⋅3=9
6⋅3=18
Wir schauen uns jetzt ein paar Äquivalenzumformungen von Gleichungen an, damit du sie selbst anwenden kannst.
Tipp: Oft brauchst du Äquivalenzumformungen, um Formeln umzustellen – deshalb haben wir dazu eine eigene Seite.
Äquivalenzumformungen einfach erklärt – mit Beispielen
Äquivalenzumformungen in Mathe erlauben es dir, in einer Gleichung Rechenoperationen durchzuführen, solange du den Wert der Gleichung nicht veränderst. Äquivalenzumformungen helfen dir beim Lösen von Gleichungen – ohne sie müsstest du raten.
Für Äquivalenzumformungen gelten Regeln. Die wichtigste lautet:
Regel für Äquivalenzumformungen
Du musst eine Rechenoperation immer auf beiden Seiten der Gleichung durchführen.
Das Ziel beim Lösen von Aufgaben mit Äquivalenzumformungen ist immer, dass am Ende die Variable allein auf einer Seite steht und dass du auf der anderen Seite das Ergebnis ablesen kannst. Dazu darfst du verschiedene Äquivalenzumformungen anwenden:
- Addition
- Subtraktion
- Multiplikation
- Division
Du darfst außerdem die beiden Seiten der Gleichung vertauschen.
Unter Umständen darfst du auch Äquivalenzumformungen mit der Wurzel anwenden oder quadrieren – dabei gibt es aber einiges zu beachten, und das schauen wir uns gleich genauer an. Wir beginnen erst einmal mit den Grundrechenarten.
Vorab noch ein Tipp zur Schreibweise:
Damit andere nachvollziehen können, wie du umgeformt hast, gibt es ein spezielles Zeichen für die Äquivalenzumformung. Du setzt hinter deine Gleichung einen senkrechten Strich:
|
Hinter diesen Strich schreibst du dann, welche Rechenoperation du durchführen möchtest:
5x+3=8|−3
Beispiel: eine Gleichung mit einer Äquivalenzumformung lösen
Schauen wir uns ein einfaches Beispiel zur Erklärung der Äquivalenzumformung an:
x−5=3
Unser Ziel ist es, dass x allein auf einer Seite steht. Dabei stört uns die -5 . Wenn wir auf der linken Seite +5 rechnen, dann steht dort: x -5 +5 = x . Das würde uns also weiterhelfen. Aber: Wir müssen, wie du ja gelernt hast, auf beiden Seiten der Gleichung die Äquivalenzumformung durchführen!
Also:
𝑥−5=3|+5
x−5+5=3+5
x−0=8
x−8
Und schon haben wir unsere erste Aufgabe zur Äquivalenzumformung gelöst.
Der Vollständigkeit halber müssen wir noch die Lösungsmenge aufschreiben:
𝕃=8
Äquivalenzumformung mit Addition und Subtraktion
Schauen wir uns weitere Übungsaufgaben zu Äquivalenzumformungen an. Wir beginnen mit dem Addieren und Subtrahieren:
2𝑥−6=12+x
Wir wollen wieder erreichen, dass die Variable allein auf einer Seite steht und alles andere auf der anderen Seite. Wir fangen mit der Variable an:
2𝑥−6=12+𝑥|−𝑥
2𝑥−𝑥−6=12+𝑥−x
Wir vereinfachen:
x−6=12
Jetzt müssen wir noch die -6 auf die andere Seite bringen:
x−6=12|+6
x=12+6
x=18
Das ist unser Ergebnis. Und so sieht die Lösungsmenge aus:
𝕃 = {18}
Äquivalenzumformung mit Multiplikation und Division
Oft reichen Addition und Subtraktion zum Lösen von Gleichungen nicht aus. Daher stehen dir als Äquivalenzumformung auch Division und Multiplikation zur Verfügung. Gehen wir das an einem Beispiel durch:
2⋅14=10
Wieder geht es darum, dass die Variable allein auf einer Seite steht. Wir kümmern uns hier zuerst um die 2 und „entfernen“ sie, indem wir auf beiden Seiten durch 2 teilen:
2⋅14=10|:2
14x=5
Jetzt haben wir auf der linken Seite einen Bruch. Zum Glück dürfen wir auch mit Brüchen Äquivalenzumformungen anwenden. Wir können einen Bruch mit einer Äquivalenzumformung auflösen, indem wir ihn mit dem Nenner multiplizieren:
14x=5|⋅4
44x=5⋅4
Wir vereinfachen:
x=20
Und unsere Lösungsmenge lautet:
𝕃=20
Du darfst auch bei Äquivalenzumformungen bei der Division niemals durch 0 teilen!
Außerdem ist es keine Äquivalenzumformung, wenn du auf beiden Seiten mit 0 malnimmst. Denn dadurch verschwinden ganze Terme und du hast das Ergebnis der Gleichung verfälscht.
Die Probe bei Äquivalenzumformungen machen
Wenn du in Mathe mit Äquivalenzumformungen eine Gleichung gelöst hast, ist es sinnvoll, am Ende die Probe zu machen. Dann hast du Gewissheit, dass du wirklich richtig gerechnet hast.
Um nach Äquivalenzumformungen die Probe anzuwenden, musst du nur dein Ergebnis für die Variable in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.
Beispiel:
Oben haben wir das Ergebnis folgender Gleichung berechnet:
2⋅14x=10
x=20
Wir setzen jetzt ein:
2⋅14⋅20=10
Wir vereinfachen:
2⋅1⋅204=10
404=10
10=10
Die Gleichung geht auf und wir wissen, dass wir richtig gerechnet haben.
Weitere wichtige Äquivalenzumformungen
Hier zeigen wir dir einige weitere Aufgaben, die mit Äquivalenzumformungen zu lösen sind – oder sinnvolle Tipps. Bei manchen musst du bestimmte Regeln beachten.
Terme zusammenfassen
Bevor du Äquivalenzumformungen anwendest, ist es sinnvoll, alle Terme zusammenzufassen, die du zusammenfassen kannst. Du sparst dir dadurch Arbeit und vermeidest Fehler.
Beachte aber: Du kannst nur Terme ohne Variablen oder Terme mit derselben Variable zusammenfassen.
Beispiel:
16𝑥−2+6−𝑥+5=0
So kannst du zusammenfassen:
16𝑥−2+6−𝑥+5=0
16𝑥−x−2+6+5=0
15x+9=0
Jetzt ist die Gleichung viel leichter lösbar:
15𝑥+9=0|−9
15x=−9|:15
x=−915=−35
Äquivalenzumformungen mit Klammern anwenden
Klammern stehen einer Äquivalenzumformung nicht entgegen. Je nach Aufgabe ist es aber sinnvoll, zuerst auszumultiplizieren oder auszuklammern.
Beispiel:
3+4⋅(𝑥+1)=2⋅(𝑥+2,5)
Wir lösen die Klammern auf:
3+4x+4=2x+5
Wir fassen Terme zusammen:
4x+7=2x+5
Jetzt können wir wie gewohnt umformen:
4𝑥+7=2𝑥+5|−2x
2𝑥+7=5|=−7
2x=−2|:2
x=−1
Fertig!
Äquivalenzumformung mit Wurzel
Du darfst als Äquivalenzumformung die Wurzel ziehen, um eine Potenz aufzulösen. Das ist oft sogar notwendig. Allerdings musst du darauf achten, dass du niemals die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen darfst – du musst daher bei Variablen auch ausschließen, dass das passieren kann.
Mehr dazu erfährst du auf unserer Seite zum Thema Wurzel ziehen.
Ist Quadrieren eine Äquivalenzumformung?
Das Quadrieren, also ()^2 , ist das Gegenstück zur Quadratwurzel. Du brauchst diese Rechenoperation also bisweilen, um eine Wurzel aufzulösen.
Hier musst du aber aufpassen: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, denn sie kann dazu führen, dass du falsche Ergebnisse für deine Gleichung erhältst.
Warum ist das so? Schau dir diese Gleichung an:
√x=−2
Es liegt jetzt nahe, auf beiden Seiten der Gleichung zu quadrieren:
√x=−2|()2
Dann steht dort als Ergebnis:
x=(−2)2=−2⋅(−2)=4
Wenn du jetzt aber die Lösung 4 zur Probe in deine ursprüngliche Gleichung einsetzt, stellst du fest:
√4≠−2
2≠−2
Durch das Quadrieren als Äquivalenzumformung hast du hier ein falsches Ergebnis erhalten. Tatsächlich ist die Gleichung unlösbar, denn es gibt keine Zahl, aus der du die Wurzel ziehen und ein negatives Ergebnis erhalten kannst.
Deine Lösungsmenge lautet:
𝕃 = {}
Trotzdem brauchst du das Quadrieren zur Lösung. Du gehst also so vor:
- Nutze das Quadrieren als eine Art Äquivalenzumformung.
- Überprüfe alle deine möglichen Lösungen mit der Probe.
- Schreibe nur die richtigen Lösungen in deine Lösungsmenge.
In unserem Fall gibt es nur eine mögliche Lösung (4), die sich bei der Probe als falsch herausstellt. Daher ist die Lösungsmenge leer.
Leere Lösungsmenge und unendlich viele Lösungen
Die meisten Aufgaben zu Äquivalenzumformungen lassen sich mit einer Lösung beantworten – zumindest im Matheunterricht in der Schule.
In manchen Fällen wirst du aber auch auf eine leere Lösungsmenge oder auf unendlich viele Lösungen stoßen.
Leere Lösungsmenge
Oben hast du schon ein Beispiel für eine leere Lösungsmenge gesehen. Meist erkennst du solche Aufgaben aber schon vorher, und zwar daran, dass deine Gleichung nicht aufgeht.
Beispiel:
4𝑥+7=4𝑥+8
Wir lösen die Klammer auf:
4𝑥+7=4𝑥+8
Weiter geht’s:
4𝑥+7=4𝑥+8|−7
4𝑥=4𝑥+1|−4𝑥
0≠1
Dieser Widerspruch, der unlösbar ist, verrät dir, dass diese Gleichung keine Lösung hat. Es gibt keine Zahl, die du für x einsetzen könntest, damit diese Gleichung wahr wird.
So schreibst du die leere Lösungsmenge:
𝕃 = {}
Unendlich viele Lösungen
Ebenso kann auch Folgendes passieren:
4x+3=8x+62
Wir wollen zuerst den Bruch mit einer Äquivalenzumformung auflösen:
4x+3=8x+62|⋅2
8x+6=8x+6|−6
8x=8x|:8
x=x
Diese Lösung zeigt dir: Jede Zahl, die du für x einsetzt, liefert dir ein richtiges Ergebnis. Das ist übrigens auch so, wenn du stattdessen so gerechnet hättest:
8x+6=8x+6|−8x
6=6
Auch diese Gleichung ist immer richtig. Deine Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Und so schreibst du die Lösungsmenge:
𝕃 = 𝔻
Du kannst jede Zahl aus deinem Definitionsbereich einsetzen.
Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen lösen
Du kannst Äquivalenzumformungen nutzen, um Ungleichungen zu lösen:
5𝑥−3<7
Wie das genau geht, zeigen wir dir auf unserer Seite zu Ungleichungen
Äquivalenzumformungen: schwere Aufgabe mit Lösung
Zuletzt schauen wir uns eine Aufgabe an, bei der du verschiedene Rechenoperationen anwenden musst, um die Lösung zu finden.
2⋅(5𝑥+3,5)=5⋅(110x+9)
Zuerst lösen wir die Klammer auf:
2⋅(5𝑥+3,5)=5⋅(110x+9)|Klammernauflösen
10x+7=510x+45
Wir kürzen den Bruch:
10x+7=510x+45|kürzen
10x+7=12x+45|−7
10x=12x+38
Jetzt wollen wir den Bruch auflösen:
10x=12x+38|⋅2
20x=x+76|−x
19x=76|:19
x=4
Und hier unsere Lösungsmenge:
𝕃 = {4}
Zusammenfassung: Äquivalenzumformungen anwenden
- „Äquivalent“ ist ein anderes Wort für „gleich“. Zwei Ausdrücke sind gleich, wenn sie denselben Wert haben – zum Beispiel die beiden Seiten einer Gleichung (links und rechts vom Gleichheitszeichen).
- Mit Äquivalenzumformungen formst du eine Gleichung auf beiden Seiten so um, dass der Wert sich nicht verändert.
- Du musst dazu unbedingt jede Rechenoperation auf beiden Seiten anwenden.
- Du darfst bei Äquivalenzumformungen alle Grundrechenarten anwenden. Bei anderen Umformungen wie zum Beispiel beim Quadrieren musst du zusätzliche Regeln beachten.
- Das Ziel der Umformungen ist es, dass du am Ende eine Variable allein auf einer Seite der Gleichung hast und so auf der anderen das Ergebnis ablesen kannst.
Übung 1 – Grundlagen zu Äquivalenzumformungen I Was ist eine Äquivalenzumformung?
Gleichungen lösen
Brüche
Satz des Pythagoras
Zuordnungen
Gleichungssysteme
Quadratische Gleichungen
Prozent- und Zinsrechnung
Binomische Formeln
Potenzgesetze
Abzählvarianten
Matrizen in der linearen Algebra
Kurvendiskussion
Ableitungsregeln
Sinus, Cosinus und Tangens
Radius berechnen
Zeit umrechnen
Scheitelpunktform
Sinusableitung
Sinusfunktion
Zinsrechnung
Einheiten umrechnen
Längeneinheiten umrechnen
Klammern auflösen
Brüche dividieren
Differenz
Logarithmusregeln
Minuend
Partielle Ableitung
Additionsverfahren
Extremwertaufgaben
Quersumme
Division
Kommutativgesetz
Mathematik – Erwartungswert
Mathematik – Eulersche Zahl
Mathematik – Dreisatz einfach erklärt
Mathematik – Durchmesser berechnen
Mathematik – Einsetzungsverfahren
Mathematik – e-Funktion ableiten
Mathematik – Gerade Zahlen
Mathematik – Gleichungen
Mathematik – Gleichsetzungsverfahren
Mathematik – Grundrechenarten
Mathematik – Halbschriftliches Dividieren
Mathematik – Hessesche Normalform
Mathematik – Kreis berechnen
Wurzel ableiten
Mathematik – Distributivgesetz
Mathematik – Malaufgaben
Mathematik – Maßstab berechnen
Flächeninhalt Quadrat
Dezimeter
Hypotenuse berechnen
Brüche in Dezimalzahlen umwandeln
Assoziativgesetz
Produkt
PQ-Formel
Punkt vor Strich
Brüche addieren
Schriftlich Dividieren
Dezimalzahl in Bruch
Ausmultiplizieren und ausklammern
Mathematik – Halbschriftliches Multiplizieren